Función de Gompertz

La curva de Gompertz o función de Gompertz es un tipo de modelo matemático para una serie temporal , llamada así en honor a Benjamin Gompertz (1779-1865). Es una función sigmoidea que describe el crecimiento como más lento al principio y al final de un período de tiempo determinado. La curva se aproxima a la asíntota del lado derecho o de valor futuro de la función de manera mucho más gradual que la asíntota del lado izquierdo o de menor valor. Esto contrasta con la función logística simple en la que la curva se aproxima a ambas asíntotas de manera simétrica. Es un caso especial de la función logística generalizada . La función fue diseñada originalmente para describir la mortalidad humana, pero desde entonces se ha modificado para su aplicación en biología, con respecto a detallar poblaciones.

Benjamin Gompertz (1779–1865) fue un actuario de Londres que recibió educación privada. ^[1] Fue elegido miembro de la Royal Society en 1819. La función se presentó por primera vez en su artículo del 16 de junio de 1825 en la parte inferior de la página 518. ^[2] La función de Gompertz redujo una importante colección de datos de las tablas de vida a una única función. Se basa en el supuesto de que la tasa de mortalidad aumenta exponencialmente a medida que una persona envejece. La función de Gompertz resultante es para el número de individuos que viven a una edad determinada en función de la edad.

El trabajo previo sobre la construcción de modelos funcionales de mortalidad fue realizado por el matemático francés Abraham de Moivre (1667-1754) en la década de 1750. ^{[3] [4]} Sin embargo, de Moivre asumió que la tasa de mortalidad era constante. Una extensión del trabajo de Gompertz fue propuesta por el actuario y matemático inglés William Matthew Makeham (1826-1891) en 1860, quien agregó una tasa de mortalidad de fondo constante a la tasa de mortalidad exponencialmente creciente de Gompertz. ^[5]

Gráficos de curvas de Gompertz que muestran el efecto de variar uno de a, b, c mientras se mantienen los demás constantes

$${\displaystyle f(t)=a\mathrm {e} ^{-b\mathrm {e} ^{-ct}}}$$dónde

• a es una asíntota, ya que${\textstyle \lim _{t\to \infty }a\mathrm {e} ^{-b\mathrm {e} ^{-ct}}=a\mathrm {e} ^{0}=a}$
• b establece el desplazamiento a lo largo del eje x (traslada el gráfico hacia la izquierda o hacia la derecha).
• c establece la tasa de crecimiento ( escala y )
• e es el número de Euler (e = 2,71828...)

La curva tiene la misma forma que después de una transformación afín .${\textstyle f(t)=a\mathrm {e} ^{-b\mathrm {e} ^{-ct}}=ae^{-e^{-ct+\ln b}}}$${\displaystyle f(t)=e^{-e^{-t}}}$

El punto medio se encuentra resolviendo t. El punto de tasa máxima de aumento ( ) se encuentra resolviendo t. El aumento en es${\textstyle f(t)=a/2}$$${\displaystyle t_{hwp}={\frac {\ln(b)-\ln(\ln(2))}{c}}}$$${\textstyle 0.368a}$${\estilo de texto {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)=0}$$${\displaystyle t_{máx}=\ln(b)/c}$$${\textstyle t_{máx}}$$${\displaystyle \max \left({\frac {df}{dt}}\right)={\frac {ac}{e}}}$$

La curva de función se puede derivar de una ley de mortalidad de Gompertz , que establece que la tasa de mortalidad absoluta (decaimiento) cae exponencialmente con el tamaño actual. Matemáticamente,

$${\displaystyle k^{r}\propto {\frac {1}{y(t)}}}$$

dónde

• ${\textstyle r={\frac {y'(t)}{y(t)}}}$es la tasa de crecimiento
• k es una constante arbitraria.

