Equivalencia (teoría de la medida)

En matemáticas , y específicamente en la teoría de la medida , la equivalencia es una noción según la cual dos medidas son cualitativamente similares. En concreto, las dos medidas coinciden en qué eventos tienen medida cero.

Sean y dos medidas en el espacio medible y sean y los conjuntos de - conjuntos nulos y - conjuntos nulos, respectivamente. Entonces se dice que la medida es absolutamente continua con referencia a si y solo si Esto se denota como${\estilo de visualización \mu}$${\estilo de visualización \nu}$${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}),}$$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mu}:=\{A\in {\mathcal {A}}\mid \mu (A)=0\}}$$$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\nu}:=\{A\in {\mathcal {A}}\mid \nu (A)=0\}}$$${\estilo de visualización \mu}$${\estilo de visualización \nu}$${\estilo de visualización \nu}$${\estilo de visualización \mu}$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\nu}\supseteq {\mathcal {N}}_{\mu}.}$${\displaystyle \nu \ll \mu .}$

Las dos medidas se denominan equivalentes si y solo si y ^[1] que se denota como Es decir, dos medidas son equivalentes si satisfacen${\displaystyle \mu \ll \nu}$${\displaystyle \nu \ll \mu ,}$${\displaystyle \mu \sim \nu .}$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mu}={\mathcal {N}}_{\nu}.}$

Defina las dos medidas en la línea real como para todos los conjuntos de Borel. Entonces y son equivalentes, ya que todos los conjuntos fuera de tienen y miden cero, y un conjunto dentro es un conjunto -nulo o un conjunto -nulo exactamente cuando es un conjunto nulo con respecto a la medida de Lebesgue .$${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}\mathbf {1} _{[0,1]}(x)\mathrm {d} x}$$$${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}x^{2}\mathbf {1} _{[0,1]}(x)\mathrm {d} x}$$ ${\displaystyle A.}$${\estilo de visualización \mu}$${\estilo de visualización \nu}$${\estilo de visualización [0,1]}$${\estilo de visualización \mu}$${\estilo de visualización \nu}$${\estilo de visualización [0,1]}$${\estilo de visualización \mu}$${\estilo de visualización \nu}$

Observa un espacio medible y deja que sea la medida de conteo , entonces donde es la cardinalidad del conjunto a. Entonces, la medida de conteo tiene solo un conjunto nulo, que es el conjunto vacío . Es decir, Entonces, por la segunda definición, cualquier otra medida es equivalente a la medida de conteo si y solo si también tiene solo el conjunto vacío como el único conjunto nulo.${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$${\estilo de visualización \mu}$$${\displaystyle \mu(A)=|A|,}$$${\displaystyle |A|}$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mu }=\{\varnothing \}.}$${\estilo de visualización \nu}$${\estilo de visualización \nu}$

Una medida se llama${\estilo de visualización \mu}$medida de apoyo de una medidasies-finitayes equivalente a^[2]${\estilo de visualización \nu}$${\estilo de visualización \mu}$${\estilo de visualización \sigma}$${\estilo de visualización \nu}$${\estilo de visualización \mu .}$