Punto estacionario

Cero de la derivada de una función

En matemáticas , particularmente en cálculo , un punto estacionario de una función diferenciable de una variable es un punto en el gráfico de la función donde la derivada de la función es cero. ^[1]^[2]^[3] De manera informal, es un punto donde la función "deja" de aumentar o disminuir (de ahí el nombre).

Para una función diferenciable de varias variables reales , un punto estacionario es un punto en la superficie del gráfico donde todas sus derivadas parciales son cero (equivalentemente, el gradiente tiene norma cero ). La noción de puntos estacionarios de una función de valores reales se generaliza como puntos críticos para funciones de valores complejos .

Los puntos estacionarios son fáciles de visualizar en el gráfico de una función de una variable: corresponden a los puntos del gráfico donde la tangente es horizontal (es decir, paralela al eje $x$ ). En el caso de una función de dos variables, corresponden a los puntos del gráfico donde el plano tangente es paralelo al plano $xy$ .

La noción de punto estacionario permite la descripción matemática de un fenómeno astronómico que no tenía explicación antes de la época de Copérnico . Un punto estacionario es el punto en la trayectoria aparente del planeta en la esfera celeste , donde el movimiento del planeta parece detenerse, antes de reiniciarse en la otra dirección (ver movimiento retrógrado aparente ). Esto ocurre debido a la proyección de la órbita del planeta en el círculo eclíptico .

Puntos de inflexión

Un punto de inflexión de una función diferenciable es un punto en el que la derivada tiene un cero aislado y cambia de signo en el punto. ^[2] Un punto de inflexión puede ser un máximo relativo o un mínimo relativo (también conocido como mínimo y máximo local). Un punto de inflexión es, por tanto, un punto estacionario, pero no todos los puntos estacionarios son puntos de inflexión. Si la función es dos veces diferenciable, los puntos estacionarios aislados que no son puntos de inflexión son puntos de inflexión horizontales . Por ejemplo, la función tiene un punto estacionario en x = 0 , que también es un punto de inflexión, pero no es un punto de inflexión. ^[3] $x\mapsto x^{3}$

Clasificación

Los puntos estacionarios aislados de una función de valor real se clasifican en cuatro tipos, mediante la prueba de la primera derivada : ${\estilo de visualización C^{1}}$ $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

un mínimo local ( punto de inflexión mínimo o mínimo relativo ) es aquel en el que la derivada de la función cambia de negativa a positiva;
un máximo local ( punto de inflexión máximo o máximo relativo ) es aquel en el que la derivada de la función cambia de positiva a negativa;

Puntos de silla (puntos estacionarios que no son ni máximos ni mínimos locales: son puntos de inflexión ). El de la izquierda es un "punto de inflexión ascendente" (la derivada es positiva en ambos lados del punto rojo); el de la derecha es un "punto de inflexión descendente" (la derivada es negativa en ambos lados del punto rojo).

un punto de inflexión ascendente (o inflexión ) es aquel en el que la derivada de la función es positiva en ambos lados del punto estacionario; dicho punto marca un cambio en la concavidad ;
Un punto de inflexión descendente (o inflexión ) es aquel en el que la derivada de la función es negativa en ambos lados del punto estacionario; dicho punto marca un cambio en la concavidad.

Las dos primeras opciones se conocen colectivamente como " extremos locales ". De manera similar, un punto que es un máximo global (o absoluto) o un mínimo global (o absoluto) se denomina extremo global (o absoluto). Las dos últimas opciones (puntos estacionarios que no son extremos locales) se conocen como puntos de silla .

Según el teorema de Fermat , los extremos globales deben ocurrir (para una función) en el límite o en puntos estacionarios. ${\estilo de visualización C^{1}}$

Dibujo de curvas

La determinación de la posición y la naturaleza de los puntos estacionarios ayuda a trazar curvas de funciones diferenciables. Al resolver la ecuación f ′ ( x ) = 0 se obtienen las coordenadas x de todos los puntos estacionarios; las coordenadas y son, trivialmente, los valores de la función en esas coordenadas x . La naturaleza específica de un punto estacionario en x puede determinarse en algunos casos examinando la segunda derivada f″ ( x ):

Si f″ ( x ) < 0, el punto estacionario en x es cóncavo hacia abajo; un extremo máximo.
Si f″ ( x ) > 0, el punto estacionario en x es cóncavo hacia arriba; un extremo mínimo.
Si f″ ( x ) = 0, la naturaleza del punto estacionario debe determinarse por otros medios, a menudo observando un cambio de signo alrededor de ese punto.