Algunos ejemplos de usos de las curvas de Gompertz incluyen:

• Adopción de teléfonos móviles , cuyos costos inicialmente fueron altos (por lo que la adopción fue lenta), seguida de un período de rápido crecimiento, seguido por una desaceleración de la adopción hasta que se alcanzó la saturación ^[6]
• Población en un espacio confinado, ya que las tasas de natalidad primero aumentan y luego disminuyen a medida que se alcanzan los límites de los recursos ^[7]
• Modelado del crecimiento de tumores ^[8]
• Modelado de la reionización cósmica del hidrógeno ^[9]
• Modelización del impacto del mercado financiero ^[10] y dinámica de los préstamos subnacionales agregados. ^[11]
• Detallando el crecimiento poblacional de animales de presa, con respecto a las relaciones depredador-presa
• Modelado de células bacterianas dentro de una población
• Examinando la propagación de enfermedades
• El tamaño de la Wikipedia en inglés se puede modelar con la función de Gompertz y una función modificada hasta cierto punto ^[12]

La biología de poblaciones se ocupa especialmente de la función de Gompertz. Esta función es especialmente útil para describir el rápido crecimiento de una determinada población de organismos y, al mismo tiempo, permite explicar la asíntota horizontal final, una vez que se determina la capacidad de carga (número de células/población en meseta).

Se modela de la siguiente manera:

$${\displaystyle N(t)=N_{0}\exp(\ln(N_{I}/N_{0})(1-\exp(-bt)))}$$

dónde:

• ${\textstyle t}$es hora
• ${\textstyle N_{0}}$es la densidad inicial de células
• ${\textstyle N_{I}}$¿Es la densidad celular/poblacional de la meseta?
• ${\textstyle b}$es la tasa inicial de crecimiento del tumor

Esta consideración funcional del número de células en meseta la hace útil para imitar con precisión la dinámica de la población de la vida real . La función también se adhiere a la función sigmoidea , que es la convención más ampliamente aceptada para detallar en general el crecimiento de una población. Además, la función hace uso de la tasa de crecimiento inicial, que se observa comúnmente en poblaciones de células bacterianas y cancerosas, que pasan por la fase logarítmica y crecen rápidamente en número. A pesar de su popularidad, la función de tasa inicial de crecimiento tumoral es difícil de predeterminar dados los microcosmos variables presentes en un paciente, o los factores ambientales variables en el caso de la biología de la población. En los pacientes con cáncer, factores como la edad, la dieta, la etnia, las predisposiciones genéticas, el metabolismo , el estilo de vida y el origen de la metástasis juegan un papel en la determinación de la tasa de crecimiento tumoral. También se espera que la capacidad de carga cambie en función de estos factores, por lo que describir tales fenómenos es difícil.

La función metabólica se ocupa en particular de la tasa metabólica de un organismo. Esta función se puede aplicar para controlar las células tumorales; la tasa metabólica es dinámica y muy flexible, lo que la hace más precisa a la hora de detallar el crecimiento del cáncer. La curva metabólica tiene en cuenta la energía que el cuerpo proporciona para mantener y crear tejido. Esta energía se puede considerar como metabolismo y sigue un patrón específico en la división celular. La conservación de la energía se puede utilizar para modelar dicho crecimiento, independientemente de las diferentes masas y tiempos de desarrollo. Todos los taxones comparten un patrón de crecimiento similar y, como resultado, este modelo considera la división celular, la base del desarrollo de un tumor.

$${\displaystyle B=\sum _{C}(N_{C}B_{C})+\left(E_{C}{\operatorname {d} \!N_{C} \over \operatorname {d} \!t}\right)}$$

• ${\texto estilo B}$= energía que el organismo utiliza en reposo
• ${\textstyle N_{C}}$= número de células en el organismo dado
• ${\textstyle B_{C}}$= tasa metabólica de una célula individual
• ${\textstyle N_{C}B_{C}}$= energía necesaria para mantener el tejido existente
• ${\textstyle E_{C}}$= energía necesaria para crear tejido nuevo a partir de una célula individual

La diferenciación entre la energía utilizada en reposo y el trabajo de la tasa metabólica permite que el modelo determine con mayor precisión la tasa de crecimiento. La energía en reposo es menor que la energía utilizada para mantener un tejido y, en conjunto, representa la energía necesaria para mantener el tejido existente. El uso de estos dos factores, junto con la energía necesaria para crear tejido nuevo, permite representar de forma exhaustiva la tasa de crecimiento y, además, permite obtener una representación precisa de la fase de latencia .

