Teoría de vigas de Euler-Bernoulli

La teoría de vigas de Euler-Bernoulli (también conocida como teoría de vigas de ingeniero o teoría clásica de vigas ) ^[1] es una simplificación de la teoría lineal de elasticidad que proporciona un medio para calcular las características de carga y deflexión de las vigas . Cubre el caso correspondiente a pequeñas deflexiones de una viga que está sujeta solo a cargas laterales. Al ignorar los efectos de la deformación cortante y la inercia rotatoria, es un caso especial de la teoría de vigas de Timoshenko-Ehrenfest . Se enunció por primera vez alrededor de 1750, ^[2] pero no se aplicó a gran escala hasta el desarrollo de la Torre Eiffel y la noria a fines del siglo XIX. Después de estas demostraciones exitosas, rápidamente se convirtió en una piedra angular de la ingeniería y un facilitador de la Segunda Revolución Industrial .

Se han desarrollado modelos matemáticos adicionales , como la teoría de placas , pero la simplicidad de la teoría de vigas la convierte en una herramienta importante en las ciencias, especialmente en la ingeniería estructural y mecánica .

El consenso predominante es que Galileo Galilei hizo los primeros intentos de desarrollar una teoría de vigas, pero estudios recientes sostienen que Leonardo da Vinci fue el primero en hacer las observaciones cruciales. Da Vinci carecía de la ley de Hooke y del cálculo para completar la teoría, mientras que Galileo se vio frenado por una suposición incorrecta que hizo. ^[3]

La viga de Bernoulli recibe su nombre de Jacob Bernoulli , quien realizó importantes descubrimientos. Leonhard Euler y Daniel Bernoulli fueron los primeros en desarrollar una teoría útil alrededor de 1750. ^[4]

La ecuación de Euler-Bernoulli describe la relación entre la desviación de la viga y la carga aplicada: ^[5]

La curva describe la desviación de la viga en la dirección en alguna posición (recuerde que la viga se modela como un objeto unidimensional). es una carga distribuida, en otras palabras, una fuerza por unidad de longitud (análoga a la presión que es una fuerza por área); puede ser una función de , u otras variables. es el módulo elástico y es el segundo momento del área de la sección transversal de la viga. debe calcularse con respecto al eje que es perpendicular a la carga aplicada. ^{[N 1]} Explícitamente, para una viga cuyo eje está orientado a lo largo de una carga a lo largo de , la sección transversal de la viga está en el plano y el segundo momento del área relevante es${\estilo de visualización w(x)}$${\estilo de visualización z}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización q}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización w}$${\estilo de visualización E}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización z}$${\estilo de visualización yz}$

${\displaystyle I=\iint z^{2}\;dy\;dz,}$

donde se supone que el centroide de la sección transversal se encuentra en .${\displaystyle y=z=0}$

A menudo, el producto (conocido como rigidez a la flexión ) es una constante, de modo que${\displaystyle EI}$

${\displaystyle EI{\frac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x).\,}$

Esta ecuación, que describe la deflexión de una viga estática uniforme, se utiliza ampliamente en la práctica de la ingeniería. Las expresiones tabuladas para la deflexión para configuraciones de vigas comunes se pueden encontrar en manuales de ingeniería. Para situaciones más complicadas, la deflexión se puede determinar resolviendo la ecuación de Euler-Bernoulli utilizando técnicas como " integración directa ", " método de Macaulay ", " método del área de momento " , " método de viga conjugada ", " principio del trabajo virtual ", " método de Castigliano ", " método de flexibilidad ", " método de deflexión de pendiente ", " método de distribución de momentos " o " método de rigidez directa ".${\estilo de visualización w}$

Aquí se definen las convenciones de signos, ya que se pueden encontrar diferentes convenciones en la literatura. ^[5] En este artículo, se utiliza un sistema de coordenadas diestro con el eje a la derecha, el eje apuntando hacia arriba y el eje apuntando hacia la figura. El signo del momento flector se toma como positivo cuando el vector de torsión asociado con el momento flector en el lado derecho de la sección está en la dirección positiva, es decir, un valor positivo de produce tensión de compresión en la superficie inferior. Con esta elección de la convención de signos del momento flector, para tener , es necesario que la fuerza cortante que actúa en el lado derecho de la sección sea positiva en la dirección para lograr el equilibrio estático de momentos. Si la intensidad de carga se toma positiva en la dirección positiva, entonces es necesario para el equilibrio de fuerzas.${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización z}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización M}$${\displaystyle dM=Qdx}$${\estilo de visualización Q}$${\estilo de visualización z}$${\estilo de visualización q}$${\estilo de visualización z}$${\displaystyle dQ=-qdx}$

Las derivadas sucesivas de la desviación tienen significados físicos importantes: es la pendiente de la viga, que es el ángulo de rotación en sentido antihorario alrededor del eje en el límite de pequeños desplazamientos;${\estilo de visualización w}$$Estilo de visualización: dw/dx$${\estilo de visualización y}$

${\displaystyle M=-EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}}$

es el momento flector en la viga; y

${\displaystyle Q=-{\frac {d}{dx}}\left(EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}\right)}$

es la fuerza cortante en la viga.

Las tensiones en una viga se pueden calcular a partir de las expresiones anteriores después de determinar la desviación debida a una carga dada.

