Período de devolución

Un período de retorno , también conocido como intervalo de recurrencia o intervalo de repetición , es un tiempo promedio o un tiempo promedio estimado entre eventos tales como terremotos , inundaciones , ^[1] deslizamientos de tierra , ^[2] o corrientes de descarga de ríos .

Se trata de una medida estadística que se basa generalmente en datos históricos durante un período prolongado y se utiliza habitualmente para el análisis de riesgos. Por ejemplo, para decidir si se debe permitir que un proyecto avance en una zona de cierto riesgo o para diseñar estructuras que resistan eventos con un período de retorno determinado. El siguiente análisis supone que la probabilidad de que ocurra el evento no varía con el tiempo y es independiente de los eventos pasados.

Intervalo de recurrencia${\displaystyle ={n+1 \sobre m}}$

n número de años registrados;

m es el rango de ocurrencias observadas cuando se organizan en orden descendente ^[3]

En el caso de las inundaciones, el fenómeno puede medirse en términos de m ³ /s o altura; en el caso de las mareas de tempestad , en términos de la altura de la marea, y lo mismo ocurre con otros fenómenos. Esta es la fórmula de Weibull. ^{[4] : 12  [5] [ verificación fallida ]}

El período teórico de retorno entre eventos es el inverso de la frecuencia promedio de ocurrencia. Por ejemplo, una inundación de 10 años tiene una probabilidad de 1/10 = 0,1 o 10 % de ser excedida en un año determinado y una inundación de 50 años tiene una probabilidad de 0,02 o 2 % de ser excedida en un año determinado.

Esto no significa que una inundación de 100 años ocurrirá regularmente cada 100 años, o solo una vez cada 100 años. A pesar de las connotaciones del nombre "período de retorno". En cualquier período de 100 años dado , un evento de 100 años puede ocurrir una vez, dos veces, más o nunca, y cada resultado tiene una probabilidad que se puede calcular como se muestra a continuación.

Además, el período de retorno estimado que se muestra a continuación es una estadística : se calcula a partir de un conjunto de datos (las observaciones), a diferencia del valor teórico en una distribución idealizada. En realidad, no se sabe que una magnitud determinada o mayor ocurra con una probabilidad del 1 %, solo que se ha observado exactamente una vez cada 100 años.

Esa distinción es significativa porque hay pocas observaciones de eventos raros: por ejemplo, si las observaciones se remontan a 400 años, el evento más extremo (un evento de 400 años según la definición estadística) puede clasificarse más tarde, en una observación más prolongada, como un evento de 200 años (si ocurre inmediatamente un evento comparable) o un evento de 500 años (si no ocurre ningún evento comparable durante 100 años más).

Además, no se puede determinar la magnitud de un evento de 1000 años basándose únicamente en esos registros, sino que se debe utilizar un modelo estadístico para predecir la magnitud de ese evento (no observado). Incluso si el intervalo de retorno histórico es mucho menor que 1000 años, si se registran varios eventos menos graves de naturaleza similar, es probable que el uso de un modelo de ese tipo proporcione información útil para ayudar a estimar el intervalo de retorno futuro.

A uno le gustaría poder interpretar el período de retorno en modelos probabilísticos. La interpretación más lógica para esto es tomar el período de retorno como la tasa de conteo en una distribución de Poisson, ya que es el valor esperado de la tasa de ocurrencias. Una interpretación alternativa es tomarlo como la probabilidad de un ensayo de Bernoulli anual en la distribución binomial . Esto no es recomendable porque cada año no representa un ensayo de Bernoulli independiente, sino que es una medida arbitraria de tiempo. Esta pregunta es principalmente académica, ya que los resultados obtenidos serán similares bajo las interpretaciones de Poisson y binomial.