En la década de 1960, AK Laird ^[13] utilizó por primera vez con éxito la curva de Gompertz para ajustar los datos de crecimiento de tumores. De hecho, los tumores son poblaciones celulares que crecen en un espacio confinado donde la disponibilidad de nutrientes es limitada. Si denotamos el tamaño del tumor como X(t), resulta útil escribir la curva de Gompertz de la siguiente manera:

${\displaystyle X(t)=K\exp \left(\log \left({\frac {X(0)}{K}}\right)\exp \left(-\alpha t\right)\right)}$

dónde:

• ${\textstyle X(0)}$es el tamaño del tumor en el momento inicial de la observación;
• ${\textstyle K}$es la capacidad de carga, es decir, el tamaño máximo que se puede alcanzar con los nutrientes disponibles. En realidad es:$${\displaystyle \lim_{t\rightarrow +\infty}X(t)=K}$$

independientemente de que X(0)>0. Nótese que, en ausencia de terapias, etc., normalmente es X(0) < K, mientras que, en presencia de terapias, puede ser X(0) > K;

• ${\textstyle \alpha}$es una constante relacionada con la capacidad proliferativa de las células.
• ${\textstyle \log()}$se refiere al logaritmo natural .

Se puede demostrar que la dinámica de X(t) está gobernada por la ecuación diferencial de Gompertz:

$${\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}\right)X(t)}$$

ie tiene la forma cuando se descompone:

$${\displaystyle X^{\prime }(t)=F\left(X(t)\right)X(t),\quad {\mbox{con}}\quad F^{\prime }(X)\leq 0,}$$

F(X) es la tasa de proliferación instantánea de la población celular, cuyo carácter decreciente se debe a la competencia por los nutrientes debido al aumento de la población celular, de forma similar a la tasa de crecimiento logístico. Sin embargo, existe una diferencia fundamental: en el caso logístico la tasa de proliferación para una población celular pequeña es finita:

$${\displaystyle F(X)=\alpha \left(1-\left({\frac {X}{K}}\right)^{\nu }\right)\Rightarrow F(0)=\alpha <+\infty }$$

Mientras que en el caso de Gompertz la tasa de proliferación es ilimitada:

$${\displaystyle \lim_{X\rightarrow 0^{+}}F(X)=\lim_{X\rightarrow 0^{+}}\alpha \log \left({\frac {K}{X}}\right)=+\infty }$$

Como observaron Steel ^[14] y Wheldon ^[15] , la tasa de proliferación de la población celular está limitada en última instancia por el tiempo de división celular. Por lo tanto, esto podría ser una evidencia de que la ecuación de Gompertz no es buena para modelar el crecimiento de tumores pequeños. Además, más recientemente se ha observado ^[16] que, incluida la interacción con el sistema inmunológico, Gompertz y otras leyes caracterizadas por F(0) ilimitadas excluirían la posibilidad de vigilancia inmunológica.

El estudio teórico de Fornalski et al. ^[17] mostró la base biofísica de la curva de Gompertz para el crecimiento del cáncer, excepto en la fase muy temprana, donde la función parabólica es más apropiada. Encontraron también que la curva de Gompertz describe el caso más típico dentro de la amplia familia de funciones de la dinámica del cáncer.

La ecuación diferencial de Gompertz

$${\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}\right)X(t)}$$

es el caso límite de la ecuación diferencial logística generalizada

$${\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \nu \left(1-\left({\frac {X(t)}{K}}\right)^{\frac {1}{\nu }}\right)X(t)}$$

(donde es un número real positivo) ya que${\displaystyle \nu >0}$

$${\displaystyle \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\nu \left(1-x^{1/\nu }\right)=-\log \left(x\right)}$$.