Debido a la importancia fundamental de la ecuación del momento flector en ingeniería, proporcionaremos una breve derivación. Pasamos a coordenadas polares. La longitud del eje neutro en la figura es La longitud de una fibra con una distancia radial por debajo del eje neutro es Por lo tanto, la deformación de esta fibra es${\displaystyle \rho d\theta .}$${\estilo de visualización z}$${\displaystyle (\rho +z)d\theta .}$

${\displaystyle {\frac {\left(\rho +z-\rho \right)\ d\theta }{\rho \ d\theta }}={\frac {z}{\rho }}.}$

La tensión de esta fibra es donde es el módulo elástico de acuerdo con la Ley de Hooke . El vector de fuerza diferencial, resultante de esta tensión, viene dado por${\displaystyle E{\dfrac {z}{\rho }}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle d\mathbf {F} ,}$

${\displaystyle d\mathbf {F} =E{\frac {z}{\rho }}dA\mathbf {e_{x}} .}$

Este es el vector de fuerza diferencial ejercido en el lado derecho de la sección que se muestra en la figura. Sabemos que está en la dirección ya que la figura muestra claramente que las fibras en la mitad inferior están en tensión. es el elemento diferencial de área en la ubicación de la fibra. El vector de momento flector diferencial, asociado con, está dado por${\displaystyle \mathbf {e_{x}} }$${\displaystyle dA}$${\displaystyle d\mathbf {M} }$${\displaystyle d\mathbf {F} }$

${\displaystyle d\mathbf {M} =-z\mathbf {e_{z}} \times d\mathbf {F} =-\mathbf {e_{y}} E{\frac {z^{2}}{\rho }}dA.}$

Esta expresión es válida para las fibras de la mitad inferior de la viga. La expresión para las fibras de la mitad superior de la viga será similar, excepto que el vector del brazo de momento estará en la dirección positiva y el vector de fuerza estará en la dirección ya que las fibras superiores están en compresión. Pero el vector de momento flector resultante seguirá estando en la dirección ya que Por lo tanto, integramos sobre toda la sección transversal de la viga y obtenemos para el vector de momento flector ejercido sobre la sección transversal derecha de la viga la expresión${\displaystyle z}$${\displaystyle -x}$${\displaystyle -y}$${\displaystyle \mathbf {e_{z}} \times -\mathbf {e_{x}} =-\mathbf {e_{y}} .}$${\displaystyle \mathbf {M} }$

${\displaystyle \mathbf {M} =\int d\mathbf {M} =-\mathbf {e_{y}} {\frac {E}{\rho }}\int {z^{2}}\ dA=-\mathbf {e_{y}} {\frac {EI}{\rho }},}$

donde es el segundo momento del área . A partir del cálculo, sabemos que cuando es pequeño, como lo es para una viga de Euler-Bernoulli, podemos hacer la aproximación , donde es el radio de curvatura . Por lo tanto,${\displaystyle I}$${\displaystyle {\dfrac {dw}{dx}}}$${\displaystyle {\dfrac {1}{\rho }}\simeq {\dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \mathbf {M} =-\mathbf {e_{y}} EI{d^{2}w \over dx^{2}}.}$

Esta ecuación vectorial se puede separar en la definición del vector unitario de flexión ( está orientada como ), y en la ecuación de flexión:${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {e_{y}} }$

${\displaystyle M=-EI{d^{2}w \over dx^{2}}.}$

La ecuación de la viga dinámica es la ecuación de Euler-Lagrange para la siguiente acción

${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\int _{0}^{L}\left[{\frac {1}{2}}\mu \left({\frac {\partial w}{\partial t}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}EI\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)^{2}+q(x)w(x,t)\right]dxdt.}$

El primer término representa la energía cinética, donde es la masa por unidad de longitud, el segundo término representa la energía potencial debida a las fuerzas internas (cuando se considera con un signo negativo) y el tercer término representa la energía potencial debida a la carga externa . La ecuación de Euler-Lagrange se utiliza para determinar la función que minimiza la funcional . Para una viga dinámica de Euler-Bernoulli, la ecuación de Euler-Lagrange es${\displaystyle \mu }$${\displaystyle q(x)}$${\displaystyle S}$

Cuando la viga es homogénea, y son independientes de , y la ecuación de la viga es más simple:${\displaystyle E}$${\displaystyle I}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle EI{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}=-\mu {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+q\,.}$

En ausencia de una carga transversal, , tenemos la ecuación de vibración libre . Esta ecuación se puede resolver utilizando una descomposición de Fourier del desplazamiento en la suma de vibraciones armónicas de la forma${\displaystyle q}$

${\displaystyle w(x,t)={\text{Re}}[{\hat {w}}(x)~e^{-i\omega t}]}$

donde es la frecuencia de vibración. Entonces, para cada valor de frecuencia, podemos resolver una ecuación diferencial ordinaria${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}-\mu \omega ^{2}{\hat {w}}=0\,.}$

La solución general de la ecuación anterior es

${\displaystyle {\hat {w}}=A_{1}\cosh(\beta x)+A_{2}\sinh(\beta x)+A_{3}\cos(\beta x)+A_{4}\sin(\beta x)\quad {\text{with}}\quad \beta :=\left({\frac {\mu \omega ^{2}}{EI}}\right)^{1/4}}$

donde son constantes. Estas constantes son únicas para un conjunto dado de condiciones de contorno. Sin embargo, la solución para el desplazamiento no es única y depende de la frecuencia. Estas soluciones se escriben típicamente como${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}}$

${\displaystyle {\hat {w}}_{n}=A_{1}\cosh(\beta _{n}x)+A_{2}\sinh(\beta _{n}x)+A_{3}\cos(\beta _{n}x)+A_{4}\sin(\beta _{n}x)\quad {\text{with}}\quad \beta _{n}:=\left({\frac {\mu \omega _{n}^{2}}{EI}}\right)^{1/4}\,.}$

