Geometría egipcia

La geometría egipcia se refiere a la geometría tal como se desarrolló y utilizó en el Antiguo Egipto . Su geometría fue una consecuencia necesaria de la topografía para preservar la disposición y la propiedad de las tierras agrícolas, que se inundaban anualmente por el río Nilo . ^[1]

Sólo disponemos de un número limitado de problemas del antiguo Egipto relacionados con la geometría. Los problemas geométricos aparecen tanto en el Papiro Matemático de Moscú (PMM) como en el Papiro Matemático de Rhind (PMR). Los ejemplos demuestran que los antiguos egipcios sabían calcular las áreas de varias formas geométricas y los volúmenes de cilindros y pirámides.

Los antiguos egipcios escribían sus problemas en varias partes. Daban el título y los datos para el problema dado, en algunos de los textos mostraban cómo resolver el problema y, como último paso, verificaban que el problema fuera correcto. Los escribas no utilizaban ninguna variable y los problemas se escribían en forma de prosa. Las soluciones se escribían en pasos, describiendo el proceso.

Las unidades egipcias de longitud están atestiguadas desde el Período Dinástico Temprano . Aunque data de la V dinastía, la piedra de Palermo registró el nivel del río Nilo durante el reinado del faraón Djer , del Período Dinástico Temprano , cuando la altura del Nilo se registró como 6 codos y 1 palmo (aproximadamente 3,217 m o 10 pies 6,7 pulgadas). ^[2] Un diagrama de la Tercera Dinastía muestra cómo construir una bóveda circular utilizando medidas corporales a lo largo de un arco. Si el área del cuadrado es de 434 unidades. El área del círculo es de 433,7.

El ostracon que representa este diagrama fue encontrado cerca de la pirámide escalonada de Saqqara . Una curva está dividida en cinco secciones y la altura de la curva se da en codos, palmos y dígitos en cada una de las secciones. ^{[3] [4]}

En algún momento, las longitudes se estandarizaron mediante varas de codo . Se han encontrado ejemplos en las tumbas de funcionarios, anotando longitudes de hasta remen. Los codos reales se usaban para medir tierras como caminos y campos. Lepsius describió y comparó catorce varas, incluida una de dos codos . ^[5] Se conocen dos ejemplos de la tumba de Saqqara de Maya , el tesorero de Tutankamón .

Otro fue encontrado en la tumba de Kha ( TT8 ) en Tebas . Estos codos tienen 52,5 cm (20,7 pulgadas) de largo y están divididos en palmas y manos: cada palma está dividida en cuatro dedos de izquierda a derecha y los dedos están subdivididos en ro de derecha a izquierda. Las reglas también están divididas en manos ^[6] de modo que, por ejemplo, un pie se da como tres manos y quince dedos y también como cuatro palmas y dieciséis dedos. ^{[2] [4] [7] [8] [9] [6]}

Los trabajos de topografía y medición itinerantes se realizaban con varas, postes y cuerdas anudadas. Una escena en la tumba de Menna en Tebas muestra a topógrafos midiendo una parcela de tierra utilizando cuerdas con nudos atados a intervalos regulares. Se pueden encontrar escenas similares en las tumbas de Amenhotep-Sesi, Khaemhat y Djeserkareseneb. Las bolas de cuerda también se muestran en estatuas del Imperio Nuevo de funcionarios como Senenmut , Amenemhet-Surer y Penanhor. ^[3]

Áreas

Objeto	Fuente	Fórmula (usando notación moderna)
triángulo	Problema 51 en RMP y problemas 4, 7 y 17 en MMP	${\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh}$ b = base, h = altura
rectángulos	Problema 49 en RMP y problemas 6 en MMP y Lahun LV.4. Problema 1	${\estilo de visualización A=bh}$ b = base, h = altura
círculo	Problemas 51 en RMP y problemas 4, 7 y 17 en MMP	${\displaystyle A={\frac {1}{4}}({\frac {256}{81}})d^{2}}$ d= diámetro. Aquí se utiliza el valor 256/81 = 3,16049... para ${\displaystyle \pi =3.14159...}$
hemisferio	Problema 10 en MMP

Triángulos:
Los antiguos egipcios sabían que el área de un triángulo es donde b = base y h = altura. Los cálculos del área de un triángulo aparecen tanto en el RMP como en el MMP. ^[10]${\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh}$

Rectángulos:
El problema 49 del RMP calcula el área de un terreno rectangular ^[10] El problema 6 del MMP calcula las longitudes de los lados de un área rectangular dada la relación de las longitudes de los lados. Este problema parece ser idéntico a uno de los Papiros matemáticos de Lahun en Londres. El problema también demuestra que los egipcios estaban familiarizados con las raíces cuadradas. Incluso tenían un jeroglífico especial para encontrar una raíz cuadrada. Parece una esquina y aparece en la quinta línea del problema. Los académicos sospechan que tenían tablas que daban las raíces cuadradas de algunos números de uso frecuente. Sin embargo, no se han encontrado tablas de este tipo. ^[11] El problema 18 del MMP calcula el área de una longitud de tela para prendas de vestir. ^[10]

