Escala (mapa)

La escala de un mapa es la relación entre una distancia en el mapa y la distancia correspondiente en el terreno. Este concepto simple se complica por la curvatura de la superficie de la Tierra , que obliga a que la escala varíe a lo largo del mapa. Debido a esta variación, el concepto de escala adquiere significado de dos maneras distintas.

La primera forma es la relación entre el tamaño del globo generador y el tamaño de la Tierra. El globo generador es un modelo conceptual en el que se reduce el tamaño de la Tierra y a partir del cual se proyecta el mapa . La relación entre el tamaño de la Tierra y el tamaño del globo generador se denomina escala nominal (también llamada escala principal o fracción representativa ). Muchos mapas indican la escala nominal e incluso pueden mostrar una escala de barras (a veces simplemente llamada "escala") para representarla.

El segundo concepto distinto de escala se aplica a la variación de escala en un mapa. Es la relación entre la escala del punto representado en el mapa y la escala nominal. En este caso, "escala" significa el factor de escala (también llamado escala de punto o escala particular ).

Si la región del mapa es lo suficientemente pequeña como para ignorar la curvatura de la Tierra, como en un plano de una ciudad, entonces se puede utilizar un único valor como escala sin causar errores de medición. En mapas que cubren áreas más grandes, o toda la Tierra, la escala del mapa puede ser menos útil o incluso inútil para medir distancias. La proyección del mapa se vuelve fundamental para comprender cómo varía la escala a lo largo del mapa. ^{[1] [2]} Cuando la escala varía notablemente, se puede explicar como el factor de escala. La indicatriz de Tissot se utiliza a menudo para ilustrar la variación de la escala de puntos a lo largo de un mapa.

Los fundamentos de la escala cuantitativa de los mapas se remontan a la antigua China , con evidencia textual de que la idea de la escala de los mapas se comprendía en el siglo II a. C. Los topógrafos y cartógrafos chinos antiguos contaban con amplios recursos técnicos que utilizaban para producir mapas, como varas de contar , escuadras de carpintero , plomadas , compases para dibujar círculos y tubos de observación para medir la inclinación. Los astrónomos chinos antiguos insinuaron marcos de referencia que postulaban un sistema de coordenadas naciente para identificar ubicaciones y dividían el cielo en varios sectores o logias lunares. ^[3]

El cartógrafo y geógrafo chino Pei Xiu , del período de los Tres Reinos, creó un conjunto de mapas de grandes áreas dibujados a escala. Produjo un conjunto de principios que enfatizaban la importancia de una escala consistente, mediciones direccionales y ajustes en las mediciones de la tierra en el terreno que se estaba cartografiando. ^[3]

Las escalas de los mapas se pueden expresar en palabras (una escala léxica), como proporción o como fracción. Algunos ejemplos son:

'un centímetro a cien metros' o 1:10.000 o 1/10.000

'una pulgada por milla' o 1:63,360 o 1/63,360

'un centímetro por mil kilómetros' o 1:100.000.000 o 1/100.000.000. (La relación normalmente se abreviaría a 1:100M)

Además de lo anterior, muchos mapas tienen una o más escalas de barras (gráficas) . Por ejemplo, algunos mapas británicos modernos tienen tres escalas de barras, una para cada uno de los kilómetros, otra para las millas y otra para las millas náuticas.

Una escala léxica en un idioma conocido por el usuario puede ser más fácil de visualizar que una proporción: si la escala es de una pulgada a dos millas y el usuario del mapa puede ver dos aldeas que están separadas por unas dos pulgadas en el mapa, entonces es fácil calcular que las aldeas están separadas por unas cuatro millas en el terreno.

Una escala léxica puede causar problemas si se expresa en un idioma que el usuario no entiende o en unidades obsoletas o mal definidas. Por ejemplo, una escala de una pulgada por furlong (1:7920) será entendida por muchas personas mayores en países donde las unidades imperiales solían enseñarse en las escuelas. Pero una escala de una pulgada por legua puede ser de aproximadamente 1:144.000, dependiendo de la elección del cartógrafo de entre las muchas definiciones posibles para una legua, y solo una minoría de los usuarios modernos estarán familiarizados con las unidades utilizadas.

Contraste con la escala espacial .

