Argumento (análisis complejo)

En matemáticas (particularmente en análisis complejo ), el argumento de un número complejo z , denotado arg( z ) , es el ángulo entre el eje real positivo y la línea que une el origen y z , representado como un punto en el plano complejo , como se muestra en la Figura 1. Por convención, el eje real positivo se dibuja apuntando hacia la derecha, el eje imaginario positivo se dibuja apuntando hacia arriba y se considera que los números complejos con parte real positiva tienen un argumento en sentido antihorario con signo positivo.${\estilo de visualización \varphi}$

Cuando se considera cualquier ángulo de valor real, el argumento es una función multivaluada que opera sobre los números complejos distintos de cero . El valor principal de esta función es univaluado, típicamente elegido para ser el único valor del argumento que se encuentra dentro del intervalo (− π , π ] . ^{[1] [2]} En este artículo la función multivaluada se denotará arg( z ) y su valor principal se denotará Arg( z ) , pero en algunas fuentes se intercambia la capitalización de estos símbolos.

Un argumento del número complejo distinto de cero z = x + iy , denotado arg( z ) , se define de dos maneras equivalentes:

1. Geométricamente, en el plano complejo , como el ángulo polar 2D desde el eje real positivo hasta el vector que representa z . El valor numérico viene dado por el ángulo en radianes y es positivo si se mide en sentido antihorario.${\estilo de visualización \varphi}$
2. Algebraicamente, como cualquier cantidad real tal que para algún valor real positivo r (véase la fórmula de Euler ). La cantidad r es el módulo (o valor absoluto) de z , denotado | z |:${\estilo de visualización \varphi}$$${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi }}$$$${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$$

El argumento de cero suele dejarse sin definir. Los nombres magnitud , para el módulo, y fase , ^{[3] [1]} para el argumento, a veces se utilizan de forma equivalente.

Bajo ambas definiciones, se puede ver que el argumento de cualquier número complejo distinto de cero tiene muchos valores posibles: en primer lugar, como ángulo geométrico, está claro que las rotaciones de un círculo completo no cambian el punto, por lo que los ángulos que difieren en un múltiplo entero de 2π radianes (un círculo completo) son los mismos, como se refleja en la figura 2 a la derecha. De manera similar, a partir de la periodicidad de sen y cos , la segunda definición también tiene esta propiedad.

Como una rotación completa alrededor del origen deja un número complejo sin cambios, hay muchas opciones que se pueden tomar dando vueltas alrededor del origen cualquier número de veces. Esto se muestra en la figura 2, una representación de la función multivalor (valor fijo) , donde una línea vertical (no se muestra en la figura) corta la superficie en alturas que representan todas las opciones posibles de ángulo para ese punto.${\estilo de visualización \varphi}$${\displaystyle f(x,y)=\arg(x+iy)}$

Cuando se requiere una función bien definida , entonces la elección habitual, conocida como valor principal , es el valor en el intervalo abierto-cerrado (− π rad, π rad] , es decir de − π a π radianes , excluyendo − π rad en sí (equiv., de −180 a +180 grados , excluyendo −180° en sí). Esto representa un ángulo de hasta medio círculo completo desde el eje real positivo en cualquier dirección.

Algunos autores definen el rango del valor principal como el intervalo cerrado-abierto [0, 2 π ) .

El valor principal a veces tiene la letra inicial en mayúscula, como en Arg z , especialmente cuando también se está considerando una versión general del argumento. Tenga en cuenta que la notación varía, por lo que arg y Arg pueden intercambiarse en diferentes textos.

El conjunto de todos los valores posibles del argumento se puede escribir en términos de Arg como:

${\displaystyle \arg(z)=\{\operatorname {Arg} (z)+2\pi n\mid n\in \mathbb {Z} \}.}$

Si se conoce un número complejo en términos de sus partes reales e imaginarias, entonces la función que calcula el valor principal Arg se llama función arcotangente de dos argumentos, atan2 :

${\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} (y,\,x)}$.

La función atan2 está disponible en las bibliotecas matemáticas de muchos lenguajes de programación, a veces con un nombre diferente, y generalmente devuelve un valor en el rango (−π, π] . ^[1]

En algunas fuentes, el argumento se define como, sin embargo, esto es correcto solo cuando x > 0 , donde está bien definido y el ángulo se encuentra entre y Extender esta definición a casos donde x no es positivo es relativamente complicado. Específicamente, uno puede definir el valor principal del argumento por separado en el semiplano x > 0 y los dos cuadrantes con x < 0 , y luego unir las definiciones:${\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)=\arctan(y/x),}$${\estilo de visualización y/x}$${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}.}$

${\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} (y,\,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{si }}x>0,\\[5mu]\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\text{si }}x<0{\text{ y }}y\geq 0,\\[5mu]\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\text{si }}x<0{\text{ y }}y<0,\\[5mu]+{\frac {\pi }{2}}&{\text{si }}x=0{\text{ y }}y>0,\\[5mu]-{\frac {\pi }{2}}&{\text{si }}x=0{\text{ y }}y<0,\\[5mu]{\text{indefinido}}&{\text{si }}x=0{\text{ y }}y=0.\end{cases}}}$

Consulte atan2 para obtener más detalles e implementaciones alternativas.