Las cantidades se denominan frecuencias naturales del haz. Cada una de las soluciones de desplazamiento se denomina modo y la forma de la curva de desplazamiento se denomina forma de modo .${\displaystyle \omega _{n}}$

Las condiciones de contorno para una viga en voladizo de longitud (fijada en ) son${\displaystyle L}$${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {w}}_{n}=0~,~~{\frac {d{\hat {w}}_{n}}{dx}}=0\quad {\text{at}}~~x=0\\&{\frac {d^{2}{\hat {w}}_{n}}{dx^{2}}}=0~,~~{\frac {d^{3}{\hat {w}}_{n}}{dx^{3}}}=0\quad {\text{at}}~~x=L\,.\end{aligned}}}$

Si aplicamos estas condiciones, se encuentra que existen soluciones no triviales solo si Esta ecuación no lineal se puede resolver numéricamente. Las primeras cuatro raíces son , , y .${\displaystyle \cosh(\beta _{n}L)\,\cos(\beta _{n}L)+1=0\,.}$${\displaystyle \beta _{1}L=0.596864\pi }$${\displaystyle \beta _{2}L=1.49418\pi }$${\displaystyle \beta _{3}L=2.50025\pi }$${\displaystyle \beta _{4}L=3.49999\pi }$

Las frecuencias naturales de vibración correspondientes son

${\displaystyle \omega _{1}=\beta _{1}^{2}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}={\frac {3.5160}{L^{2}}}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}~,~~\dots }$

Las condiciones de contorno también se pueden utilizar para determinar las formas modales a partir de la solución para el desplazamiento:

${\displaystyle {\hat {w}}_{n}=A_{1}\left[(\cosh \beta _{n}x-\cos \beta _{n}x)+{\frac {\cos \beta _{n}L+\cosh \beta _{n}L}{\sin \beta _{n}L+\sinh \beta _{n}L}}(\sin \beta _{n}x-\sinh \beta _{n}x)\right]}$

La constante desconocida (en realidad constantes ya que hay una para cada ) , que en general es compleja, está determinada por las condiciones iniciales en la velocidad y los desplazamientos de la viga. Normalmente se utiliza un valor de al trazar formas modales. Las soluciones al problema forzado no amortiguado tienen desplazamientos ilimitados cuando la frecuencia de excitación coincide con una frecuencia natural , es decir, la viga puede resonar . Por lo tanto, las frecuencias naturales de una viga corresponden a las frecuencias en las que puede producirse resonancia .${\displaystyle n}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle A_{1}=1}$${\displaystyle \omega _{n}}$

Una viga libre-libre es una viga sin ningún soporte. ^[6] Las condiciones de contorno para una viga libre-libre de longitud que se extiende de a están dadas por:${\displaystyle L}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=L}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}{\hat {w}}_{n}}{dx^{2}}}=0~,~~{\frac {d^{3}{\hat {w}}_{n}}{dx^{3}}}=0\quad {\text{at}}~~x=0\,{\text{and}}\,x=L\,.}$

Si aplicamos estas condiciones, se descubre que existen soluciones no triviales sólo si

${\displaystyle \cosh(\beta _{n}L)\,\cos(\beta _{n}L)-1=0\,.}$

Esta ecuación no lineal se puede resolver numéricamente. Las primeras cuatro raíces son , , , y .${\displaystyle \beta _{1}L=1.50562\pi }$${\displaystyle \beta _{2}L=2.49975\pi }$${\displaystyle \beta _{3}L=3.50001\pi }$${\displaystyle \beta _{4}L=4.50000\pi }$

Las frecuencias naturales de vibración correspondientes son:

${\displaystyle \omega _{1}=\beta _{1}^{2}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}={\frac {22.3733}{L^{2}}}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}~,~~\dots }$

Las condiciones de contorno también se pueden utilizar para determinar las formas modales a partir de la solución para el desplazamiento:

${\displaystyle {\hat {w}}_{n}=A_{1}{\Bigl [}(\cos \beta _{n}x+\cosh \beta _{n}x)-{\frac {\cos \beta _{n}L-\cosh \beta _{n}L}{\sin \beta _{n}L-\sinh \beta _{n}L}}(\sin \beta _{n}x+\sinh \beta _{n}x){\Bigr ]}}$

Al igual que con la viga en voladizo, las constantes desconocidas están determinadas por las condiciones iniciales en la velocidad y los desplazamientos de la viga. Además, las soluciones al problema forzado no amortiguado tienen desplazamientos ilimitados cuando la frecuencia de excitación coincide con una frecuencia natural .${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \omega _{n}}$

Las condiciones de contorno de una viga doblemente sujeta ^[7] de longitud (fijada en y ) son${\displaystyle L}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=L}$

${\displaystyle {\hat {w}}_{n}=0~,~~{\frac {d{\hat {w}}_{n}}{dx}}=0\quad {\text{at}}~~x=0\,{\text{and}}\,x=L\,.}$

Esto implica que existen soluciones para la configuración que impone esta condición. La reorganización para la frecuencia natural da${\displaystyle \sin(\beta _{n}L)\,\sinh(\beta _{n}L)=0\,.}$${\displaystyle \beta _{n}:={\frac {n\pi }{L}}}$

${\displaystyle \omega _{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}}$

Además de la deflexión, la ecuación de vigas describe fuerzas y momentos y, por lo tanto, se puede utilizar para describir tensiones . Por este motivo, la ecuación de vigas de Euler-Bernoulli se utiliza ampliamente en ingeniería , especialmente civil y mecánica, para determinar la resistencia (así como la deflexión) de las vigas bajo flexión.

