Módulo G

En matemáticas , dado un grupo G , un G -módulo es un grupo abeliano M en el que G actúa de manera compatible con la estructura del grupo abeliano en M. Esta noción de amplia aplicación generaliza la de una representación de G. La (co)homología de grupos proporciona un conjunto importante de herramientas para estudiar los G -módulos generales.

El término G -módulo también se utiliza para la noción más general de un R -módulo sobre el cual G actúa linealmente (es decir, como un grupo de automorfismos de R -módulo ).

Sea un grupo. Un módulo izquierdo consta de ^[1] un grupo abeliano junto con una acción de grupo izquierdo tal que${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización M}$ ${\displaystyle \rho :G\veces M\a M}$

g · ( a1 + a2 ) ₌ g · a1 ₊ g · a2_​​

para todos los a ₁ y a ₂ en M y todos los g en G , donde g · a denota ρ( g , a ). Un G -módulo derecho se define de manera similar. Dado un G -módulo izquierdo M , se puede convertir en un G -módulo derecho definiendo a · g = g ⁻¹ · a .

Una función f  : M → N se denomina morfismo de G -módulos (o G -mapa lineal o G -homomorfismo ) si f es a la vez un homomorfismo de grupo y G -equivariante .

La colección de módulos G izquierdos (respectivamente derechos) y sus morfismos forman una categoría abeliana G -Mod (resp. Mod- G ). La categoría G - Mod (resp. Mod - G ) se puede identificar con la categoría de módulos ZG izquierdos (rep. derechos) , es decir, con los módulos sobre el anillo de grupo Z [ G ].

Un submódulo de un G -módulo M es un subgrupo A ⊆ M que es estable bajo la acción de G , es decir g · a ∈ A para todo g ∈ G y a ∈ A . Dado un submódulo A de M , el módulo cociente M / A es el grupo cociente con acción g ·( m + A ) = g · m + A .

• Dado un grupo G , el grupo abeliano Z es un G -módulo con la acción trivial g · a = a .
• Sea M el conjunto de formas cuadráticas binarias f ( x , y ) = ax ² + 2 bxy + cy ² con a , b , c enteros y sea G = SL(2, Z ) (el grupo lineal especial 2×2 sobre Z ). Definir

${\displaystyle (g\cdot f)(x,y)=f((x,y)g^{t})=f\left((x,y)\cdot {\begin{bmatrix}\alpha &\gamma \\\beta &\delta \end{bmatrix}}\right)=f(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y),}$

dónde

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}\alfa y\beta \\\gamma y\delta \end{bmatrix}}}$

y ( x , y ) g es la multiplicación de matrices . Entonces M es un G -módulo estudiado por Gauss . ^[2] De hecho, tenemos

${\displaystyle g(h(f(x,y)))=gf((x,y)h^{t})=f((x,y)h^{t}g^{t})=f((x,y)(gh)^{t})=(gh)f(x,y).}$

• Si V es una representación de G sobre un cuerpo K , entonces V es un G -módulo (es un grupo abeliano bajo adición).

Si G es un grupo topológico y M es un grupo topológico abeliano, entonces un módulo G topológico es un módulo G donde el mapa de acción G × M → M es continuo (donde la topología del producto se toma en G × M ). ^[3]

En otras palabras, un G-módulo topológico es un grupo topológico abeliano M junto con una función continua G × M → M que satisface las relaciones habituales g ( a + a′ ) = ga + ga′ , ( gg′ ) a = g ( g′a ), y 1 a = a .

• Capítulo 6 de Weibel, Charles A. (1994). Introducción al álgebra homológica . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. Sr.  1269324. OCLC  36131259.