Un mapa a pequeña escala cubre regiones extensas, como los mapas del mundo , los continentes o las grandes naciones. En otras palabras, muestran grandes áreas de tierra en un espacio pequeño. Se denominan a pequeña escala porque la fracción representativa es relativamente pequeña.

Los mapas a gran escala muestran áreas más pequeñas con más detalle, como los mapas de condados o los planos de ciudades. Estos mapas se denominan a gran escala porque la fracción representativa es relativamente grande. Por ejemplo, un plano de ciudad, que es un mapa a gran escala, puede tener una escala de 1:10 000, mientras que el mapa del mundo, que es un mapa a pequeña escala, puede tener una escala de 1:100 000 000.

La siguiente tabla describe los rangos típicos para estas escalas, pero no debe considerarse autorizada porque no existe un estándar:

A veces, los términos se utilizan en el sentido absoluto de la tabla, pero otras veces en un sentido relativo. Por ejemplo, un lector de mapas cuyo trabajo se refiere únicamente a mapas de gran escala (como se tabula más arriba) podría referirse a un mapa a escala 1:500.000 como de pequeña escala.

En inglés, la palabra large-scale se utiliza a menudo para significar "extenso". Sin embargo, como se explicó anteriormente, los cartógrafos utilizan el término "large scale" para referirse a mapas menos extensos, es decir, aquellos que muestran un área más pequeña. Los mapas que muestran un área extensa son mapas de "small scale", lo que puede ser motivo de confusión.

La cartografía de grandes áreas provoca distorsiones notables porque aplana significativamente la superficie curva de la Tierra. La forma en que se distribuye la distorsión depende de la proyección del mapa . La escala varía a lo largo del mapa y la escala indicada es solo una aproximación. Esto se analiza en detalle a continuación.

La región en la que la Tierra puede considerarse plana depende de la precisión de las mediciones de la topografía . Si se mide sólo al metro más cercano, entonces la curvatura de la Tierra es indetectable en una distancia meridiana de unos 100 kilómetros (62 millas) y en una línea este-oeste de unos 80 km (a una latitud de 45 grados). Si se mide al milímetro más cercano (0,039 pulgadas), entonces la curvatura es indetectable en una distancia meridiana de unos 10 km y en una línea este-oeste de unos 8 km. ^[4] Por lo tanto, un plano de la ciudad de Nueva York con una precisión de un metro o un plano de un sitio de construcción con una precisión de un milímetro cumplirían las condiciones anteriores para el descuido de la curvatura. Pueden tratarse mediante topografía plana y cartografiarse mediante dibujos a escala en los que dos puntos cualesquiera a la misma distancia en el dibujo están a la misma distancia en el suelo. Las distancias terrestres reales se calculan midiendo la distancia en el mapa y luego multiplicándola por la inversa de la fracción de escala o, equivalentemente, simplemente usando divisores para transferir la separación entre los puntos en el mapa a una escala de barras en el mapa.

Como lo demuestra el teorema egregio de Gauss , una esfera (o elipsoide) no se puede proyectar sobre un plano sin distorsionarla. Esto se ilustra comúnmente con la imposibilidad de alisar una cáscara de naranja sobre una superficie plana sin rasgarla y deformarla. La única representación verdadera de una esfera a escala constante es otra esfera, como un globo terráqueo .

Dado el tamaño limitado de los globos terráqueos, debemos utilizar mapas para realizar cartografía detallada. Los mapas requieren proyecciones. Una proyección implica distorsión: una separación constante en el mapa no corresponde a una separación constante en el terreno. Si bien un mapa puede mostrar una escala de barras gráfica, la escala debe utilizarse sabiendo que será precisa solo en algunas líneas del mapa. (Esto se analiza más a fondo en los ejemplos de las secciones siguientes).

Sea P un punto en latitud y longitud sobre la esfera (o elipsoide ). Sea Q un punto vecino y sea el ángulo entre el elemento PQ y el meridiano en P: este ángulo es el ángulo acimutal del elemento PQ. Sean P' y Q' puntos correspondientes en la proyección. El ángulo entre la dirección P'Q' y la proyección del meridiano es el rumbo . En general . Comentario: esta distinción precisa entre acimut (en la superficie de la Tierra) y rumbo (en el mapa) no se observa universalmente, muchos escritores usan los términos casi indistintamente.${\estilo de visualización \varphi}$${\estilo de visualización \lambda}$${\estilo de visualización \alpha}$ ${\estilo de visualización \beta}$${\displaystyle \alpha \neq \beta }$

Definición: la escala de puntos en P es la relación de las dos distancias P'Q' y PQ en el límite en el que Q se aproxima a P. Escribimos esto como

${\displaystyle \mu (\lambda ,\,\varphi ,\,\alpha )=\lim _{Q\to P}{\frac {P'Q'}{PQ}},}$

donde la notación indica que la escala del punto es una función de la posición de P y también de la dirección del elemento PQ.

