Forma del universo

Geometría local y global del universo

En la cosmología física , la forma del universo se refiere tanto a su geometría local como global. La geometría local se define principalmente por su curvatura , mientras que la geometría global se caracteriza por su topología (que a su vez está limitada por la curvatura). La relatividad general explica cómo la curvatura espacial (geometría local) está limitada por la gravedad . La topología global del universo no se puede deducir a partir de mediciones de curvatura inferidas de observaciones dentro de la familia de modelos relativistas generales homogéneos únicamente, debido a la existencia de espacios localmente indistinguibles con características topológicas globales variables. Por ejemplo; un espacio múltiplemente conectado como un toro 3 tiene curvatura cero en todas partes pero es finito en extensión, mientras que un espacio plano simplemente conectado es infinito en extensión (como el espacio euclidiano ).

La evidencia observacional actual ( WMAP , BOOMERanG y Planck , por ejemplo) implica que el universo observable es espacialmente plano dentro de un margen de error del 0,4 % del parámetro de densidad de curvatura con una topología global desconocida. ^[1]^[2] Actualmente se desconoce si el universo está simplemente conectado como el espacio euclidiano o múltiplemente conectado como un toro. Hasta la fecha, no se ha encontrado evidencia convincente que sugiera que la topología del universo no esté simplemente conectada, aunque las observaciones astronómicas no lo han descartado.

Forma del universo observable

La estructura del universo se puede examinar desde dos ángulos:

Geometría local : Se relaciona con la curvatura del universo, principalmente con lo que podemos observar.
Geometría global : se refiere a la forma y estructura general del universo.

El universo observable (de un observador actual dado) es una región aproximadamente esférica que se extiende unos 46 mil millones de años luz en todas las direcciones (desde ese observador, siendo el observador la Tierra actual, a menos que se especifique lo contrario). ^[3] Parece más antiguo y más desplazado hacia el rojo cuanto más profundamente miramos en el espacio. En teoría, podríamos mirar hasta el Big Bang , pero en la práctica, solo podemos ver hasta el fondo cósmico de microondas (CMB) (aproximadamente370 000 años después del Big Bang), ya que todo lo que está más allá de eso es opaco . Los estudios muestran que el universo observable es isótropo y homogéneo en las escalas más grandes.

Si el universo observable abarca todo el universo, podríamos determinar su estructura mediante la observación. Sin embargo, si el universo observable es más pequeño, solo podemos captar una parte de él, lo que hace imposible deducir la geometría global mediante la observación. Se pueden construir diferentes modelos matemáticos de la geometría global del universo, todos consistentes con las observaciones actuales y la relatividad general. Por lo tanto, no está claro si el universo observable coincide con el universo entero o es significativamente más pequeño, aunque generalmente se acepta que el universo es más grande que el universo observable.

El universo puede ser compacto en algunas dimensiones y no en otras, de forma similar a cómo un cuboide ^{[ cita requerida ]} es más largo en una dimensión que en las otras. Los científicos ponen a prueba estos modelos buscando implicaciones novedosas: fenómenos que aún no se han observado pero que son necesarios si el modelo es preciso. Por ejemplo, un universo pequeño y cerrado produciría múltiples imágenes del mismo objeto en el cielo, aunque no necesariamente de la misma edad. A partir de 2024, la evidencia observacional actual sugiere que el universo observable es espacialmente plano con una estructura global desconocida.

Curvatura del universo

La curvatura es una cantidad que describe cómo la geometría de un espacio difiere localmente de la de un espacio plano. La curvatura de cualquier espacio localmente isótropo (y, por lo tanto, de un universo localmente isótropo) cae en uno de los tres casos siguientes:

Curvatura cero (plana): los ángulos de un triángulo dibujado suman 180° y se cumple el teorema de Pitágoras ; dicho espacio tridimensional está modelado localmente por el espacio euclidiano $E 3$ .
Curvatura positiva: los ángulos de un triángulo dibujado suman más de 180°; dicho espacio tridimensional está modelado localmente por una región de una 3-esfera $S 3$ .
Curvatura negativa: los ángulos de un triángulo dibujado suman menos de 180°; dicho espacio tridimensional está modelado localmente por una región de un espacio hiperbólico $H 3$ .

Las geometrías curvas pertenecen al dominio de la geometría no euclidiana . Un ejemplo de un espacio con una curvatura positiva sería la superficie de una esfera como la Tierra. Un triángulo dibujado desde el ecuador hasta un polo tendrá al menos dos ángulos iguales a 90°, lo que hace que la suma de los 3 ángulos sea mayor que 180°. Un ejemplo de una superficie con una curvatura negativa sería la forma de una silla de montar o un paso de montaña. Un triángulo dibujado sobre una superficie de silla de montar tendrá la suma de los ángulos sumando menos de 180°.

