Forma normal de Hesse

En geometría analítica , la forma normal de Hesse (nombrada en honor a Otto Hesse ) es una ecuación utilizada para describir una línea en el plano euclidiano , un plano en el espacio euclidiano o un hiperplano en dimensiones superiores . ^{[1] [2]} Se utiliza principalmente para calcular distancias (ver distancia punto-plano y distancia punto-línea ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Se escribe en notación vectorial como

${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,}$

El punto indica el producto escalar. El vector apunta desde el origen del sistema de coordenadas, O , a cualquier punto P que se encuentre exactamente en el plano o en la línea E. El vector representa el vector normal unitario del plano o la línea E. La distancia es la distancia más corta desde el origen O hasta el plano o la línea.${\estilo de visualización \cdot}$${\displaystyle {\vec {r}}}$${\displaystyle {\vec {n}}_{0}}$ ${\displaystyle d\geq 0}$

Nota: Para simplificar, la siguiente derivación analiza el caso 3D. Sin embargo, también es aplicable en 2D.

En la forma normal,

${\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}=0\,}$

Un plano está dado por un vector normal y un vector de posición arbitrario de un punto . La dirección de se elige para satisfacer la siguiente desigualdad ${\displaystyle {\vec {n}}}$${\displaystyle {\vec {a}}}$${\displaystyle A\en E}$${\displaystyle {\vec {n}}}$

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {n}}\geq 0\,}$

Dividiendo el vector normal por su magnitud , obtenemos el vector normal unitario (o normalizado)${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle |{\vec {n}}|}$

${\displaystyle {\vec {n}}_{0}={{\vec {n}} \over {|{\vec {n}}|}}\,}$

y la ecuación anterior se puede reescribir como

${\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}_{0}=0.\,}$

Sustituyendo

${\displaystyle d={\vec {a}}\cdot {\vec {n}}_{0}\geq 0\,}$

obtenemos la forma normal de Hesse

${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,}$

En este diagrama, d es la distancia desde el origen. Debido a que se cumple para cada punto del plano, también es cierto en el punto Q (el punto donde el vector desde el origen se encuentra con el plano E), con , según la definición del producto escalar${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}=d}$${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{s}}$

${\displaystyle d={\vec {r}}_{s}\cdot {\vec {n}}_{0}=|{\vec {r}}_{s}|\cdot |{\vec { n}}_{0}|\cdot \cos(0^{\circ })=|{\vec {r}}_{s}|\cdot 1=|{\vec {r}}_{s} |.\,}$

La magnitud de es la distancia más corta desde el origen hasta el plano.${\displaystyle |{\vec {r}}_{s}|}$${\displaystyle {{\vec {r}}_{s}}}$

La cuadratura (distancia al cuadrado) de una línea a un punto es${\displaystyle ax+by+c=0}$${\estilo de visualización (x,y)}$

${\displaystyle {\frac {(ax+by+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}.}$

Si tiene longitud unitaria entonces esto se convierte en${\estilo de visualización (a,b)}$${\displaystyle (ax+by+c)^{2}.}$

• Weisstein, Eric W. "Forma normal hessiana". MathWorld .