Espinor puro

En el dominio de las matemáticas conocido como teoría de la representación , los espinores puros (o espinores simples ) son espinores que son aniquilados, bajo la representación del álgebra de Clifford , por un subespacio isótropo máximo de un espacio vectorial con respecto a un producto escalar . Fueron introducidos por Élie Cartan ^[1] en la década de 1930 y desarrollados posteriormente por Claude Chevalley . ^[2]${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización Q}$

Son un ingrediente clave en el estudio de las estructuras de espín y las generalizaciones de dimensiones superiores de la teoría de twistores , ^[3] introducidas por Roger Penrose en la década de 1960. Se han aplicado al estudio de la teoría supersimétrica de Yang-Mills en 10D, ^{[4] [5]} supercuerdas , ^[6] estructuras complejas generalizadas ^{[7] [8]} y soluciones parametrizantes de jerarquías integrables . ^{[9] [10] [11]}

Considérese un espacio vectorial complejo , con dimensión par o dimensión impar , y un producto escalar complejo no degenerado , con valores en pares de vectores . El álgebra de Clifford es el cociente del álgebra tensorial completa en por el ideal generado por las relaciones ${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización 2n}$${\estilo de visualización 2n+1}$ ${\estilo de visualización Q}$${\displaystyle Q(u,v)}$${\estilo de visualización (u,v)}$ ${\displaystyle Cl(V,Q)}$${\estilo de visualización V}$

${\displaystyle u\otimes v+v\otimes u=2Q(u,v),\quad \forall \ u,v\in V.}$

Los espinores son módulos del álgebra de Clifford, y por lo tanto en particular hay una acción de los elementos de sobre el espacio de espinores. El subespacio complejo que aniquila un espinor distinto de cero dado tiene dimensión . Si entonces se dice que es un espinor puro . En términos de estratificación de módulos de espinores por órbitas del grupo de espín , los espinores puros corresponden a las órbitas más pequeñas, que son el límite de Shilov de la estratificación por los tipos de órbita de la representación del espinor sobre los módulos de espinores irreducibles (o semiespinores).${\estilo de visualización V}$${\displaystyle V_{\psi}^{0}\subconjunto V}$${\estilo de visualización \psi}$${\displaystyle m\leq n}$${\displaystyle m=n}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle Spin(V,Q)}$

Los espinores puros, definidos hasta la proyectivización, se denominan espinores puros proyectivos . Para de dimensión par , el espacio de espinores puros proyectivos es el espacio homogéneo ; para de dimensión impar , es .${\displaystyle \,V\,}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle SO(2n)/U(n)}$${\displaystyle \,V\,}$${\displaystyle 2n+1}$${\displaystyle SO(2n+1)/U(n)}$

Siguiendo a Cartan ^[1] y Chevalley, ^[2] podemos considerar como una suma directa ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=V_{n}\oplus V_{n}^{*}\ {\text{ or }}\ V=V_{n}\oplus V_{n}^{*}\oplus \mathbf {C} ,}$

donde es un subespacio totalmente isótropo de dimensión , y es su espacio dual, con producto escalar definido como${\displaystyle V_{n}\subset V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle V_{n}^{*}}$

${\displaystyle Q(v_{1}+w_{1},v_{2}+w_{2}):=w_{2}(v_{1})+w_{1}(v_{2}),\quad v_{1},v_{2}\in V_{n},\ w_{1},w_{2}\in V_{n}^{*},}$

o

${\displaystyle Q(v_{1}+w_{1}+a_{1},v_{2}+w_{2}+a_{2}):=w_{2}(v_{1})+w_{1}(v_{2})+a_{1}a_{2},\quad a_{1},a_{2}\in \mathbf {C} ,}$

respectivamente.