En el lenguaje Wolfram, hay Arg[z]: ^[4]

Arg[x + y I] ${\displaystyle ={\begin{cases}{\text{undefined}}&{\text{si }}|x|=\infty {\text{y }}|y|=\infty ,\\[5mu]0&{\text{si }}x=0{\text{y }}y=0,\\[5mu]0&{\text{si }}x=\infty ,\\[5mu]\pi &{\text{si }}x=-\infty ,\\[5mu]\pm {\frac {\pi }{2}}&{\text{si }}y=\pm \infty ,\\[5mu]\operatorname {Arg} (x+yi)&{\text{de lo contrario}}.\end{cases}}}$

o usando el idioma ArcTan:

Arg[x + y I] ${\displaystyle ={\begin{cases}0&{\text{si }}x=0{\text{ y }}y=0,\\[5mu]{\text{ArcTan[x, y]}}&{\text{en caso contrario}}.\end{cases}}}$

ArcTan[x, y]se extiende para trabajar con infinitos. es (es decir, todavía está definido), mientras que no devuelve nada (es decir, no está definido ).${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$ArcTan[0, 0]IndeterminateArcTan[Infinity, -Infinity]

Maple se argument(z)comporta igual que Arg[z]en el lenguaje Wolfram, excepto que argument(z)también devuelve si es el valor de punto flotante especial . ^[5] Además, Maple no tiene .${\estilo de visualización \pi}$z−0.${\displaystyle \operatorname {atan2} }$

MATLAB se angle(z)comporta ^{[6] [7]} igual que Arg[z]en lenguaje Wolfram, excepto que es

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1\pi }{4}}&{\text{if }}x=\infty {\text{ and }}y=\infty ,\\[5mu]-{\frac {1\pi }{4}}&{\text{if }}x=\infty {\text{ and }}y=-\infty ,\\[5mu]{\frac {3\pi }{4}}&{\text{if }}x=-\infty {\text{ and }}y=\infty ,\\[5mu]-{\frac {3\pi }{4}}&{\text{if }}x=-\infty {\text{ and }}y=-\infty .\end{cases}}}$

A diferencia de los lenguajes Maple y Wolfram, el de MATLAB atan2(y, x)es equivalente a angle(x + y*1i). Es decir, atan2(0, 0)es .${\displaystyle 0}$

Una de las principales motivaciones para definir el valor principal Arg es poder escribir números complejos en forma de módulo-argumento. Por lo tanto, para cualquier número complejo z ,

${\displaystyle z=\left|z\right|e^{i\operatorname {Arg} z}.}$

Esto sólo es realmente válido si z no es cero, pero puede considerarse válido para z = 0 si Arg(0) se considera como una forma indeterminada , en lugar de indefinida.

Se deducen algunas identidades adicionales. Si z ₁ y z ₂ son dos números complejos distintos de cero, entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Arg} (z_{1}z_{2})&\equiv \operatorname {Arg} (z_{1})+\operatorname {Arg} (z_{2}){\pmod {\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }},\\\operatorname {Arg} \left({\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right)&\equiv \operatorname {Arg} (z_{1})-\operatorname {Arg} (z_{2}){\pmod {\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }}.\end{aligned}}}$

Si z ≠ 0 y n es cualquier número entero, entonces ^[1]

${\displaystyle \operatorname {Arg} \left(z^{n}\right)\equiv n\operatorname {Arg} (z){\pmod {\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }}.}$

${\displaystyle \operatorname {Arg} {\biggl (}{\frac {-1-i}{i}}{\biggr )}=\operatorname {Arg} (-1-i)-\operatorname {Arg} (i)=-{\frac {3\pi }{4}}-{\frac {\pi }{2}}=-{\frac {5\pi }{4}}}$

De , obtenemos , alternativamente . Como estamos tomando la parte imaginaria, cualquier normalización por un escalar real no afectará el resultado. Esto es útil cuando se tiene disponible el logaritmo complejo .${\displaystyle z=|z|e^{i\operatorname {Arg} (z)}}$${\displaystyle i\operatorname {Arg} (z)=\ln {\frac {z}{|z|}}}$${\displaystyle \operatorname {Arg} (z)=\operatorname {Im} (\ln {\frac {z}{|z|}})=\operatorname {Im} (\ln z)}$

El argumento extendido de un número z (denotado como ) es el conjunto de todos los números reales congruentes con el módulo 2. [ ^8]${\displaystyle {\overline {\arg }}(z)}$${\displaystyle \arg(z)}$${\displaystyle \pi }$$${\displaystyle {\overline {\arg }}(z)=\arg(z)+2k\pi ,\forall k\in \mathbb {Z} }$$

• Argumento en la Enciclopedia de Matemáticas .