Tanto el momento flector como la fuerza cortante provocan tensiones en la viga. La tensión debida a la fuerza cortante es máxima a lo largo del eje neutro de la viga (cuando el ancho de la viga, t, es constante a lo largo de la sección transversal de la viga; de lo contrario, se debe evaluar una integral que involucre el primer momento y el ancho de la viga para la sección transversal particular), y la tensión de tracción máxima se encuentra en las superficies superior o inferior. Por lo tanto, la tensión principal máxima en la viga puede no estar ni en la superficie ni en el centro, sino en un área general. Sin embargo, las tensiones de fuerza cortante son insignificantes en comparación con las tensiones de momento flector en todas las vigas, excepto en las más robustas, así como el hecho de que las concentraciones de tensión ocurren comúnmente en las superficies, lo que significa que es probable que la tensión máxima en una viga esté en la superficie.

Para secciones transversales de vigas que son simétricas respecto de un plano perpendicular al plano neutro, se puede demostrar que la tensión de tracción experimentada por la viga se puede expresar como:

${\displaystyle \sigma ={\frac {Mz}{I}}=-zE~{\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}.\,}$

Aquí, es la distancia desde el eje neutro hasta un punto de interés; y es el momento de flexión. Nótese que esta ecuación implica que la flexión pura (de signo positivo) causará tensión cero en el eje neutro, tensión positiva (de tracción) en la "parte superior" de la viga y tensión negativa (de compresión) en la parte inferior de la viga; y también implica que la tensión máxima estará en la superficie superior y la mínima en la parte inferior. Esta tensión de flexión puede superponerse con tensiones aplicadas axialmente, lo que causará un desplazamiento en el eje neutro (tensión cero).${\displaystyle z}$${\displaystyle M}$

La tensión máxima de tracción en una sección transversal está en la posición y la tensión máxima de compresión está en la posición donde la altura de la sección transversal es . Estas tensiones son${\displaystyle z=c_{1}}$${\displaystyle z=-c_{2}}$${\displaystyle h=c_{1}+c_{2}}$

${\displaystyle \sigma _{1}={\cfrac {Mc_{1}}{I}}={\cfrac {M}{S_{1}}}~;~~\sigma _{2}=-{\cfrac {Mc_{2}}{I}}=-{\cfrac {M}{S_{2}}}}$

Las cantidades son los módulos de sección ^[5] y se definen como${\displaystyle S_{1},S_{2}}$

${\displaystyle S_{1}={\cfrac {I}{c_{1}}}~;~~S_{2}={\cfrac {I}{c_{2}}}}$

El módulo de sección combina toda la información geométrica importante sobre la sección de una viga en una sola cantidad. Para el caso en que una viga es doblemente simétrica, tenemos un módulo de sección .${\displaystyle c_{1}=c_{2}}$${\displaystyle S=I/c}$

Necesitamos una expresión para la deformación en términos de la deflexión de la superficie neutra para relacionar las tensiones en una viga de Euler-Bernoulli con la deflexión. Para obtener esa expresión, utilizamos la suposición de que las normales a la superficie neutra permanecen normales durante la deformación y que las deflexiones son pequeñas. Estas suposiciones implican que la viga se dobla en un arco de círculo de radio (ver Figura 1) y que la superficie neutra no cambia de longitud durante la deformación. ^[5]${\displaystyle \rho }$

Sea la longitud de un elemento de la superficie neutra en estado no deformado. Para desviaciones pequeñas, el elemento no cambia su longitud después de doblarse, sino que se deforma en un arco de círculo de radio . Si es el ángulo subtendido por este arco, entonces .${\displaystyle \mathrm {d} x}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathrm {d} \theta }$${\displaystyle \mathrm {d} x=\rho ~\mathrm {d} \theta }$

Consideremos ahora otro segmento del elemento a una distancia por encima de la superficie neutra. La longitud inicial de este elemento es . Sin embargo, después de doblarlo, la longitud del elemento se convierte en . La deformación en ese segmento de la viga está dada por${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathrm {d} x}$${\displaystyle \mathrm {d} x'=(\rho -z)~\mathrm {d} \theta =\mathrm {d} x-z~\mathrm {d} \theta }$

${\displaystyle \varepsilon _{x}={\cfrac {\mathrm {d} x'-\mathrm {d} x}{\mathrm {d} x}}=-{\cfrac {z}{\rho }}=-\kappa ~z}$

donde es la curvatura de la viga. Esto nos da la deformación axial en la viga como función de la distancia desde la superficie neutra. Sin embargo, todavía necesitamos encontrar una relación entre el radio de curvatura y la deflexión de la viga .${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle w}$

Sea P un punto de la superficie neutra de la viga a una distancia del origen del sistema de coordenadas. La pendiente de la viga es aproximadamente igual al ángulo que forma la superficie neutra con el eje para los ángulos pequeños que se encuentran en la teoría de vigas. Por lo tanto, con esta aproximación,${\displaystyle x}$${\displaystyle (x,z)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \theta (x)={\cfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}}$

Por lo tanto, para un elemento infinitesimal , la relación se puede escribir como${\displaystyle \mathrm {d} x}$${\displaystyle \mathrm {d} x=\rho ~\mathrm {d} \theta }$

${\displaystyle {\cfrac {1}{\rho }}={\cfrac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} x}}={\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}=\kappa }$

Por lo tanto, la deformación en la viga puede expresarse como

${\displaystyle \varepsilon _{x}=-z\kappa }$

Para un material elástico lineal isótropo homogéneo , la tensión está relacionada con la deformación mediante , donde es el módulo de Young . Por lo tanto, la tensión en una viga de Euler-Bernoulli está dada por${\displaystyle \sigma =E\varepsilon }$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \sigma _{x}=-zE{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Obsérvese que la relación anterior, cuando se compara con la relación entre la tensión axial y el momento flector, conduce a