La representación del álgebra de Clifford como endomorfismos del módulo irreducible de Clifford/spinor , se genera mediante los elementos lineales , que actúan como${\displaystyle \Gamma _{X}\in \mathrm {End} (\Lambda (V_{n}))}$${\displaystyle \Lambda (V_{n})}$${\displaystyle X\in V}$

${\displaystyle \Gamma _{v}(\psi )=v\wedge \psi \ {\text{ (wedge product) }}\ {\text{for }}v\in V_{n}\ {\text{ and }}\Gamma _{w}(\psi )=\iota (w)\psi \ {\text{ (inner product) }}{\text{for}}\ w\in V_{n}^{*},}$

para cualquiera o , y${\displaystyle V=V_{n}\oplus V_{n}^{*}}$${\displaystyle V=V_{n}\oplus V_{n}^{*}\oplus \mathbf {C} }$

${\displaystyle \Gamma _{a}\psi =(-1)^{p}a\ \psi ,\quad a\in \mathbf {C} ,\ \psi \in \Lambda ^{p}(V_{n}),}$

para , cuando es homogénea de grado .${\displaystyle V=V_{n}\oplus V_{n}^{*}\oplus \mathbf {C} }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle p}$

Se define como espinor puro a todo elemento que es aniquilado por un subespacio isótropo máximo respecto del producto escalar . A la inversa, dado un subespacio isótropo máximo es posible determinar el espinor puro que lo aniquila, hasta su multiplicación por un número complejo, de la siguiente manera.${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi \in \Lambda (V_{n})}$ ${\displaystyle w\subset V}$${\displaystyle \,Q\,}$

Denotemos el Grassmanniano de subespacios isotrópicos (-dimensionales) máximos de como . La función de Cartan ^{[1] [12] [13]}${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{n}^{0}(V,Q)}$

${\displaystyle \mathbf {Ca} :\mathbf {Gr} _{n}^{0}(V,Q)\rightarrow \mathbf {P} (\Lambda (V_{n}))}$

se define, para cualquier elemento , con base , tener valor ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{n}^{0}(V,Q)}$${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{n})}$

${\displaystyle \mathbf {Ca} (w):=\mathrm {Im} (\Gamma _{X_{1}}\cdots \Gamma _{X_{n}});}$

es decir la imagen de bajo el endomorfismo formado a partir de tomar el producto de los endomorfismos de representación de Clifford , que es independiente de la elección de la base . Este es un subespacio de dimensión , debido a las condiciones de isotropía,${\displaystyle \Lambda (V_{n})}$${\displaystyle \{\Gamma _{X_{i}}\in \mathrm {End} (\Lambda (V_{n}))\}_{i=1,\dots ,n}}$${\displaystyle (X_{1},\cdots ,X_{n})}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle Q(X_{i},X_{j})=0,\quad 1\leq i,j\leq n,}$

Lo que implica

${\displaystyle \Gamma _{X_{i}}\Gamma _{X_{j}}+\Gamma _{X_{j}}\Gamma _{X_{i}}=0,\quad 1\leq i,j\leq n,}$

y por lo tanto define un elemento de la proyectividad del módulo irreducible de Clifford . De las condiciones de isotropía se deduce que, si la clase proyectiva de un espinor está en la imagen y , entonces${\displaystyle \mathbf {Ca} (w)}$${\displaystyle \mathbf {P} (\Lambda (V_{n}))}$${\displaystyle \Lambda (V_{n})}$${\displaystyle [\psi ]}$${\displaystyle \psi \in \Lambda (V_{n})}$${\displaystyle \mathbf {Ca} (w)}$${\displaystyle X\in w}$

${\displaystyle \Gamma _{X}(\psi )=0.}$

Por lo tanto, cualquier espinor con es aniquilado, según la representación de Clifford, por todos los elementos de . A la inversa, si es aniquilado por para todo , entonces .${\displaystyle \psi }$${\displaystyle [\psi ]\in \mathbf {Ca} (w)}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \Gamma _{X}}$${\displaystyle X\in w}$${\displaystyle [\psi ]\in \mathbf {Ca} (w)}$