La relatividad general explica que la masa y la energía doblan la curvatura del espacio-tiempo y se utiliza para determinar qué curvatura tiene el universo mediante un valor llamado parámetro de densidad , representado con Omega ( $Ω$ ). El parámetro de densidad es la densidad promedio del universo dividida por la densidad de energía crítica, es decir, la energía de masa necesaria para que un universo sea plano. Dicho de otra manera,

Si $Ω = 1$ , el universo es plano.
Si $Ω > 1$ , hay curvatura positiva.
Si $Ω < 1$ , hay curvatura negativa.

Los científicos podrían calcular experimentalmente $Ω$ para determinar la curvatura de dos maneras. Una es contar toda la masa-energía en el universo y tomar su densidad promedio, luego dividir ese promedio por la densidad crítica de energía. Los datos de la Sonda de Anisotropía de Microondas Wilkinson (WMAP) así como de la nave espacial Planck dan valores para los tres constituyentes de toda la masa-energía en el universo: masa normal ( materia bariónica y materia oscura ), partículas relativistas (predominantemente fotones y neutrinos ) y energía oscura o la constante cosmológica : ^[4]^[5]

Ω _masa ≈0,315 ± 0,018

Ω _relativista ≈9,24 × 10 ⁻⁵

Ω _Λ ≈0,6817 ± 0,0018

Ω _total = Ω _masa + Ω _relativista + Ω _Λ =1,00 ± 0,02

El valor real de la densidad crítica se mide como ρ _crítico =9,47 × 10 ⁻²⁷ kg⋅m ⁻³ . A partir de estos valores, dentro del margen de error experimental, el universo parece ser espacialmente plano.

Otra forma de medir Ω es hacerlo geométricamente midiendo un ángulo a través del universo observable. Esto se puede hacer utilizando el CMB y midiendo el espectro de potencia y la anisotropía de temperatura . Por ejemplo, uno puede imaginar encontrar una nube de gas que no está en equilibrio térmico debido a que es tan grande que la velocidad de la luz no puede propagar la información térmica. Conociendo esta velocidad de propagación, entonces conocemos el tamaño de la nube de gas, así como la distancia a la nube de gas, entonces tenemos dos lados de un triángulo y luego podemos determinar los ángulos. Usando un método similar a este, el experimento BOOMERanG ha determinado que la suma de los ángulos a 180° dentro del error experimental, correspondiente a Ω _total ≈1,00 ± 0,12 .^[6]

Estas y otras mediciones astronómicas limitan la curvatura espacial a un valor muy cercano a cero, aunque no limitan su signo. Esto significa que, aunque las geometrías locales del espacio-tiempo se generan mediante la teoría de la relatividad basada en intervalos de espacio-tiempo , podemos aproximarnos al 3-espacio mediante la conocida geometría euclidiana .

El modelo de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (FLRW) que utiliza ecuaciones de Friedmann se utiliza comúnmente para modelar el universo. El modelo FLRW proporciona una curvatura del universo basada en las matemáticas de la dinámica de fluidos , es decir, modelando la materia dentro del universo como un fluido perfecto. Aunque las estrellas y las estructuras de masa se pueden introducir en un modelo "casi FLRW", se utiliza un modelo estrictamente FLRW para aproximarse a la geometría local del universo observable. Otra forma de decir esto es que, si se ignoran todas las formas de energía oscura , entonces la curvatura del universo se puede determinar midiendo la densidad promedio de materia dentro de él, suponiendo que toda la materia está distribuida uniformemente (en lugar de las distorsiones causadas por objetos "densos" como las galaxias). Esta suposición se justifica por las observaciones de que, si bien el universo es "débilmente" inhomogéneo y anisotrópico (ver la estructura a gran escala del cosmos ), es en promedio homogéneo e isotrópico cuando se analiza a una escala espacial suficientemente grande.

Estructura universal global

La estructura global cubre la geometría y la topología de todo el universo, tanto del universo observable como de los que se encuentran más allá. Si bien la geometría local no determina por completo la geometría global, sí limita las posibilidades, en particular una geometría de curvatura constante. El universo se considera a menudo como una variedad geodésica , libre de defectos topológicos ; la relajación de cualquiera de estos dos aspectos complica considerablemente el análisis. Una geometría global es una geometría local más una topología. De ello se deduce que una topología por sí sola no da una geometría global: por ejemplo, el 3-espacio euclidiano y el 3-espacio hiperbólico tienen la misma topología pero diferentes geometrías globales.

