Oración (lógica matemática)

En lógica matemática , una oración (o fórmula cerrada ) ^[1] de una lógica de predicados es una fórmula bien formada con valor booleano sin variables libres . Una oración puede considerarse como la expresión de una proposición , algo que debe ser verdadero o falso. La restricción de no tener variables libres es necesaria para garantizar que las oraciones puedan tener valores de verdad concretos y fijos : como las variables libres de una fórmula (general) pueden variar entre varios valores, el valor de verdad de dicha fórmula puede variar.

Las oraciones que no contienen ningún conectivo lógico ni cuantificador se conocen como oraciones atómicas , por analogía con la fórmula atómica . Las oraciones se construyen a partir de oraciones atómicas aplicando conectivos y cuantificadores.

Un conjunto de oraciones se denomina teoría ; por lo tanto, las oraciones individuales pueden llamarse teoremas . Para evaluar adecuadamente la verdad (o falsedad) de una oración, uno debe hacer referencia a una interpretación de la teoría. Para las teorías de primer orden, las interpretaciones se denominan comúnmente estructuras . Dada una estructura o interpretación, una oración tendrá un valor de verdad fijo. Una teoría es satisfacible cuando es posible presentar una interpretación en la que todas sus oraciones sean verdaderas. El estudio de algoritmos para descubrir automáticamente interpretaciones de teorías que hagan que todas las oraciones sean verdaderas se conoce como el problema de satisfacibilidad módulo teorías .

Para la interpretación de fórmulas, considere estas estructuras: los números reales positivos , los números reales y los números complejos . El siguiente ejemplo en lógica de primer orden

${\displaystyle \para todo y\ \existe x\ (y=x^{2})}$

es una oración. Esta oración significa que para cada y, existe una x tal que Esta oración es verdadera para números reales positivos, falsa para números reales y verdadera para números complejos. ${\textstyle y=x^{2}.}$

Sin embargo, la fórmula

${\displaystyle \existe x\ (y=x^{2})}$

no es una oración debido a la presencia de la variable libre y . Para números reales, esta fórmula es verdadera si sustituimos (arbitrariamente) pero es falsa si${\textstyle y=2,}$${\textstyle y=-2.}$

Lo importante no es el valor de verdad inconstante, sino la presencia de una variable libre; por ejemplo, incluso en el caso de números complejos, donde la fórmula siempre es verdadera, no se la considera una oración. A esa fórmula se la puede llamar predicado .

• Expresión fundamental
• Fórmula abierta
• Afirmación (lógica)
• Proposición

• Hinman, P. (2005). Fundamentos de lógica matemática . AK Peters. ISBN 1-56881-262-0.
• Rautenberg, Wolfgang (2010), Una introducción concisa a la lógica matemática (3.ª ed.), Nueva York : Springer Science+Business Media , doi :10.1007/978-1-4419-1221-3, ISBN 978-1-4419-1220-6.

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