Si es de dimensión par, hay dos componentes conectados en el Grassmanniano isótropo , que se asignan, bajo , a los dos subespacios de medio espinor en la descomposición de suma directa${\displaystyle V=V_{n}\oplus V_{n}^{*}}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{n}^{0}(V,Q)}$${\displaystyle \mathbf {Ca} }$${\displaystyle \Lambda ^{+}(V_{n}),\Lambda ^{-}(V_{n})}$

${\displaystyle \Lambda (V_{n})=\Lambda ^{+}(V_{n})\oplus \Lambda ^{-}(V_{n}),}$

donde y consisten, respectivamente, en los elementos de grado par e impar de .${\displaystyle \Lambda ^{+}(V_{n})}$${\displaystyle \Lambda ^{-}(V_{n})}$${\displaystyle \Lambda ^{(}V_{n})}$

Defina un conjunto de formas bilineales en el módulo de espinor , con valores en (que son isomorfos a través del producto escalar ), mediante${\displaystyle \{\beta _{m}\}_{m=0,\dots 2n}}$${\displaystyle \Lambda (V_{n})}$${\displaystyle \Lambda ^{m}(V^{*})\sim \Lambda ^{m}(V)}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \beta _{m}(\psi ,\phi )(X_{1},\dots ,X_{m}):=\beta _{0}(\psi ,\Gamma _{X_{1}}\cdots \Gamma _{X_{m}}\phi ),\quad {\text{for }}\psi ,\phi \in \Lambda (V_{n}),\ X_{1},\dots ,X_{m}\in V,}$

donde, para elementos homogéneos , y forma de volumen en ,${\displaystyle \psi \in \Lambda ^{p}(V_{n})}$${\displaystyle \phi \in \Lambda ^{q}(V_{n})}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Lambda (V_{n})}$

${\displaystyle \beta _{0}(\psi ,\phi )\,\Omega ={\begin{cases}\psi \wedge \phi \quad {\text{if }}p+q=n\\0\quad {\text{otherwise. }}\end{cases}}}$

Como lo demuestra Cartan, ^[1] los espinores puros están determinados únicamente por el hecho de que satisfacen el siguiente conjunto de ecuaciones cuadráticas homogéneas , conocidas como relaciones de Cartan : ^{[1] [12] [13]}${\displaystyle \psi \in \Lambda (V_{n})}$

${\displaystyle \beta _{m}(\psi ,\psi )=0\quad \forall \ m\equiv n\mod (4),\quad 0\leq m<n}$

en el módulo de espinor irreducible estándar.

Estos determinan la imagen de la subvariedad de subespacios isótropos maximos del espacio vectorial respecto del producto escalar , bajo la función de Cartan , que define una incrustación del Grassmanniano de subespacios isótropos de en la proyectivización del módulo espinor (o semimódulo espinor, en el caso de dimensión par), realizando estos como variedades proyectivas.${\displaystyle V,}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle V}$

Hay pues, en total,

${\displaystyle \sum _{0\leq m\leq n-1 \atop m\equiv n,{\text{ mod }}4}{{\text{dim}}(V) \choose m}}$

Relaciones de Cartan, que significan la desaparición de las formas bilineales con valores en los espacios exteriores para , correspondientes a estos elementos antisimétricos del álgebra de Clifford. Sin embargo, dado que la dimensión del Grassmanniano de los subespacios isótropos máximos de es cuando es de dimensión par y cuando tiene dimensión impar , y la función de Cartan es una incrustación de los componentes conectados de este en la proyectivización de los módulos de semiespinor cuando es de dimensión par y en el módulo de espinor irreducible si es de dimensión impar, el número de restricciones cuadráticas independientes es solo${\displaystyle \beta _{m}}$${\displaystyle \,\Lambda ^{m}(V)\,}$${\displaystyle m\equiv n,{\text{ mod }}4}$${\displaystyle \,V\,}$${\displaystyle \,{\tfrac {1}{2}}\,n(n-1)\,}$${\displaystyle \,V\,}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle \,{\tfrac {1}{2}}\,n(n+1)\,}$${\displaystyle \,V\,}$${\displaystyle 2n+1}$${\displaystyle \,V\,}$

