Estimador S

El objetivo de los estimadores S es tener un estimador de regresión simple con alto grado de ruptura , que comparta la flexibilidad y las buenas propiedades asintóticas de los estimadores M. Se eligió el nombre "estimadores S" porque se basan en estimadores de escala.

Consideraremos estimadores de escala definidos por una función , que satisfacen${\estilo de visualización \rho}$

• R1 – es simétrico, continuamente diferenciable y .${\estilo de visualización \rho}$${\displaystyle \rho(0)=0}$
• R2 – existe tal que es estrictamente creciente en${\displaystyle c>0}$${\estilo de visualización \rho}$${\displaystyle [c,\infty ]}$

Para cualquier muestra de números reales, definimos la estimación de escala como la solución de${\displaystyle \{r_{1},...,r_{n}\}}$${\displaystyle s(r_{1},...,r_{n})}$

${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\rho (r_{i}/s)=K}$,

donde es el valor esperado de para una distribución normal estándar . (Si hay más soluciones para la ecuación anterior, entonces tomamos la que tenga la solución más pequeña para s; si no hay solución, entonces ponemos .)${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización \rho}$${\displaystyle s(r_{1},...,r_{n})=0}$

Definición:

Sea una muestra de datos de regresión con p-dimensionalidad . Para cada vector , obtenemos los residuos resolviendo la ecuación de escala anterior, donde satisfacen R1 y R2. El estimador S se define por${\displaystyle (x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})}$$Estilo de visualización x_{i}}$${\estilo de visualización \theta}$${\displaystyle s(r_{1}(\theta ),...,r_{n}(\theta ))}$${\estilo de visualización \rho}$${\displaystyle {\sombrero {\theta }}}$

${\displaystyle {\hat {\theta }}=\min _{\theta }\,s(r_{1}(\theta ),...,r_{n}(\theta ))}$

y el estimador de escala final es entonces${\displaystyle {\sombrero {\sigma }}}$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}=s(r_{1}({\theta }}),...,r_{n}({\theta }}))}$. ^[1]