Beta termodinámica

En termodinámica estadística , la beta termodinámica , también conocida como frialdad , ^[1] es el recíproco de la temperatura termodinámica de un sistema: (donde T es la temperatura y k _B es la constante de Boltzmann ). ^[2]$${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}}$$

La beta termodinámica tiene unidades recíprocas a las de la energía (en unidades del SI , julios recíprocos , ). En unidades no térmicas, también se puede medir en bytes por julio, o más convenientemente, gigabytes por nanojulio; ^[3] 1 K ⁻¹ es equivalente a aproximadamente 13.062 gigabytes por nanojulio; a temperatura ambiente: T = 300 K, β ≈${\displaystyle [\beta ]={\textrm {J}}^{-1}}$44 GB/nJ ≈39  eV ⁻¹ ≈2,4 × 10 ²⁰  J ⁻¹ . El factor de conversión es 1 GB/nJ = J ⁻¹ .${\displaystyle 8\ln 2\times 10^{18}}$

La beta termodinámica es esencialmente la conexión entre la teoría de la información y la interpretación de la mecánica estadística de un sistema físico a través de su entropía y la termodinámica asociada con su energía . Expresa la respuesta de la entropía a un aumento de energía. Si se agrega una pequeña cantidad de energía al sistema, entonces β describe la cantidad en que el sistema se aleatorizará.

A través de la definición estadística de la temperatura como función de la entropía, la función de frío se puede calcular en el conjunto microcanónico a partir de la fórmula

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}\,={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}\left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)_{V,N}}$

(es decir, la derivada parcial de la entropía S con respecto a la energía E a volumen constante V y número de partículas N ).

Aunque es completamente equivalente en contenido conceptual a la temperatura, β generalmente se considera una cantidad más fundamental que la temperatura debido al fenómeno de temperatura negativa , en el que β es continua cuando cruza cero mientras que T tiene una singularidad. ^[4]

Además, β tiene la ventaja de ser más fácil de entender causalmente: si se añade una pequeña cantidad de calor a un sistema, β es el aumento de entropía dividido por el aumento de calor. La temperatura es difícil de interpretar en el mismo sentido, ya que no es posible "añadir entropía" a un sistema excepto de forma indirecta, modificando otras magnitudes como la temperatura, el volumen o el número de partículas.

Desde el punto de vista estadístico, β es una cantidad numérica que relaciona dos sistemas macroscópicos en equilibrio. La formulación exacta es la siguiente. Considérese dos sistemas, 1 y 2, en contacto térmico, con energías respectivas E ₁ y E ₂ . Suponemos que E ₁ + E ₂ = alguna constante E . El número de microestados de cada sistema se denotará por Ω ₁ y Ω ₂ . Bajo nuestras suposiciones, Ω _i depende solo de E _i . También suponemos que cualquier microestado del sistema 1 consistente con E ₁ puede coexistir con cualquier microestado del sistema 2 consistente con E ₂ . Por lo tanto, el número de microestados para el sistema combinado es

${\displaystyle \Omega =\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E_{2})=\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}( E-E_{1}).\,}$

Derivaremos β del supuesto fundamental de la mecánica estadística :

Cuando el sistema combinado alcanza el equilibrio, el número Ω se maximiza.

(En otras palabras, el sistema busca naturalmente el número máximo de microestados). Por lo tanto, en equilibrio,

${\displaystyle {\frac {d}{dE_{1}}}\Omega =\Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})+\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})\cdot {\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=0.}$

Pero E ₁ + E ₂ = E implica

${\displaystyle {\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=-1.}$

Entonces

${\displaystyle \Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})-\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})=0}$

es decir

${\displaystyle {\frac {d}{dE_{1}}}\ln \Omega _{1}={\frac {d}{dE_{2}}}\ln \Omega _{2}\quad {\mbox{at equilibrium.}}}$

La relación anterior motiva una definición de β :

${\displaystyle \beta ={\frac {d\ln \Omega }{dE}}.}$

Cuando dos sistemas están en equilibrio, tienen la misma temperatura termodinámica T . Por lo tanto, intuitivamente, se esperaría que β (tal como se define a través de microestados) esté relacionada con T de alguna manera. Este vínculo lo proporciona el supuesto fundamental de Boltzmann escrito como

${\displaystyle S=k_{\rm {B}}\ln \Omega ,}$

donde k _B es la constante de Boltzmann , S es la entropía termodinámica clásica y Ω es el número de microestados.

${\displaystyle d\ln \Omega ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}dS.}$

Sustituyendo en la definición de β la definición estadística anterior se obtiene

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}{\frac {dS}{dE}}.}$

Comparando con la fórmula termodinámica

${\displaystyle {\frac {dS}{dE}}={\frac {1}{T}},}$

tenemos

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}={\frac {1}{\tau }}}$

donde se llama temperatura fundamental del sistema, y ​​tiene unidades de energía.${\displaystyle \tau }$

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La beta termodinámica fue introducida originalmente en 1971 (como Kältefunktion "función de frío") por Ingo Müller  [de] , uno de los defensores de la escuela de pensamiento de la termodinámica racional , ^{[5] [6]} basándose en propuestas anteriores de una función de "temperatura recíproca". ^{[1] [7] [ se necesita una fuente no primaria ]}

• Distribución de Boltzmann
• Conjunto canónico
• Modelo de Ising