${\displaystyle 2^{n-1}-{\tfrac {1}{2}}\,n(n-1)-1}$

en el caso dimensional, y${\displaystyle \,2n\,}$

${\displaystyle 2^{n}-{\tfrac {1}{2}}\,n(n+1)-1}$

en el caso dimensional.${\displaystyle \,2n+1\,}$

En 6 dimensiones o menos, todos los espinores son puros. En 7 u 8 dimensiones, hay una única restricción de espinor puro. En 10 dimensiones, hay 10 restricciones.

${\displaystyle \psi \;\Gamma _{\mu }\,\psi =0~,\quad \mu =1,\dots ,10,}$

donde están las matrices Gamma que representan los vectores en que generan el álgebra de Clifford. Sin embargo, solo de estas son independientes, por lo que la variedad de espinores puros proyectivizados para es de dimensión (compleja).${\displaystyle \,\Gamma _{\mu }\,}$${\displaystyle \,\mathbb {C} ^{10}\,}$${\displaystyle 5}$${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{10}}$${\displaystyle 10}$

Para la teoría de Yang-Mills supersimétrica y dimensional , la correspondencia superambitwistor , ^{[4] [5]} consiste en una equivalencia entre las ecuaciones de campo supersimétricas y el desvanecimiento de la supercurvatura a lo largo de las líneas supernulas , que son de dimensión , donde las dimensiones de Grassmann corresponden a un espinor puro. La reducción dimensional da los resultados correspondientes para , y , o .${\displaystyle d=10}$${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle (1|16)}$${\displaystyle 16}$${\displaystyle d=6}$${\displaystyle N=2}$${\displaystyle d=4}$${\displaystyle N=3}$${\displaystyle 4}$

Nathan Berkovits introdujo los espinores puros en la cuantificación de cuerdas. ^[6] Nigel Hitchin ^[14] introdujo las variedades de Calabi-Yau generalizadas , donde la estructura compleja generalizada está definida por un espinor puro. Estos espacios describen la geometría de las compactificaciones de flujo en la teoría de cuerdas.

En el enfoque de las jerarquías integrables desarrollado por Sato , ^[15] y sus estudiantes, ^{[16] [17]} las ecuaciones de la jerarquía se consideran como condiciones de compatibilidad para flujos conmutativos en un Grassmanniano de dimensión infinita . Bajo el mapa de Cartan (de dimensión infinita) , los espinores proyectivos puros son equivalentes a elementos del Grassmanniano de dimensión infinita que consisten en subespacios isótropos máximos de un espacio de Hilbert bajo un producto escalar complejo definido adecuadamente. Por lo tanto, sirven como módulos para soluciones de la jerarquía integrable BKP, ^{[9] [10] [11]} parametrizando las funciones BKP asociadas , que son funciones generadoras para los flujos. Bajo la correspondencia del mapa de Cartan , estas pueden expresarse como Fredholm Pfaffians de dimensión infinita . ^[11]${\displaystyle \tau }$

• Cartan, Élie (1981) [1966]. La teoría de los espinores . Dover Publications (edición reimpresa). París, Francia: Hermann (1966). ISBN 978-0-486-64070-9.
• Chevalley, Claude (1996) [1954]. La teoría algebraica de los espinores y las álgebras de Clifford (edición reimpresa). Columbia University Press (1954); Springer (1996). ISBN 978-3-540-57063-9.
• Charlton, Philip. La geometría de los espinores puros, con aplicaciones, tesis doctoral (1997).