Además, hay un punto de inflexión en el gráfico de la función logística generalizada cuando

$${\displaystyle X(t)=\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }K}$$

y uno en la gráfica de la función de Gompertz cuando

$${\displaystyle X(t)={\frac {K}{e}}=K\cdot \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }}$$.

Basándose en las consideraciones anteriores, Wheldon ^[15] propuso un modelo matemático de crecimiento tumoral, llamado modelo Gomp-Ex, que modifica ligeramente la ley de Gompertz. En el modelo Gomp-Ex se supone que inicialmente no hay competencia por los recursos, de modo que la población celular se expande siguiendo la ley exponencial. Sin embargo, existe un umbral de tamaño crítico tal que para . La suposición de que no hay competencia por los recursos se cumple en la mayoría de los escenarios. Sin embargo, puede verse afectada por factores limitantes , lo que requiere la creación de variables de subfactores.$Estilo de visualización X_{C}}$$Estilo de visualización X>X_{C}}$

El crecimiento sigue la ley de Gompertz:

$${\displaystyle F(X)=\max \left(a,\alpha \log \left({\frac {K}{X}}\right)\right)}$$

de modo que:

$${\displaystyle X_{C}=K\exp \left(-{\frac {a}{\alpha }}\right).}$$

Aquí hay algunas estimaciones numéricas ^[15] para :$Estilo de visualización X_{C}}$

• ${\textstyle X_{C}\aproximadamente 10^{9}}$para tumores humanos
• ${\textstyle X_{C}\aproximadamente 10^{6}}$para tumores murinos (ratón)

La función de Gompertz es una correspondencia biyectiva (también conocida como función biyectiva ) y, por lo tanto, su función inversa se puede expresar explícitamente en notación funcional tradicional como una función continua única. Dada una función de Gompertz de la forma:

$${\displaystyle f(t)=a\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{b-ct}}+d}$$dónde

• d es la asíntota horizontal base, ya que${\textstyle \lim _{t\to -\infty }a\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{b-ct}}+d=a\mathrm {e} ^{-\infty } +d=d}$
• a es la distancia desde la base hasta la segunda asíntota, ya que${\textstyle \lim _{t\to \infty }a\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{b-ct}}+d=a\mathrm {e} ^{0}+d=a+d}$
• b establece el desplazamiento a lo largo del eje x (traslada el gráfico hacia la izquierda o hacia la derecha).
• c establece la tasa de crecimiento ( escala y )
• e es el número de Euler ( e = 2,71828...)

La función inversa correspondiente se puede expresar como:

$${\displaystyle f^{-1}(t)={\frac {1}{c}}\left[b-\ln \left(\ln \left({\frac {a}{t-d}}\right)\right)\right]}$$

La función inversa sólo produce valores numéricos en el conjunto de números reales entre sus dos asíntotas, que ahora son verticales en lugar de horizontales como en la función de Gompertz directa. Fuera del rango definido por las asíntotas verticales, la función inversa requiere calcular el logaritmo de números negativos. Por esta y otras razones, a menudo resulta poco práctico intentar ajustar una función de Gompertz inversa a los datos directamente, especialmente si sólo se dispone de relativamente pocos puntos de datos a partir de los cuales calcular el ajuste. En cambio, se puede ajustar la relación transpuesta de los datos a una función de Gompertz directa y luego convertirla en la función inversa equivalente utilizando la relación entre las dos dadas anteriormente.

De esta manera, la función inversa tiene muchos usos. Por ejemplo, ciertos ensayos ELISA tienen una curva estándar cuyas concentraciones se pueden ajustar muy bien a su densidad óptica mediante una función de Gompertz. Una vez que los estándares se ajustan de esta manera a una función de Gompertz, el cálculo de la concentración desconocida de las muestras en el ensayo a partir de su densidad óptica medida se logra utilizando la inversa de la función de Gompertz que se produjo al ajustar la curva estándar.

• Distribución de Gompertz
• Curva de crecimiento
• Función de von Bertalanffy
• Función sigmoidea

• Weisstein, Eric W. "Curva de Gompertz". MundoMatemático .
• https://archive.org/details/philtrans04942340
• http://chemoth.com/tumorgrowth