${\displaystyle M=-EI{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Dado que la fuerza cortante está dada por , también tenemos${\displaystyle Q=\mathrm {d} M/\mathrm {d} x}$

${\displaystyle Q=-EI{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}}$

La ecuación de la viga contiene una derivada de cuarto orden en . Para encontrar una solución única necesitamos cuatro condiciones de contorno. Las condiciones de contorno normalmente modelan apoyos , pero también pueden modelar cargas puntuales, cargas distribuidas y momentos. Las condiciones de contorno de apoyo o desplazamiento se utilizan para fijar valores de desplazamiento ( ) y rotaciones ( ) en el contorno. Dichas condiciones de contorno también se denominan condiciones de contorno de Dirichlet . Las condiciones de contorno de carga y momento implican derivadas más altas de y representan el flujo de momento . Las condiciones de contorno de flujo también se denominan condiciones de contorno de Neumann .${\displaystyle x}$${\displaystyle w(x,t)}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \mathrm {d} w/\mathrm {d} x}$${\displaystyle w}$

Como ejemplo, considere una viga en voladizo que está incorporada en un extremo y libre en el otro, como se muestra en la figura adyacente. En el extremo incorporado de la viga no puede haber ningún desplazamiento o rotación de la viga. Esto significa que en el extremo izquierdo tanto la deflexión como la pendiente son cero. Dado que no se aplica ningún momento de flexión externo en el extremo libre de la viga, el momento de flexión en esa ubicación es cero. Además, si no se aplica ninguna fuerza externa a la viga, la fuerza de corte en el extremo libre también es cero.

Tomando la coordenada del extremo izquierdo como y la del extremo derecho como (la longitud de la viga), estas afirmaciones se traducen al siguiente conjunto de condiciones de contorno (supongamos que es una constante):${\displaystyle x}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle L}$${\displaystyle EI}$

${\displaystyle w|_{x=0}=0\quad ;\quad {\frac {\partial w}{\partial x}}{\bigg |}_{x=0}=0\qquad {\mbox{(fixed end)}}\,}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}{\bigg |}_{x=L}=0\quad ;\quad {\frac {\partial ^{3}w}{\partial x^{3}}}{\bigg |}_{x=L}=0\qquad {\mbox{(free end)}}\,}$

Un soporte simple (pasador o rodillo) es equivalente a una fuerza puntual sobre la viga que se ajusta de tal manera que fija la posición de la viga en ese punto. Un soporte fijo o abrazadera, es equivalente a la combinación de una fuerza puntual y un torque puntual que se ajusta de tal manera que fija tanto la posición como la pendiente de la viga en ese punto. Las fuerzas y torques puntuales, ya sea de soportes o aplicados directamente, dividirán una viga en un conjunto de segmentos, entre los cuales la ecuación de la viga producirá una solución continua, dadas cuatro condiciones de contorno, dos en cada extremo del segmento. Suponiendo que el producto EI es una constante, y definiendo donde F es la magnitud de una fuerza puntual, y donde M es la magnitud de un torque puntual, las condiciones de contorno apropiadas para algunos casos comunes se dan en la tabla a continuación. El cambio en una derivada particular de w a través del límite a medida que x aumenta se denota por seguido de esa derivada. Por ejemplo, donde es el valor de en el límite inferior del segmento superior, mientras que es el valor de en el límite superior del segmento inferior. Cuando los valores de la derivada particular no sólo son continuos a través del límite, sino también fijos, la condición de límite se escribe eg, que en realidad constituye dos ecuaciones separadas (eg, = fijo).${\displaystyle \lambda =F/EI}$${\displaystyle \tau =M/EI}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta w''=w''(x+)-w''(x-)}$${\displaystyle w''(x+)}$${\displaystyle w''}$${\displaystyle w''(x-)}$${\displaystyle w''}$${\displaystyle \Delta w''=0^{*}}$${\displaystyle w''(x-)=w''(x+)}$

Límite	${\displaystyle w'''}$	${\displaystyle w''}$	${\displaystyle w'}$	${\displaystyle w}$
Abrazadera			${\displaystyle \Delta w'=0^{*}}$	${\displaystyle \Delta w=0^{*}}$
Soporte simple		${\displaystyle \Delta w''=0}$	${\displaystyle \Delta w'=0}$	${\displaystyle \Delta w=0^{*}}$
Fuerza puntual	${\displaystyle \Delta w'''=\lambda }$	${\displaystyle \Delta w''=0}$	${\displaystyle \Delta w'=0}$	${\displaystyle \Delta w=0}$
Punto de torsión	${\displaystyle \Delta w'''=0}$	${\displaystyle \Delta w''=\tau }$	${\displaystyle \Delta w'=0}$	${\displaystyle \Delta w=0}$
Extremo libre	${\displaystyle w'''=0}$	${\displaystyle w''=0}$
Abrazadera en el extremo			${\displaystyle w'}$fijado	${\displaystyle w}$fijado
Extremo simplemente apoyado		${\displaystyle w''=0}$		${\displaystyle w}$fijado
Fuerza puntual al final	${\displaystyle w'''=\pm \lambda }$	${\displaystyle w''=0}$
Punto de torsión al final	${\displaystyle w'''=0}$	${\displaystyle w''=\pm \tau }$

Obsérvese que en los primeros casos, en los que las fuerzas y los pares puntuales se encuentran entre dos segmentos, existen cuatro condiciones de contorno, dos para el segmento inferior y dos para el superior. Cuando se aplican fuerzas y pares a un extremo de la viga, se dan dos condiciones de contorno que se aplican en ese extremo. El signo de las fuerzas y los pares puntuales en un extremo será positivo para el extremo inferior y negativo para el extremo superior.