Como se indica en la introducción, las investigaciones dentro del estudio de la estructura global del universo incluyen:

si el universo es infinito o finito en extensión,
si la geometría del universo global es plana, curvada positivamente o curvada negativamente, y
ya sea que la topología sea simplemente conexa (por ejemplo, como una esfera ) o múltiplemente conexa (por ejemplo, como un toro ). ^[7]

Infinito o finito

Una de las preguntas sin respuesta sobre el universo es si es infinito o finito en extensión. Para la intuición, se puede entender que un universo finito tiene un volumen finito que, por ejemplo, podría llenarse en teoría con una cantidad finita de material, mientras que un universo infinito es ilimitado y ningún volumen numérico podría llenarlo. Matemáticamente, la cuestión de si el universo es infinito o finito se conoce como acotación . Un universo infinito (espacio métrico ilimitado) significa que hay puntos arbitrariamente alejados: para cualquier distancia $d$ , hay puntos que están separados por una distancia al menos $d$ . Un universo finito es un espacio métrico acotado, donde hay una distancia $d$ tal que todos los puntos están a una distancia $d$ entre sí. El $d$ más pequeño de estos se llama diámetro del universo, en cuyo caso el universo tiene un "volumen" o "escala" bien definidos.

Con o sin límite

Suponiendo un universo finito, el universo puede tener un borde o no tenerlo. Muchos espacios matemáticos finitos, por ejemplo, un disco , tienen un borde o límite. Los espacios que tienen un borde son difíciles de tratar, tanto conceptual como matemáticamente. Es decir, es difícil afirmar qué sucedería en el borde de un universo así. Por esta razón, los espacios que tienen un borde suelen excluirse de la consideración.

Sin embargo, existen muchos espacios finitos, como la 3-esfera y el 3-toro , que no tienen aristas. Matemáticamente, estos espacios se denominan compactos sin límite. El término compacto significa que es finito en extensión ("acotado") y completo . El término "sin límite" significa que el espacio no tiene aristas. Además, para que se pueda aplicar el cálculo, normalmente se supone que el universo es una variedad diferenciable . Un objeto matemático que posee todas estas propiedades, compacto sin límite y diferenciable, se denomina variedad cerrada . La 3-esfera y el 3-toro son ambas variedades cerradas.

Métodos de observación

En la década de 1990 y principios de la década de 2000, se propusieron métodos empíricos para determinar la topología global utilizando mediciones en escalas que mostrarían imágenes múltiples ^[8] y se aplicaron a observaciones cosmológicas. ^[9]^[10]

En las décadas de 2000 y 2010, se demostró que, dado que el universo no es homogéneo como lo muestra la red cósmica de estructura a gran escala , los efectos de aceleración medidos a escalas locales en los patrones de los movimientos de las galaxias deberían, en principio, revelar la topología global del universo. ^[11]^[12]^[13]

Curvatura

La curvatura del universo impone restricciones a la topología. Si la geometría espacial es esférica , es decir, posee curvatura positiva, la topología es compacta. Para una geometría espacial plana (curvatura cero) o hiperbólica (curvatura negativa), la topología puede ser compacta o infinita. ^[8] Muchos libros de texto afirman erróneamente que un universo plano o hiperbólico implica un universo infinito; sin embargo, la afirmación correcta es que un universo plano que también está simplemente conectado implica un universo infinito. ^[8] Por ejemplo, el espacio euclidiano es plano, simplemente conectado e infinito, pero hay toros que son planos, multiconectados, finitos y compactos (véase toro plano ).

En general, los teoremas locales a globales en la geometría de Riemann relacionan la geometría local con la geometría global. Si la geometría local tiene una curvatura constante, la geometría global está muy restringida, como se describe en Geometrías de Thurston .

Las últimas investigaciones muestran que incluso los experimentos futuros más potentes (como el SKA ) no podrán distinguir entre un universo plano, abierto y cerrado si el valor real del parámetro de curvatura cosmológica es menor que 10 ⁻⁴ . Si el valor real del parámetro de curvatura cosmológica es mayor que 10 ⁻³ podremos distinguir entre estos tres modelos incluso ahora. ^[14]

Los resultados finales de la misión Planck , publicados en 2018, muestran que el parámetro de curvatura cosmológica, 1 − Ω = Ω _K = − Kc ² / a ²H ² , es0,0007 ± 0,0019 , consistente con un universo plano. ^[15] (es decir, curvatura positiva: K = +1 , Ω _K < 0 , Ω > 1 , curvatura negativa: K = −1 , Ω _K > 0 , Ω < 1 , curvatura cero: K = 0 , Ω _K = 0 , Ω = 1 ).