Definición: si P y Q se encuentran en el mismo meridiano , la escala del meridiano se denota por .${\displaystyle (\alpha =0)}$${\displaystyle h(\lambda ,\,\varphi )}$

Definición: si P y Q se encuentran en el mismo paralelo , la escala paralela se denota por .${\displaystyle (\alpha =\pi /2)}$${\displaystyle k(\lambda ,\,\varphi )}$

Definición: si la escala del punto depende sólo de la posición, no de la dirección, decimos que es isótropa y convencionalmente denotamos su valor en cualquier dirección por el factor de escala paralela .${\displaystyle k(\lambda ,\varphi )}$

Definición: Se dice que una proyección cartográfica es conforme si el ángulo entre un par de líneas que se intersecan en un punto P es el mismo que el ángulo entre las líneas proyectadas en el punto proyectado P', para todos los pares de líneas que se intersecan en el punto P. Un mapa conforme tiene un factor de escala isotrópico. Por el contrario, los factores de escala isotrópicos a lo largo del mapa implican una proyección conforme.

La isotropía de escala implica que los elementos pequeños se estiran por igual en todas las direcciones, es decir, se conserva la forma de un elemento pequeño. Esta es la propiedad del ortomorfismo (del griego "forma correcta"). La calificación "pequeño" significa que, con una precisión de medición dada, no se puede detectar ningún cambio en el factor de escala sobre el elemento. Dado que las proyecciones conformes tienen un factor de escala isotrópico, también se las ha llamado proyecciones ortomórficas . Por ejemplo, la proyección de Mercator es conforme ya que está construida para conservar los ángulos y su factor de escala es isotrópico, una función solo de la latitud: Mercator conserva la forma en regiones pequeñas.

Definición: en una proyección conforme con una escala isotrópica, los puntos que tienen el mismo valor de escala se pueden unir para formar las líneas de isoescala . Estas no se representan en los mapas para los usuarios finales, pero aparecen en muchos de los textos estándar. (Véase Snyder ^[1] páginas 203—206.)

Existen dos convenciones que se utilizan para establecer las ecuaciones de cualquier proyección dada. Por ejemplo, la proyección cilíndrica equirrectangular puede escribirse como

cartógrafos:        ${\displaystyle x=a\lambda }$      ${\displaystyle y=a\varphi }$

Matemáticos:       ${\displaystyle x=\lambda }$      ${\displaystyle y=\varphi }$

Aquí adoptaremos la primera de estas convenciones (siguiendo el uso en las encuestas de Snyder). Claramente, las ecuaciones de proyección anteriores definen posiciones en un enorme cilindro que envuelve la Tierra y luego se desenrolla. Decimos que estas coordenadas definen el mapa de proyección que debe distinguirse lógicamente de los mapas impresos (o vistos) reales. Si la definición de escala de puntos en la sección anterior se refiere al mapa de proyección, entonces podemos esperar que los factores de escala sean cercanos a la unidad. Para las proyecciones cilíndricas tangentes normales, la escala a lo largo del ecuador es k=1 y, en general, la escala cambia a medida que nos alejamos del ecuador. El análisis de la escala en el mapa de proyección es una investigación del cambio de k a partir de su valor verdadero de la unidad.

Los mapas impresos reales se producen a partir del mapa de proyección mediante una escala constante indicada por una proporción como 1:100M (para mapas del mundo entero) o 1:10000 (para planos urbanos, por ejemplo). Para evitar confusiones en el uso de la palabra "escala", esta fracción de escala constante se denomina fracción representativa (FR) del mapa impreso y debe identificarse con la proporción impresa en el mapa. Las coordenadas reales del mapa impreso para la proyección cilíndrica equirrectangular son

mapa impreso:        ${\displaystyle x=(RF)a\lambda }$      ${\displaystyle y=(RF)a\varphi }$

Esta convención permite una clara distinción entre la escala de proyección intrínseca y la escala de reducción.