La función de masa de probabilidad de la distribución de Poisson es

${\displaystyle P(r;t)={(\mu t)^{r} \sobre r!}e^{-\mu t}={(t/T)^{r} \sobre r!}e^{-t/T}}$

donde es el número de ocurrencias para las que se calcula la probabilidad, el período de tiempo de interés, es el período de retorno y es la tasa de conteo.${\estilo de visualización r}$${\estilo de visualización t}$${\estilo de visualización T}$${\displaystyle \mu = 1/T}$

La probabilidad de no ocurrencia se puede obtener simplemente considerando el caso de . La fórmula es${\displaystyle r=0}$

${\displaystyle P(r=0;t)=e^{-\mu t}=e^{-t/T}}$

En consecuencia, la probabilidad de excedencia (es decir, la probabilidad de que un evento "más fuerte" que el evento con período de retorno ocurra al menos una vez dentro del período de tiempo de interés) es${\estilo de visualización T}$

${\displaystyle P(t>0;t)=1-P(t=0;t)=1-e^{-\mu t}=1-e^{-t/T}}$

Obsérvese que para cualquier evento con período de retorno , la probabilidad de excedencia dentro de un intervalo igual al período de retorno (es decir, ) es independiente del período de retorno y es igual a . Esto significa, por ejemplo, que existe una probabilidad del 63,2 % de que ocurra una inundación mayor que la inundación de retorno de 50 años dentro de cualquier período de 50 años.${\estilo de visualización T}$${\estilo de visualización t=T}$${\displaystyle 1-\exp(-1)\aproximadamente 63,2\%}$

Si el período de retorno de ocurrencia es de 243 años ( ), entonces la probabilidad de exactamente una ocurrencia en diez años es${\textstyle T}$${\textstyle \mu = 0,0041}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P(r;t)&={\frac {(\mu t)^{r}}{r!}}e^{-\mu t}\\[6pt]P(r=1;t=10)&={\frac {(10/243)^{1}}{1!}}e^{-10/243}\aproximadamente 3,95\%\end{aligned}}}$

En un período dado de una unidad de tiempo (por ejemplo, ), la probabilidad de un número dado r de eventos de un período de retorno viene dada por la distribución binomial de la siguiente manera.${\displaystyle n\times \tau }$${\estilo de visualización \tau}$${\displaystyle \tau =1{\text{año}}}$${\estilo de visualización \mu}$

${\displaystyle P(X=r)={n \choose r}\mu ^{r}(1-\mu )^{nr}.}$

Esto es válido únicamente si la probabilidad de que se produzca más de una ocurrencia por unidad de tiempo es cero. A menudo, se trata de una aproximación cercana, en cuyo caso las probabilidades que arroja esta fórmula son aproximadamente válidas.${\estilo de visualización \tau}$

Si de tal manera que entonces${\displaystyle n\rightarrow \infty,\mu \rightarrow 0}$${\displaystyle n\mu \rightarrow \lambda }$

${\displaystyle {\frac {n!}{(nr)!r!}}\mu ^{r}(1-\mu )^{nr}\rightarrow e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{r}}{r!}}.}$

Llevar

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{T}}={m \sobre n+1}}$

dónde

T es el intervalo de retorno

n es el número de años registrados.

m es el número de ocurrencias registradas del evento que se está considerando

Dado que el período de retorno de un evento es de 100 años,

${\displaystyle p={1 sobre 100}=0,01.}$

Por lo tanto, la probabilidad de que un evento de este tipo ocurra exactamente una vez cada 10 años sucesivos es:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(X=1)&={\binom {10}{1}}\times 0.01^{1}\times 0.99^{9}\\[4pt]&\approx 10\times 0.01\times 0.914\\[4pt]&\approx 0.0914\end{aligned}}}$

El período de retorno es útil para el análisis de riesgos (como el riesgo natural, inherente o hidrológico de falla). ^[6] Cuando se trata de expectativas de diseño de estructuras, el período de retorno es útil para calcular el riesgo de la estructura.

La probabilidad de que ocurra al menos un evento que exceda los límites de diseño durante la vida útil esperada de la estructura es el complemento de la probabilidad de que no ocurran eventos que excedan los límites de diseño.

La ecuación para evaluar este parámetro es

${\displaystyle {\overline {R}}=1-\left(1-{1 \over T}\right)^{n}=1-(1-P(X\geq x_{T}))^{n}}$

dónde

${\displaystyle {1 \over T}=P(X\geq x_{T})}$es la expresión para la probabilidad de ocurrencia del evento en cuestión en un año;

n es la vida esperada de la estructura.

• Inundación de 100 años
• Análisis de frecuencia acumulada
• Frecuencia de excedencia
• Tiempo de residencia