El problema 1 del papiro de Lahun en LV.4 se da como sigue: Un área de 40 "mH" por 3 "mH" se dividirá en 10 áreas, cada una de las cuales tendrá un ancho que es 1/2 1/4 de su longitud. ^[12] Una traducción del problema y su solución tal como aparece en el fragmento se encuentra en el sitio web mantenido por University College London. ^[13]

Círculos:
El problema 48 del RMP compara el área de un círculo (aproximada por un octógono) y el cuadrado que lo circunscribe. El resultado de este problema se utiliza en el problema 50.

Triseca cada lado. Elimina los triángulos de las esquinas. La figura octogonal resultante se aproxima al círculo. El área de la figura octogonal es:

${\displaystyle 9^{2}-4{\frac {1}{2}}(3)(3)=63}$A continuación, aproximamos 63 a 64 y observamos que${\displaystyle 64=8^{2}}$

Por lo tanto el número juega el papel de π = 3,14159....${\displaystyle 4({\frac {8}{9}})^{2}=3.16049...}$

El hecho de que esta figura octogonal, cuya área se calcula fácilmente, se aproxime con tanta precisión al área del círculo es pura suerte. Obtener una mejor aproximación al área utilizando divisiones más finas de un cuadrado y un argumento similar no es sencillo. ^[10]

El problema 50 del RMP halla el área de un campo circular de diámetro 9 khet. ^[10] Esto se resuelve utilizando la aproximación de que un campo circular de diámetro 9 tiene la misma área que un cuadrado de lado 8. El problema 52 halla el área de un trapezoide con lados (aparentemente) igualmente inclinados. Las longitudes de los lados paralelos y la distancia entre ellos son los números dados. ^[11]

Hemisferio:
El problema 10 del MMP calcula el área de un hemisferio. ^[11]

Varios problemas calculan el volumen de graneros cilíndricos (41, 42 y 43 del RMP), mientras que el problema 60 del RMP parece referirse a un pilar o un cono en lugar de una pirámide. Es más bien pequeño y empinado, con una pendiente de cuatro palmos (por codo). ^[10]

Un problema que aparece en la sección IV.3 de los Papiros matemáticos de Lahun calcula el volumen de un granero con una base circular. Un problema y un procedimiento similares se pueden encontrar en el papiro de Rhind (problema 43). Varios problemas en el Papiro matemático de Moscú (problema 14) y en el Papiro matemático de Rhind (números 44, 45, 46) calculan el volumen de un granero rectangular. ^{[10] [11]}

El problema 14 del Papiro Matemático de Moscú calcula el volumen de una pirámide truncada, también conocida como frustum.

Volúmenes

Objeto	Fuente	Fórmula (usando notación moderna)
Graneros cilíndricos	RMP 41	${\displaystyle V={\frac {256}{81}}r^{2}\ h}$medido en codos cúbicos
Graneros cilíndricos	RMP 42, Lahun IV.3	${\displaystyle V={\frac {32}{27}}d^{2}\ h={\frac {128}{27}}r^{2}\ h}$(medido en khar).
Graneros rectangulares	RMP 44-46 y MMP 14	${\displaystyle V=w\ l\ h}$ w = ancho, l = largo, h = alto
Pirámide truncada (truncada)	MPM 14	${\displaystyle V={\frac {1}{3}}(a^{2}+ab+b^{2})h}$

El problema 56 del RMP indica una comprensión de la idea de similitud geométrica. Este problema analiza la relación recorrido/elevación, también conocida como seked . Se necesitaría una fórmula de este tipo para construir pirámides. En el siguiente problema (problema 57), la altura de una pirámide se calcula a partir de la longitud de la base y el seked (la palabra egipcia para pendiente), mientras que el problema 58 proporciona la longitud de la base y la altura y utiliza estas medidas para calcular el seked.

En el problema 59, la parte 1 calcula el seked, mientras que la segunda parte puede ser un cálculo para comprobar la respuesta: Si construyes una pirámide con un lado de base de 12 [codos] y con un seked de 5 palmas 1 dedo; ¿cuál es su altura? ^[10]

• Clagett, Marshall (1999). Ciencia del Antiguo Egipto: Un libro de consulta, vol. III: Matemáticas del Antiguo Egipto. Memorias de la APS , vol. 232. Filadelfia: Sociedad Filosófica Estadounidense. ISBN 978-0-87169-232-0.
• Lepsius, Karl Richard (1865). Die Alt-Aegyptische Elle und Ihre Eintheilung (en alemán). Berlín: Dümmler.