Las cargas aplicadas pueden representarse mediante condiciones de contorno o mediante la función que representa una carga distribuida externa. El uso de cargas distribuidas suele ser favorable para la simplicidad. Sin embargo, las condiciones de contorno se utilizan a menudo para modelar cargas según el contexto; esta práctica es especialmente común en el análisis de vibraciones.${\displaystyle q(x,t)}$

Por naturaleza, la carga distribuida se representa muy a menudo de manera fragmentaria, ya que en la práctica una carga no suele ser una función continua. Las cargas puntuales se pueden modelar con la ayuda de la función delta de Dirac . Por ejemplo, considere una viga voladiza estática uniforme de longitud con una carga puntual ascendente aplicada en el extremo libre. Usando condiciones de contorno, esto se puede modelar de dos maneras. En el primer enfoque, la carga puntual aplicada se aproxima mediante una fuerza de corte aplicada en el extremo libre. En ese caso, la ecuación gobernante y las condiciones de contorno son:${\displaystyle L}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&EI{\frac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=0\\&w|_{x=0}=0\quad ;\quad {\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}{\bigg |}_{x=0}=0\quad ;\quad {\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}{\bigg |}_{x=L}=0\quad ;\quad -EI{\frac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}{\bigg |}_{x=L}=F\,\end{aligned}}}$

Alternativamente, podemos representar la carga puntual como una distribución utilizando la función de Dirac. En ese caso, la ecuación y las condiciones de contorno son

${\displaystyle {\begin{aligned}&EI{\frac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=F\delta (x-L)\\&w|_{x=0}=0\quad ;\quad {\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}{\bigg |}_{x=0}=0\quad ;\quad {\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}{\bigg |}_{x=L}=0\,\end{aligned}}}$

Nótese que se elimina la condición de contorno de fuerza de corte (tercera derivada), de lo contrario habría una contradicción. Estos son problemas de valor de contorno equivalentes y ambos arrojan la solución

${\displaystyle w={\frac {F}{6EI}}(3Lx^{2}-x^{3})\,~.}$

La aplicación de varias cargas puntuales en diferentes ubicaciones dará lugar a una función por partes. El uso de la función de Dirac simplifica enormemente estas situaciones; de lo contrario, la viga tendría que dividirse en secciones, cada una con cuatro condiciones de contorno resueltas por separado. Una familia bien organizada de funciones denominadas funciones de singularidad se utilizan a menudo como una abreviatura de la función de Dirac, su derivada y sus antiderivadas .${\displaystyle w(x)}$

Los fenómenos dinámicos también se pueden modelar utilizando la ecuación estática de la viga, eligiendo formas adecuadas de distribución de carga. Por ejemplo, la vibración libre de una viga se puede tener en cuenta utilizando la función de carga:

${\displaystyle q(x,t)=\mu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}\,}$

donde es la densidad de masa lineal de la viga, no necesariamente constante. Con esta carga dependiente del tiempo, la ecuación de la viga será una ecuación diferencial parcial :${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(EI{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)=-\mu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}.}$

Otro ejemplo interesante describe la desviación de una viga que gira con una frecuencia angular constante de :${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle q(x)=\mu \omega ^{2}w(x)\,}$

Esta es una distribución de fuerza centrípeta . Nótese que en este caso, es una función del desplazamiento (la variable dependiente), y la ecuación de la viga será una ecuación diferencial ordinaria autónoma .${\displaystyle q}$

El ensayo de flexión en tres puntos es un experimento clásico en mecánica. Representa el caso de una viga apoyada sobre dos apoyos de rodillos y sometida a una carga concentrada aplicada en el centro de la viga. El esfuerzo cortante es constante en valor absoluto: es la mitad de la carga central, P/2. Cambia de signo en el centro de la viga. El momento flector varía linealmente desde un extremo, donde es 0, y el centro donde su valor absoluto es PL/4, es donde el riesgo de ruptura es más importante. La deformación de la viga se describe mediante un polinomio de tercer grado sobre una media viga (siendo la otra mitad simétrica). Los momentos flectores ( ), las fuerzas cortantes ( ) y las deflexiones ( ) para una viga sometida a una carga puntual central y una carga puntual asimétrica se dan en la siguiente tabla. ^[5]${\displaystyle M}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle w}$