A partir de este punto ignoramos la RF y trabajamos con el mapa de proyección.

Consideremos un pequeño círculo sobre la superficie de la Tierra centrado en un punto P en latitud y longitud . Dado que la escala de puntos varía con la posición y la dirección, la proyección del círculo sobre la proyección estará distorsionada. Tissot demostró que, siempre que la distorsión no sea demasiado grande, el círculo se convertirá en una elipse sobre la proyección. En general, la dimensión, la forma y la orientación de la elipse cambiarán sobre la proyección. La superposición de estas elipses de distorsión sobre la proyección del mapa transmite la forma en que la escala de puntos está cambiando sobre el mapa. La elipse de distorsión se conoce como indicatriz de Tissot . El ejemplo que se muestra aquí es la proyección tripel de Winkel , la proyección estándar para los mapas del mundo realizada por la National Geographic Society . La distorsión mínima está en el meridiano central en latitudes de 30 grados (Norte y Sur). (Otros ejemplos ^{[5] [6]} ).${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \lambda }$

La clave para una comprensión cuantitativa de la escala es considerar un elemento infinitesimal en la esfera. La figura muestra un punto P en latitud y longitud en la esfera. El punto Q está en latitud y longitud . Las líneas PK y MQ son arcos de meridianos de longitud donde es el radio de la esfera y está en radianes. Las líneas PM y KQ son arcos de círculos paralelos de longitud con en radianes. Para derivar una propiedad puntual de la proyección en P basta con tomar un elemento infinitesimal PMQK de la superficie: en el límite de Q que se aproxima a P, dicho elemento tiende a un rectángulo plano infinitesimalmente pequeño.${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \varphi +\delta \varphi }$${\displaystyle \lambda +\delta \lambda }$${\displaystyle a\,\delta \varphi }$${\displaystyle a}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (a\cos \varphi )\delta \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

Las proyecciones cilíndricas normales de la esfera tienen y son iguales a una función de la latitud solamente. Por lo tanto, el elemento infinitesimal PMQK en la esfera se proyecta a un elemento infinitesimal P'M'Q'K' que es un rectángulo exacto con una base y una altura  . Al comparar los elementos en la esfera y la proyección podemos deducir inmediatamente expresiones para los factores de escala en paralelos y meridianos. (El tratamiento de la escala en una dirección general se puede encontrar a continuación).${\displaystyle x=a\lambda }$${\displaystyle y}$${\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }$${\displaystyle \delta y}$

factor de escala paralela   ${\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}$

factor de escala meridiana  ${\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}={\dfrac {y'(\varphi )}{a}}}$

Tenga en cuenta que el factor de escala paralela es independiente de la definición de, por lo que es el mismo para todas las proyecciones cilíndricas normales. Es útil observar que${\displaystyle k=\sec \varphi }$${\displaystyle y(\varphi )}$

En la latitud 30 grados la escala paralela es${\displaystyle k=\sec 30^{\circ }=2/{\sqrt {3}}=1.15}$

En la latitud 45 grados la escala paralela es${\displaystyle k=\sec 45^{\circ }={\sqrt {2}}=1.414}$

En la latitud 60 grados la escala paralela es${\displaystyle k=\sec 60^{\circ }=2}$

En la latitud 80 grados la escala paralela es${\displaystyle k=\sec 80^{\circ }=5.76}$

En la latitud 85 grados la escala paralela es${\displaystyle k=\sec 85^{\circ }=11.5}$

Los siguientes ejemplos ilustran tres proyecciones cilíndricas normales y en cada caso la variación de la escala con la posición y la dirección se ilustra mediante el uso de la indicatriz de Tissot .

La proyección equirrectangular , ^{[1] [2] [4]} también conocida como Plate Carrée (del francés "cuadrado plano") o (de manera un tanto engañosa) proyección equidistante, se define por

${\displaystyle x=a\lambda ,}$   ${\displaystyle y=a\varphi ,}$

donde es el radio de la esfera, es la longitud desde el meridiano central de la proyección (aquí tomado como el meridiano de Greenwich en ) y es la latitud. Tenga en cuenta que y están en radianes (obtenidos al multiplicar la medida en grados por un factor de /180). La longitud está en el rango y la latitud está en el rango .${\displaystyle a}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda =0}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}$

Dado que la sección anterior da${\displaystyle y'(\varphi )=1}$

escala paralela,  ${\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}$

escala meridiana ${\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,1}$

Para el cálculo de la escala de puntos en una dirección arbitraria, consulte el anexo.