Universo con curvatura cero

En un universo con curvatura cero, la geometría local es plana . La estructura global más conocida es la del espacio euclidiano, que es infinita en extensión. Los universos planos que son finitos en extensión incluyen el toro y la botella de Klein . Además, en tres dimensiones, hay 10 3-variedades planas cerradas finitas, de las cuales 6 son orientables y 4 no orientables. Estas son las variedades de Bieberbach . La más conocida es el universo 3-toro antes mencionado .

En ausencia de energía oscura, un universo plano se expande eternamente, pero a un ritmo que se desacelera continuamente y que se aproxima asintóticamente a cero. Con energía oscura, el ritmo de expansión del universo se desacelera inicialmente, debido al efecto de la gravedad, pero finalmente aumenta. El destino final del universo es el mismo que el de un universo abierto en el sentido de que el espacio seguirá expandiéndose eternamente.

Un universo plano puede tener energía total cero . ^[16]

Universo con curvatura positiva

Un universo con curvatura positiva se describe mediante geometría elíptica , y puede considerarse como una hiperesfera tridimensional , o alguna otra variedad esférica de 3 dimensiones (como el espacio dodecaédrico de Poincaré ), todas las cuales son cocientes de la 3-esfera.

El espacio dodecaédrico de Poincaré es un espacio de curvatura positiva, coloquialmente descrito como "con forma de balón de fútbol", ya que es el cociente de la 3-esfera por el grupo icosaédrico binario , que está muy cerca de la simetría icosaédrica , la simetría de un balón de fútbol. Esto fue propuesto por Jean-Pierre Luminet y colegas en 2003 ^[9]^[17] y una orientación óptima en el cielo para el modelo fue estimada en 2008. ^[10]

Universo con curvatura negativa

Un universo hiperbólico, de curvatura espacial negativa, se describe mediante geometría hiperbólica y puede considerarse localmente como un análogo tridimensional de una forma de silla de montar infinitamente extendida. Hay una gran variedad de 3-variedades hiperbólicas y su clasificación no se entiende completamente. Las de volumen finito se pueden entender a través del teorema de rigidez de Mostow . Para la geometría local hiperbólica, muchos de los posibles espacios tridimensionales se denominan informalmente "topologías de cuerno", llamadas así por la forma de la pseudoesfera , un modelo canónico de geometría hiperbólica. Un ejemplo es el cuerno de Picard , un espacio de curvatura negativa, descrito coloquialmente como "con forma de embudo". ^[18]

Curvatura: abierta o cerrada

Cuando los cosmólogos hablan del universo como "abierto" o "cerrado", normalmente se refieren a si la curvatura es negativa o positiva, respectivamente. Estos significados de abierto y cerrado son diferentes del significado matemático de abierto y cerrado utilizado para conjuntos en espacios topológicos y para el significado matemático de variedades abiertas y cerradas, lo que da lugar a ambigüedad y confusión. En matemáticas, existen definiciones de variedad cerrada (es decir, compacta sin límite) y variedad abierta (es decir, una que no es compacta y sin límite). Un "universo cerrado" es necesariamente una variedad cerrada. Un "universo abierto" puede ser una variedad cerrada o abierta. Por ejemplo, en el modelo Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (FLRW), se considera que el universo no tiene límites, en cuyo caso "universo compacto" podría describir un universo que es una variedad cerrada.

Véase también

Espacio de Sitter : variedad lorentziana de máxima simetría con una constante cosmológica positiva
Universo ecpirótico – Modelo cosmológico: un modelo relacionado con la teoría de cuerdas que representa un universo de cinco dimensiones con forma de membrana ; una alternativa al modelo del Big Bang caliente , según el cual se describe que el universo se originó cuando dos membranas colisionaron en la quinta dimensión.
Dimensiones extra en la teoría de cuerdas : teoría de la estructura subatómica Pages displaying short descriptions of redirect targetspara 6 o 7 dimensiones extra similares a las del espacio, todas con una topología compacta
Historia del centro del Universo – Concepto histórico en cosmología
Principio holográfico : la física dentro de una región delimitada está completamente capturada por la física en el límite de la región.
Lista de paradojas cosmológicas – Lista de afirmaciones que parecen contradecirse
Teorema Egregium – Teorema de geometría diferencial: el "teorema notable" descubierto por Gauss , que demostró que existe una noción intrínseca de curvatura para superficies. Riemann lo utilizó para generalizar la noción (intrínseca) de curvatura a espacios de dimensiones superiores .
Modelo de tres toros del universo : producto cartesiano de tres círculosPages displaying short descriptions of redirect targets
Universo de energía cero : hipótesis de que la cantidad total de energía en el universo es exactamente cero.

Referencias

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Enlaces externos

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