En teoría de la probabilidad , especialmente en estadística matemática , una familia de ubicación-escala es una familia de distribuciones de probabilidad parametrizadas por un parámetro de ubicación y un parámetro de escala no negativo . Para cualquier variable aleatoria cuya función de distribución de probabilidad pertenece a dicha familia, la función de distribución de también pertenece a la familia (donde significa " igual en distribución ", es decir, "tiene la misma distribución que").
En otras palabras, una clase de distribuciones de probabilidad es una familia de ubicación-escala si para todas las funciones de distribución acumulativas y cualquier número real y , la función de distribución también es miembro de .
Además, si y son dos variables aleatorias cuyas funciones de distribución son miembros de la familia, y asumiendo la existencia de los dos primeros momentos y tiene media cero y varianza unitaria, entonces se puede escribir como , donde y son la media y la desviación estándar de .
En la teoría de decisiones , si todas las distribuciones alternativas disponibles para un tomador de decisiones están en la misma familia de ubicación-escala, y los primeros dos momentos son finitos, entonces se puede aplicar un modelo de decisión de dos momentos , y la toma de decisiones se puede enmarcar en términos de las medias y las varianzas de las distribuciones. [1] [2] [3]
A menudo, las familias de escala de ubicación se limitan a aquellas en las que todos los miembros tienen la misma forma funcional. La mayoría de las familias de escala de ubicación son univariadas , aunque no todas. Las familias conocidas en las que la forma funcional de la distribución es consistente en toda la familia incluyen las siguientes:
A continuación se muestra cómo implementar una familia de escala de ubicación en un paquete estadístico o un entorno de programación donde solo están disponibles las funciones para la versión "estándar" de una distribución. Está diseñada para R, pero se puede generalizar a cualquier lenguaje y biblioteca.
El ejemplo que se muestra aquí es de la distribución t de Student , que normalmente se proporciona en R solo en su forma estándar, con un único parámetro de grados de libertaddf
. Las versiones a continuación con _ls
anexos muestran cómo generalizar esto a una distribución t de Student generalizadam
con un parámetro de ubicación y un parámetro de escala arbitrarios s
.
Función de densidad de probabilidad (PDF): | dt_ls(x, df, m, s) = | 1/s * dt((x - m) / s, df) |
Función de distribución acumulativa (CDF): | pt_ls(x, df, m, s) = | pt((x - m) / s, df) |
Función cuantil (CDF inversa): | qt_ls(prob, df, m, s) = | qt(prob, df) * s + m |
Generar una variable aleatoria : | rt_ls(df, m, s) = | rt(df) * s + m |
Tenga en cuenta que las funciones generalizadas no tienen desviación estándar s
ya que la distribución t estándar no tiene desviación estándar de 1.