La figura ilustra la indicatriz de Tissot para esta proyección. En el ecuador h=k=1 y los elementos circulares no están distorsionados en la proyección. En latitudes más altas, los círculos se distorsionan en una elipse que se obtiene estirando solo en la dirección paralela: no hay distorsión en la dirección del meridiano. La relación entre el eje mayor y el eje menor es . Claramente, el área de la elipse aumenta en el mismo factor.${\displaystyle \sec \varphi }$

Es instructivo considerar el uso de escalas de barras que podrían aparecer en una versión impresa de esta proyección. La escala es verdadera (k=1) en el ecuador, de modo que multiplicar su longitud en un mapa impreso por la inversa de la RF (o escala principal) da la circunferencia real de la Tierra. La escala de barras en el mapa también está dibujada a la escala verdadera, de modo que transferir una separación entre dos puntos en el ecuador a la escala de barras dará la distancia correcta entre esos puntos. Lo mismo es cierto en los meridianos. En un paralelo distinto del ecuador, la escala es tal que cuando transferimos una separación de un paralelo a la escala de barras, debemos dividir la distancia de la escala de barras por este factor para obtener la distancia entre los puntos cuando se mide a lo largo del paralelo (que no es la distancia verdadera a lo largo de un círculo máximo ). En una línea con un rumbo de, digamos, 45 grados ( ), la escala varía continuamente con la latitud y transferir una separación a lo largo de la línea a la escala de barras no da una distancia relacionada con la distancia verdadera de ninguna manera simple. (Pero vea el apéndice). Incluso si se pudiera calcular una distancia a lo largo de esta línea de ángulo plano constante, su relevancia es cuestionable, ya que dicha línea en la proyección corresponde a una curva complicada en la esfera. Por estas razones, las escalas de barras en mapas de pequeña escala deben usarse con extrema precaución.${\displaystyle \sec \varphi }$${\displaystyle \beta =45^{\circ }}$

La proyección de Mercator convierte la esfera en un rectángulo (de extensión infinita en la dirección -) mediante las ecuaciones ^{[1] [2] [4]}${\displaystyle y}$

${\displaystyle x=a\lambda \,}$

${\displaystyle y=a\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right]}$

donde a, y son como en el ejemplo anterior. Dado que los factores de escala son:${\displaystyle \lambda \,}$${\displaystyle \varphi \,}$${\displaystyle y'(\varphi )=a\sec \varphi }$

escala paralela     ${\displaystyle k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi .}$

escala meridiana   ${\displaystyle h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,\sec \varphi .}$

En el anexo matemático se muestra que la escala de puntos en una dirección arbitraria también es igual a , por lo que la escala es isótropa (igual en todas las direcciones), y su magnitud aumenta con la latitud como . En el diagrama de Tissot, cada elemento circular infinitesimal conserva su forma, pero se agranda cada vez más a medida que aumenta la latitud.${\displaystyle \sec \varphi }$${\displaystyle \sec \varphi }$

La proyección de áreas iguales de Lambert convierte la esfera en un rectángulo finito mediante las ecuaciones ^{[1] [2] [4]}

${\displaystyle x=a\lambda \qquad \qquad y=a\sin \varphi }$

donde a, y son como en el ejemplo anterior. Dado que los factores de escala son${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle y'(\varphi )=\cos \varphi }$

escala paralela      ${\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}$

escala meridiana    ${\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,\cos \varphi }$

A continuación se muestra el cálculo de la escala de puntos en una dirección arbitraria.

Las escalas verticales y horizontales ahora se compensan entre sí (hk=1) y en el diagrama de Tissot cada elemento circular infinitesimal se distorsiona en una elipse de la misma área que los círculos no distorsionados en el ecuador.

El gráfico muestra la variación de los factores de escala para los tres ejemplos anteriores. El gráfico superior muestra la función de escala isótropa de Mercator: la escala en el paralelo es la misma que la escala en el meridiano. Los otros gráficos muestran el factor de escala del meridiano para la proyección equirrectangular (h=1) y para la proyección de áreas iguales de Lambert. Estas dos últimas proyecciones tienen una escala paralela idéntica a la del gráfico de Mercator. Para la proyección de Lambert, tenga en cuenta que la escala paralela (como Mercator A) aumenta con la latitud y la escala del meridiano (C) disminuye con la latitud de tal manera que hk=1, lo que garantiza la conservación del área.