Distribución	Valor máximo
Viga simplemente apoyada con carga central
${\displaystyle M(x)={\begin{cases}{\frac {Px}{2}},&{\mbox{for }}0\leq x\leq {\tfrac {L}{2}}\\{\frac {P(L-x)}{2}},&{\mbox{for }}{\tfrac {L}{2}}<x\leq L\end{cases}}}$	${\displaystyle M_{L/2}={\tfrac {PL}{4}}}$
${\displaystyle Q(x)={\begin{cases}{\frac {P}{2}},&{\mbox{for }}0\leq x\leq {\tfrac {L}{2}}\\{\frac {-P}{2}},&{\mbox{for }}{\tfrac {L}{2}}<x\leq L\end{cases}}}$	${\displaystyle |Q_{0}|=|Q_{L}|={\tfrac {P}{2}}}$
${\displaystyle w(x)={\begin{cases}-{\frac {Px(4x^{2}-3L^{2})}{48EI}},&{\mbox{for }}0\leq x\leq {\tfrac {L}{2}}\\{\frac {P(x-L)(L^{2}-8Lx+4x^{2})}{48EI}},&{\mbox{for }}{\tfrac {L}{2}}<x\leq L\end{cases}}}$	${\displaystyle w_{L/2}={\tfrac {PL^{3}}{48EI}}}$
Viga simplemente apoyada con carga asimétrica
${\displaystyle M(x)={\begin{cases}{\tfrac {Pbx}{L}},&{\mbox{for }}0\leq x\leq a\\{\tfrac {Pbx}{L}}-P(x-a)={\tfrac {Pa(L-x)}{L}},&{\mbox{for }}a<x\leq L\end{cases}}}$	${\displaystyle M_{B}={\tfrac {Pab}{L}}}$
${\displaystyle Q(x)={\begin{cases}{\tfrac {Pb}{L}},&{\mbox{for }}0\leq x\leq a\\{\tfrac {Pb}{L}}-P,&{\mbox{for }}a<x\leq L\end{cases}}}$	${\displaystyle Q_{A}={\tfrac {Pb}{L}}}$ ${\displaystyle Q_{C}={\tfrac {Pa}{L}}}$
${\displaystyle w(x)={\begin{cases}{\tfrac {Pbx(L^{2}-b^{2}-x^{2})}{6LEI}},&0\leq x\leq a\\{\tfrac {Pbx(L^{2}-b^{2}-x^{2})}{6LEI}}+{\tfrac {P(x-a)^{3}}{6EI}},&a<x\leq L\end{cases}}}$	${\displaystyle w_{\mathrm {max} }={\tfrac {{\sqrt {3}}Pb(L^{2}-b^{2})^{\frac {3}{2}}}{27LEI}}}$ en${\displaystyle x={\sqrt {\tfrac {L^{2}-b^{2}}{3}}}}$

Otra clase importante de problemas involucra vigas en voladizo . Los momentos de flexión ( ), fuerzas de corte ( ) y deflexiones ( ) para una viga en voladizo sometida a una carga puntual en el extremo libre y una carga uniformemente distribuida se dan en la siguiente tabla. ^[5]${\displaystyle M}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle w}$

Distribución	Valor máximo
Viga en voladizo con carga en el extremo
${\displaystyle M(x)=P(L-x)}$	${\displaystyle M_{A}=PL}$
${\displaystyle Q(x)=P}$	${\displaystyle Q_{\mathrm {max} }=P}$
${\displaystyle w(x)={\tfrac {Px^{2}(3L-x)}{6EI}}}$	${\displaystyle w_{C}={\tfrac {PL^{3}}{3EI}}}$
Viga en voladizo con carga distribuida uniformemente
${\displaystyle M(x)=-{\tfrac {q(L^{2}-2Lx+x^{2})}{2}}}$	${\displaystyle M_{A}={\tfrac {qL^{2}}{2}}}$
${\displaystyle Q(x)=q(L-x),}$	${\displaystyle Q_{A}=qL}$
${\displaystyle w(x)={\tfrac {qx^{2}(6L^{2}-4Lx+x^{2})}{24EI}}}$	${\displaystyle w_{C}={\tfrac {qL^{4}}{8EI}}}$

Las soluciones para otras configuraciones comúnmente encontradas están disponibles en libros de texto sobre mecánica de materiales y manuales de ingeniería.

Los momentos de flexión y las fuerzas de corte en vigas de Euler-Bernoulli a menudo se pueden determinar directamente utilizando el equilibrio estático de fuerzas y momentos . Sin embargo, para ciertas condiciones de contorno, el número de reacciones puede superar el número de ecuaciones de equilibrio independientes. ^[5] Estas vigas se denominan estáticamente indeterminadas .

Las vigas empotradas que se muestran en la figura siguiente son estáticamente indeterminadas. Para determinar las tensiones y deflexiones de dichas vigas, el método más directo es resolver la ecuación de vigas de Euler-Bernoulli con las condiciones de contorno adecuadas. Sin embargo, las soluciones analíticas directas de la ecuación de vigas solo son posibles para los casos más simples. Por lo tanto, a menudo se utilizan técnicas adicionales, como la superposición lineal, para resolver problemas de vigas estáticamente indeterminadas.

El método de superposición implica sumar las soluciones de una serie de problemas estáticamente determinados que se eligen de manera que las condiciones de contorno para la suma de los problemas individuales se sumen a las del problema original.

(a) Carga uniformemente distribuida q .	(b) Carga distribuida linealmente con q máximo 0
${\displaystyle M_{\mathrm {max} }={\cfrac {qL^{2}}{12}}~;~~w_{\mathrm {max} }={\cfrac {qL^{4}}{384EI}}}$	${\displaystyle M_{\mathrm {max} }={\cfrac {qL^{2}}{300}}[3{\sqrt {30}}-10]~;~~w_{\mathrm {max} }={\cfrac {qL^{4}}{2500EI}}[75-7{\sqrt {105}}]}$
(c) Carga concentrada P	(d) Momento M 0

Otro problema de viga estáticamente indeterminada que se presenta con frecuencia es el de la viga en voladizo con el extremo libre apoyado sobre un rodillo. ^[5] Los momentos de flexión, las fuerzas de corte y las deflexiones de dicha viga se enumeran a continuación:

Distribución	Valor máximo
${\displaystyle M(x)=-{\tfrac {q}{8}}(L^{2}-5Lx+4x^{2})}$	${\displaystyle {\begin{aligned}M_{B}&=-{\tfrac {9qL^{2}}{128}}{\mbox{ at }}x={\tfrac {5L}{8}}\\M_{A}&={\tfrac {qL^{2}}{8}}\end{aligned}}}$
${\displaystyle Q(x)=-{\tfrac {q}{8}}(8x-5L)}$	${\displaystyle Q_{A}=-{\tfrac {5qL}{8}}}$
${\displaystyle w(x)={\tfrac {qx^{2}}{48EI}}(3L^{2}-5Lx+2x^{2})}$	${\displaystyle w_{\mathrm {max} }={\tfrac {(39+55{\sqrt {33}})}{65,536}}{\tfrac {qL^{4}}{EI}}{\mbox{ at }}x={\tfrac {15-{\sqrt {33}}}{16}}L}$

Las suposiciones cinemáticas sobre las que se basa la teoría de vigas de Euler-Bernoulli permiten extenderla a análisis más avanzados. La superposición simple permite la carga transversal tridimensional. El uso de ecuaciones constitutivas alternativas puede permitir la deformación viscoelástica o plástica de la viga. La teoría de vigas de Euler-Bernoulli también se puede extender al análisis de vigas curvas, pandeo de vigas , vigas compuestas y deflexión de vigas geométricamente no lineal.

La teoría de vigas de Euler-Bernoulli no tiene en cuenta los efectos de la deformación cortante transversal . Como resultado, subestima las deflexiones y sobreestima las frecuencias naturales. Para vigas delgadas (relaciones entre la longitud de la viga y el espesor del orden de 20 o más), estos efectos son de menor importancia. Sin embargo, para vigas gruesas, estos efectos pueden ser significativos. Se han desarrollado teorías de vigas más avanzadas, como la teoría de vigas de Timoshenko (desarrollada por el científico nacido en Rusia Stephen Timoshenko ), para tener en cuenta estos efectos.

La teoría original de Euler-Bernoulli es válida únicamente para deformaciones infinitesimales y rotaciones pequeñas. La teoría puede extenderse de manera sencilla a problemas que impliquen rotaciones moderadamente grandes, siempre que la deformación se mantenga pequeña, utilizando las deformaciones de von Kármán . ^[8]

Las hipótesis de Euler-Bernoulli de que las secciones planas permanecen planas y normales al eje de la viga conducen a desplazamientos de la forma

${\displaystyle u_{1}=u_{0}(x)-z{\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}~;~~u_{2}=0~;~~u_{3}=w_{0}(x)}$

Utilizando la definición de la deformación de Green lagrangiana de la teoría de deformaciones finitas , podemos encontrar las deformaciones de von Kármán para la viga que son válidas para rotaciones grandes pero deformaciones pequeñas descartando todos los términos de orden superior (que contienen más de dos campos) excepto Las deformaciones resultantes toman la forma: ${\displaystyle {\frac {\partial {w}}{\partial {x^{i}}}}{\frac {\partial {w}}{\partial {x^{j}}}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\cfrac {\mathrm {d} {u_{0}}}{\mathrm {d} {x}}}-z{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}{w_{0}}}{\mathrm {d} {x^{2}}}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\cfrac {\mathrm {d} u_{0}}{\mathrm {d} x}}-z{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{0}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)^{2}+\left({\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\right]\approx {\cfrac {\mathrm {d} {u_{0}}}{\mathrm {d} {x}}}-z{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}{w_{0}}}{\mathrm {d} {x^{2}}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} {w_{0}}}{\mathrm {d} {x}}}\right)^{2}\\[0.25em]\varepsilon _{22}&=0\\[0.25em]\varepsilon _{33}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} {w_{0}}}{\mathrm {d} {x}}}\right)^{2}\\[0.25em]\varepsilon _{23}&=0\\[0.25em]\varepsilon _{31}&=-{\frac {1}{2}}\left[\left({\cfrac {\mathrm {d} u_{0}}{\mathrm {d} x}}-z{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{0}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)\left({\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)\right]\approx 0\\[0.25em]\varepsilon _{12}&=0.\end{aligned}}}$

A partir del principio del trabajo virtual , el equilibrio de fuerzas y momentos en las vigas nos da las ecuaciones de equilibrio

${\displaystyle {\begin{aligned}{\cfrac {\mathrm {d} N_{xx}}{\mathrm {d} x}}+f(x)&=0\\{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}M_{xx}}{\mathrm {d} x^{2}}}+q(x)+{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(N_{xx}{\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)&=0\end{aligned}}}$

donde es la carga axial, es la carga transversal, y${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle q(x)}$

${\displaystyle N_{xx}=\int _{A}\sigma _{xx}~\mathrm {d} A~;~~M_{xx}=\int _{A}z\sigma _{xx}~\mathrm {d} A}$

Para cerrar el sistema de ecuaciones necesitamos las ecuaciones constitutivas que relacionan las tensiones con las deformaciones (y por tanto las tensiones con los desplazamientos). Para grandes rotaciones y pequeñas deformaciones estas relaciones son

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{xx}&=A_{xx}\left[{\cfrac {\mathrm {d} u_{0}}{\mathrm {d} x}}+{\frac {1}{2}}\left({\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\right]-B_{xx}{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{0}}{\mathrm {d} x^{2}}}\\M_{xx}&=B_{xx}\left[{\cfrac {\mathrm {d} u_{0}}{\mathrm {d} x}}+{\frac {1}{2}}\left({\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\right]-D_{xx}{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{0}}{\mathrm {d} x^{2}}}\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle A_{xx}=\int _{A}E~\mathrm {d} A~;~~B_{xx}=\int _{A}zE~\mathrm {d} A~;~~D_{xx}=\int _{A}z^{2}E~\mathrm {d} A~.}$