Una forma más sencilla de determinar la naturaleza de un punto estacionario es examinar los valores de la función entre los puntos estacionarios (si la función está definida y es continua entre ellos).

Un ejemplo sencillo de un punto de inflexión es la función f ( x ) = x ³ . Hay un claro cambio de concavidad alrededor del punto x = 0, y podemos demostrarlo por medio del cálculo . La segunda derivada de f es la 6 x , que es continua en todas partes , y en x = 0, f″ = 0, y el signo cambia alrededor de este punto. Por lo tanto, x = 0 es un punto de inflexión.

De manera más general, los puntos estacionarios de una función de valor real son aquellos puntos x ₀ donde la derivada en cada dirección es igual a cero o, equivalentemente, el gradiente es cero. $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

Ejemplos

Para la función f ( x ) = x ⁴ tenemos f ′ (0) = 0 y f″ (0) = 0. Aunque f″ (0) = 0, este punto no es un punto de inflexión. La razón es que el signo de f ′ ( x ) cambia de negativo a positivo.

Para la función f ( x ) = sin( x ) tenemos f ′ (0) ≠ 0 y f″ (0) = 0. Pero este no es un punto estacionario, sino un punto de inflexión. Esto se debe a que la concavidad cambia de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba y el signo de f ′ ( x ) no cambia; permanece positivo.

Para la función f ( x ) = x ³ tenemos f ′ (0) = 0 y f″ (0) = 0. Este es a la vez un punto estacionario y un punto de inflexión. Esto se debe a que la concavidad cambia de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba y el signo de f ′ ( x ) no cambia; permanece positivo.

Para la función f ( x ) = 0, se tiene f ′ (0) = 0 y f″ (0) = 0. El punto 0 es un punto estacionario no aislado que no es un punto de inflexión ni un punto de inflexión horizontal ya que los signos de f ′ ( x ) y f″ ( x ) no cambian.

La función f ( x ) = x ⁵ sen(1/ x ) para x ≠ 0, y f (0) = 0, da un ejemplo donde f ′ ( x ) y f″ ( x ) son ambas continuas, f ′ (0) = 0 y f″ (0) = 0, y sin embargo f ( x ) no tiene un máximo local, un mínimo local ni un punto de inflexión en 0. Por lo tanto, $0$ es un punto estacionario que no está aislado.

Véase también

Referencias

^ Chiang, Alpha C. (1984). Métodos fundamentales de economía matemática (3.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pág. 236. ISBN 0-07-010813-7.
^ ab Saddler, David; Shea, Julia; Ward, Derek (2011), "12 B Puntos estacionarios y puntos de giro", Cambridge 2 Unit Mathematics Year 11 , Cambridge University Press, pág. 318, ISBN 9781107679573
^ ab "Puntos de giro y puntos estacionarios". Biblioteca de procedimientos de matemáticas de secundaria GRATUITA de TCS. Recuperado el 30 de octubre de 2011 .

Enlaces externos

Puntos de inflexión de polinomios de cuarto grado: una sorprendente aparición de la proporción áurea en el corte del nudo

[1] Chiang, Alpha C. (1984). Métodos fundamentales de economía matemática (3.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pág. 236. ISBN 0-07-010813-7.

[Saddler-2] Saddler, David; Shea, Julia; Ward, Derek (2011), "12 B Puntos estacionarios y puntos de giro", Cambridge 2 Unit Mathematics Year 11 , Cambridge University Press, pág. 318, ISBN 9781107679573

[TCS-3] "Puntos de giro y puntos estacionarios". Biblioteca de procedimientos de matemáticas de secundaria GRATUITA de TCS. Recuperado el 30 de octubre de 2011 .