La escala de puntos de Mercator es la unidad en el ecuador porque es tal que el cilindro auxiliar utilizado en su construcción es tangente a la Tierra en el ecuador. Por esta razón, la proyección habitual debería llamarse proyección tangente . La escala varía con la latitud como . Dado que tiende al infinito a medida que nos acercamos a los polos, el mapa de Mercator está muy distorsionado en latitudes altas y, por esta razón, la proyección es totalmente inadecuada para los mapas del mundo (a menos que estemos hablando de navegación y líneas de rumbo ). Sin embargo, a una latitud de unos 25 grados, el valor de es de aproximadamente 1,1, por lo que Mercator tiene una precisión del 10 % en una franja de ancho de 50 grados centrada en el ecuador. Las franjas más estrechas son mejores: una franja de ancho de 16 grados (centrada en el ecuador) tiene una precisión del 1 % o 1 parte en 100.${\displaystyle k=\sec \varphi }$${\displaystyle \sec \varphi }$${\displaystyle \sec \varphi }$

Un criterio estándar para buenos mapas a gran escala es que la precisión debe estar dentro de 4 partes en 10.000, o 0,04%, correspondiente a . Dado que alcanza este valor en grados (ver figura siguiente, línea roja). Por lo tanto, la proyección tangente de Mercator es muy precisa dentro de una franja de ancho de 3,24 grados centrada en el ecuador. Esto corresponde a una distancia norte-sur de unos 360 km (220 mi). Dentro de esta franja, Mercator es muy buena, muy precisa y preserva la forma porque es conforme (preserva el ángulo). Estas observaciones impulsaron el desarrollo de las proyecciones transversales de Mercator en las que un meridiano se trata "como un ecuador" de la proyección para que obtengamos un mapa preciso dentro de una distancia estrecha de ese meridiano. Estos mapas son buenos para países alineados casi de norte a sur (como Gran Bretaña ) y se utiliza un conjunto de 60 mapas de este tipo para la proyección transversal universal de Mercator (UTM) . Tenga en cuenta que en ambas proyecciones (que se basan en varios elipsoides) las ecuaciones de transformación para x e y y la expresión para el factor de escala son funciones complicadas tanto de la latitud como de la longitud.${\displaystyle k=1.0004}$${\displaystyle \sec \varphi }$${\displaystyle \varphi =1.62}$

La idea básica de una proyección secante es que la esfera se proyecta sobre un cilindro que la interseca en dos paralelos, por ejemplo, norte y sur. Claramente, la escala es ahora verdadera en estas latitudes, mientras que los paralelos por debajo de estas latitudes se contraen por la proyección y su factor de escala (paralelo) debe ser menor que uno. El resultado es que la desviación de la escala respecto de la unidad se reduce en un rango más amplio de latitudes.${\displaystyle \varphi _{1}}$

A modo de ejemplo, una posible proyección secante de Mercator se define mediante

${\displaystyle x=0.9996a\lambda \qquad \qquad y=0.9996a\ln \left(\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right).}$

Los multiplicadores numéricos no alteran la forma de la proyección pero sí modifican los factores de escala:

escala secante de Mercator,   ${\displaystyle \quad k\;=0.9996\sec \varphi .}$

De este modo

• La escala en el ecuador es 0,9996,
• la escala es k  = 1 en una latitud dada por donde de modo que grados,${\displaystyle \varphi _{1}}$${\displaystyle \sec \varphi _{1}=1/0.9996=1.00004}$${\displaystyle \varphi _{1}=1.62}$
• k=1,0004 en una latitud dada por para qué grados. Por lo tanto, la proyección tiene , es decir, una precisión del 0,04%, sobre una franja más amplia de 4,58 grados (en comparación con los 3,24 grados de la forma tangente).${\displaystyle \varphi _{2}}$${\displaystyle \sec \varphi _{2}=1.0004/0.9996=1.0008}$${\displaystyle \varphi _{2}=2.29}$${\displaystyle 1<k<1.0004}$

Esto queda ilustrado por la curva inferior (verde) en la figura de la sección anterior.

