Gráfico semilogarítmico

En ciencia e ingeniería , un gráfico semilogarítmico o semilogarítmico tiene un eje en una escala logarítmica y el otro en una escala lineal . Es útil para datos con relaciones exponenciales, donde una variable cubre un amplio rango de valores. [ ^1]

Todas las ecuaciones de la forma forman líneas rectas cuando se trazan de forma semilogarítmica, ya que al tomar los logaritmos de ambos lados se obtiene${\displaystyle y=\lambda a^{\gamma x}}$

${\displaystyle \log _{a}y=\gamma x+\log _{a}\lambda .}$

Se trata de una línea con pendiente y corte vertical. La escala logarítmica suele expresarse en base 10; ocasionalmente, en base 2:${\estilo de visualización \gamma}$${\displaystyle \log_{a}\lambda}$

${\displaystyle \log(y)=(\gamma \log(a))x+\log(\lambda ).}$

Un gráfico log-lineal (a veces log-lin) tiene la escala logarítmica en el eje y y una escala lineal en el eje x ; un gráfico lineal-log (a veces lin-log) es lo opuesto. La denominación es salida-entrada ( y – x ), el orden opuesto a ( x , y ).

En un gráfico semilogarítmico, el espaciado de la escala en el eje y (o eje x ) es proporcional al logaritmo del número, no al número en sí. Es equivalente a convertir los valores y (o valores x ) a su logaritmo y representar los datos en escalas lineales. Un gráfico logarítmico-logarítmico utiliza la escala logarítmica para ambos ejes y, por lo tanto, no es un gráfico semilogarítmico.

La ecuación de una línea en un gráfico logarítmico-lineal, donde el eje de abscisas está escalado logarítmicamente (con una base logarítmica de n ), sería

${\displaystyle F(x)=m\log _{n}(x)+b.\,}$

La ecuación para una línea en un gráfico log-lineal, con un eje de ordenadas escalado logarítmicamente (con una base logarítmica de n ), sería:

${\displaystyle \log _{n}(F(x))=mx+b}$

${\displaystyle F(x)=n^{mx+b}=(n^{mx})(n^{b}).}$

En un gráfico lineal-logarítmico, elija un punto fijo ( x ₀ , F ₀ ), donde F ₀ es la abreviatura de F ( x ₀ ), en algún lugar de la línea recta en el gráfico anterior, y además otro punto arbitrario ( x ₁ , F ₁ ) en el mismo gráfico. La fórmula de pendiente del gráfico es:

${\displaystyle m={\frac {F_{1}-F_{0}}{\log _{n}(x_{1}/x_{0})}}}$

Lo que conduce a

${\displaystyle F_{1}-F_{0}=m\log _{n}(x_{1}/x_{0})}$

o

${\displaystyle F_{1}=m\log _{n}(x_{1}/x_{0})+F_{0}=m\log _{n}(x_{1})-m\log _{n}(x_{0})+F_{0}}$

Lo que significa que$${\displaystyle F(x)=m\log _{n}(x)+\mathrm {constante} }$$

En otras palabras, F es proporcional al logaritmo de x por la pendiente de la línea recta de su gráfico lin-log, más una constante. Específicamente, una línea recta en un gráfico lin-log que contiene los puntos ( F ₀ ,  x ₀ ) y ( F ₁ ,  x ₁ ) tendrá la función:

${\displaystyle F(x)=(F_{1}-F_{0}){\left[{\frac {\log _{n}(x/x_{0})}{\log _{n}(x_{1}/x_{0})}}\right]}+F_{0}=(F_{1}-F_{0})\log _{\frac {x_{1}}{x_{0}}}{\left({\frac {x}{x_{0}}}\right)}+F_{0}}$

En un gráfico log-lineal (escala logarítmica en el eje y), elija un punto fijo ( x ₀ , F ₀ ), donde F ₀ es la abreviatura de F ( x ₀ ), en algún lugar de la línea recta en el gráfico anterior, y además algún otro punto arbitrario ( x ₁ , F ₁ ) en el mismo gráfico. La fórmula de pendiente del gráfico es:

${\displaystyle m={\frac {\log _{n}(F_{1}/F_{0})}{x_{1}-x_{0}}}}$

Lo que conduce a

${\displaystyle \log _{n}(F_{1}/F_{0})=m(x_{1}-x_{0})}$

Observe que n ^{log _n ( F ₁ )} = F ₁ . Por lo tanto, los logaritmos se pueden invertir para encontrar:

${\displaystyle {\frac {F_{1}}{F_{0}}}=n^{m(x_{1}-x_{0})}}$

o

${\displaystyle F_{1}=F_{0}n^{m(x_{1}-x_{0})}}$

Esto se puede generalizar para cualquier punto, en lugar de solo F ₁ :

${\displaystyle F(x)={F_{0}}n^{\left({\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)\log _{n}(F_{1}/F_{0})}}$

En física y química , se puede utilizar un gráfico del logaritmo de la presión frente a la temperatura para ilustrar las distintas fases de una sustancia, como en el siguiente caso del agua :

Si bien diez es la base más común , hay ocasiones en que otras bases son más apropiadas, como en este ejemplo: ^{[ se necesita más explicación ]}

Observe que, si bien el eje horizontal (tiempo) es lineal, con las fechas espaciadas uniformemente, el eje vertical (casos) es logarítmico, y las divisiones espaciadas uniformemente se etiquetan con potencias sucesivas de dos. El gráfico semilogarítmico permite ver con mayor facilidad cuándo la infección ha dejado de propagarse a su ritmo máximo, es decir, la línea recta en este gráfico exponencial, y comienza a curvarse para indicar un ritmo más lento. Esto podría indicar que alguna forma de acción de mitigación está funcionando, por ejemplo, el distanciamiento social.

En biología e ingeniería biológica , el cambio en la cantidad de microbios debido a la reproducción asexual y al agotamiento de nutrientes se suele ilustrar mediante un gráfico semilogarítmico. El tiempo suele ser el eje independiente, con el logaritmo de la cantidad o masa de bacterias u otros microbios como variable dependiente. Esto forma un gráfico con cuatro fases distintas, como se muestra a continuación.

• Nomograma , gráficos más complicados
• Regresión no lineal#Transformación , para convertir una forma no lineal en una forma semilogarítmica susceptible de cálculo no iterativo
• Gráfica logarítmica