Estas zonas estrechas de alta precisión se utilizan en la proyección UTM y la proyección OSGB británica, ambas secantes y transversales de Mercator sobre el elipsoide con la escala en el meridiano central constante en . Las líneas de isoescala con son líneas ligeramente curvadas aproximadamente a 180 km al este y al oeste del meridiano central. El valor máximo del factor de escala es 1,001 para UTM y 1,0007 para OSGB.${\displaystyle k_{0}=0.9996}$${\displaystyle k=1}$

Las líneas de escala unitaria en latitud (norte y sur), donde la superficie de proyección cilíndrica interseca la esfera, son los paralelos estándar de la proyección secante.${\displaystyle \varphi _{1}}$

Si bien una banda estrecha es importante para la cartografía de alta precisión a gran escala, para los mapas del mundo se utilizan paralelos estándar con espaciados mucho más amplios para controlar la variación de escala. Algunos ejemplos son ${\displaystyle |k-1|<0.0004}$

• Behrmann con paralelos estándar a 30N, 30S.
• Área de bilis igual con paralelos estándar a 45N, 45S.

A continuación se muestran los gráficos de escala para este último, en comparación con los factores de escala de área igual de Lambert. En este último, el ecuador es un único paralelo estándar y la escala del paralelo aumenta desde k=1 para compensar la disminución en la escala del meridiano. Para Gall, la escala del paralelo se reduce en el ecuador (a k=0,707), mientras que la escala del meridiano aumenta (a k=1,414). Esto da lugar a la gran distorsión de la forma en la proyección de Gall-Peters. (En el globo, África es aproximadamente tan larga como ancha). Obsérvese que las escalas del meridiano y del paralelo son ambas la unidad en los paralelos estándar.

Para proyecciones cilíndricas normales la geometría de los elementos infinitesimales da

${\displaystyle {\text{(a)}}\quad \tan \alpha ={\frac {a\cos \varphi \,\delta \lambda }{a\,\delta \varphi }},}$

${\displaystyle {\text{(b)}}\quad \tan \beta ={\frac {\delta x}{\delta y}}={\frac {a\,\delta \lambda }{\delta y}}.}$

La relación entre los ángulos y es${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\text{(c)}}\quad \tan \beta ={\frac {a\sec \varphi }{y'(\varphi )}}\tan \alpha .\,}$

Para la proyección de Mercator , que da : los ángulos se conservan (no es sorprendente, ya que esta es la relación utilizada para derivar Mercator). Para las proyecciones equidistantes y de Lambert, tenemos y respectivamente, por lo que la relación entre y depende de la latitud  . Denote la escala del punto en P cuando el elemento infinitesimal PQ forma un ángulo con el meridiano por Se da por la relación de distancias:${\displaystyle y'(\varphi )=a\sec \varphi }$${\displaystyle \alpha =\beta }$${\displaystyle y'(\varphi )=a}$${\displaystyle y'(\varphi )=a\cos \varphi }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \alpha \,}$${\displaystyle \mu _{\alpha }.}$

${\displaystyle \mu _{\alpha }=\lim _{Q\to P}{\frac {P'Q'}{PQ}}=\lim _{Q\to P}{\frac {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}}}{\sqrt {a^{2}\,\delta \varphi ^{2}+a^{2}\cos ^{2}\varphi \,\delta \lambda ^{2}}}}.}$

Estableciendo y sustituyendo a partir de las ecuaciones (a) y (b) respectivamente se obtiene${\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }$${\displaystyle \delta \varphi }$${\displaystyle \delta y}$

${\displaystyle \mu _{\alpha }(\varphi )=\sec \varphi \left[{\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}\right].}$

Para las proyecciones distintas de Mercator, primero debemos calcular a partir de y usando la ecuación (c), antes de poder encontrar . Por ejemplo, la proyección equirrectangular tiene de modo que ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \mu _{\alpha }}$${\displaystyle y'=a}$

${\displaystyle \tan \beta =\sec \varphi \tan \alpha .\,}$

Si consideramos una línea de pendiente constante en la proyección, tanto el valor correspondiente de como el factor de escala a lo largo de la línea son funciones complicadas de . No existe una manera sencilla de transferir una separación finita general a una escala de barras y obtener resultados significativos.${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \varphi }$

Si bien los dos puntos se utilizan a menudo para expresar proporciones, Unicode puede expresar un símbolo específico para proporciones, siendo ligeramente elevado: U+ 2236 ∶ RATIO ( ∶ ).

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