Ecuaciones de Gurney

Las ecuaciones de Gurney son un conjunto de fórmulas matemáticas que se utilizan en la ingeniería de explosivos para relacionar la velocidad con la que un explosivo acelerará una capa adyacente de metal u otro material cuando detona. Esto determina la velocidad con la que se liberan los fragmentos de los explosivos militares, la velocidad con la que los explosivos de carga hueca aceleran sus revestimientos hacia adentro y en otros cálculos como la soldadura explosiva , en la que los explosivos fuerzan a que dos láminas de metal se unan y las unen. ^[1]

Las ecuaciones fueron desarrolladas por primera vez en la década de 1940 por Ronald Gurney ^[2] y se han ampliado y completado significativamente desde entonces. El artículo original de Gurney analizó la situación de una bomba o un proyectil que explota, una masa de explosivos rodeada por una cubierta sólida. Otros investigadores han extendido métodos de análisis similares a otras geometrías. Todas las ecuaciones derivadas de los métodos de Gurney se denominan colectivamente "ecuaciones de Gurney".

Cuando un explosivo adyacente a una capa de un material metálico u otro material sólido detona, la capa se acelera tanto por la onda de choque de la detonación inicial como por la presión de los gases detonantes. Gurney desarrolló una fórmula simple y conveniente basada en las leyes de conservación del momento y la energía que modela cómo se distribuía la energía entre la cubierta metálica y los gases detonantes, y que es notablemente precisa en muchos casos.

Una suposición simplificadora clave que hizo Gurney fue que existe un gradiente de velocidad lineal en los gases de los productos explosivos de la detonación; en situaciones en las que esto se viola fuertemente, como en las implosiones, la precisión de las ecuaciones es baja. Sin embargo, en las situaciones más comunes que se encuentran en las municiones (proyectiles que rodean explosivos), esto funciona notablemente bien. En tales casos, las aproximaciones están dentro del 10% de los resultados numéricos experimentales o detallados en un amplio rango de relaciones de masa de metal (M) a masa de carga explosiva (C) (0,1 < M/C < 10,0). Esto se debe a errores de compensación en el modelo simplificado. Ignorar las ondas de rarefacción en los gases de detonación hace que la velocidad calculada sea demasiado alta; la suposición de una densidad de gas constante inicial en lugar de la real de los gases que son más densos junto a la capa acelerada hace que el valor sea bajo, anulándose entre sí. En consecuencia, los intentos de mejorar la precisión del modelo de Gurney haciendo suposiciones más realistas sobre un aspecto u otro pueden no mejorar realmente la precisión del resultado. ^{[3] [4]}

Las ecuaciones de Gurney relacionan las siguientes cantidades:

C - La masa de la carga explosiva

M - La masa de la capa o lámina de material acelerado (normalmente metal). La capa o lámina se suele denominar lámina volante o lámina volante .

V o V _m - Velocidad del volante acelerado después de la detonación explosiva

N - La masa de una cubierta o lámina antimanipulación en el otro lado de la carga explosiva, si está presente

${\estilo de visualización E}$- La energía por masa de un explosivo que termina como energía cinética.

${\displaystyle {\sqrt {2E}}}$- La constante de Gurney para un explosivo determinado. Se expresa en unidades de velocidad (milímetros por microsegundo, por ejemplo) y compara la velocidad relativa de vuelo producida por diferentes materiales explosivos.

En el caso de sistemas implosionantes, en los que una carga explosiva hueca acelera una masa interna hacia el centro, los cálculos tienen en cuenta además:

R _o - Radio exterior de la carga explosiva

R _i - Radio interior de la carga explosiva

Como ecuación aproximada simple, el valor físico de suele estar muy cerca de 1/3 de la velocidad de detonación del material explosivo para explosivos estándar. ^[1] Para un conjunto típico de explosivos militares, el valor de varía entre 2,32 para Tritonal y 3,16 para PAX-29n.${\displaystyle {\sqrt {2E}}}$${\displaystyle {\frac {D}{\sqrt {2E}}}}$

Velocidad de Gurney para algunos explosivos comunes ^[1]${\displaystyle {\sqrt {2E}}}$

	Densidad	Velocidad de detonación	${\displaystyle {\sqrt {2E}}}$
Explosivo	${\displaystyle {\frac {g}{cm^{3}}}}$	${\displaystyle {\frac {mm}{\mu s}}}$	${\displaystyle {\frac {mm}{\mu s}}}$
Composición B	1,72	7,92	2.70
Composición C-3	1.60	7.63	2.68
Ciclotol 75/25	1.754	8.25	2,79
HMX	1,89	9.11	2,97
LX-14	1.835	8.65	2.80
Octol 75/25	1.81	8.48	2.80
Teléfono público 9404	1.84	8.80	2,90
Teléfono público 9502	1.885	7.67	2.377
PETN	1,76	8.26	2.93
RDX	1,77	8,70	2.83
Tetril	1.62	7.57	2,50
TNT	1.63	6.86	2.44
Tritonal	1,72	6.70	2.32

${\displaystyle {\frac {mm}{\mu s}}}$es igual a kilómetros por segundo, una unidad más familiar para muchas aplicaciones.

Los valores que se citan habitualmente son los denominados valores terminales , el caso límite de aceleración en las pruebas de expansión de cilindros utilizadas para medirla (a una expansión de 19-26 mm). También hay un valor inmediato que se puede medir para radios de expansión más pequeños (5-7 mm). Cuando no se proporciona ninguna aclaración en la literatura, normalmente es el valor límite. ^[5]${\displaystyle {\sqrt {2E}}}$

Las ecuaciones de Gurney dan un resultado que supone que la capa o lámina de material permanece intacta durante una gran parte de la expansión del gas explosivo, de modo que se puede realizar trabajo sobre ella. Para algunas configuraciones y materiales esto es cierto; la soldadura explosiva, por ejemplo, utiliza una lámina delgada de explosivo para acelerar uniformemente placas planas de metal y hacerlas colisionar, permaneciendo las placas sólidas durante todo el proceso. Sin embargo, para muchas configuraciones en las que los materiales, en particular los materiales frágiles, se aceleran hacia afuera, la capa en expansión se fractura debido al estiramiento. Cuando se fractura, normalmente se rompe en muchos fragmentos pequeños debido a los efectos combinados de la expansión continua de la capa y las ondas de alivio de tensión que se mueven hacia el material desde los puntos de fractura. ^[1] Este fenómeno permite que los gases de detonación fluyan alrededor de los fragmentos o los eviten, lo que reduce la propulsión efectiva.

Por lo tanto, para las carcasas metálicas que son frágiles o tienen una baja deformación última, las velocidades de los fragmentos suelen ser aproximadamente el 80% del valor previsto por las fórmulas de Gurney.

Las ecuaciones básicas de Gurney para láminas planas suponen que la lámina de material tiene un diámetro grande.

Las cargas explosivas pequeñas, en las que el diámetro del explosivo no es significativamente mayor que su espesor, tienen una eficacia reducida ya que el gas y la energía se pierden hacia los lados. ^[1]

Esta pérdida se modela empíricamente como la reducción de la masa de carga explosiva efectiva C a un valor efectivo C _eff , que es el volumen de explosivos contenidos dentro de un cono de 60° con su base en el límite explosivos/volante.

Colocar un tamper cilíndrico alrededor de la carga explosiva reduce esa pérdida lateral de manera efectiva, según analizó Benham.

En 1996, Hirsch describió una región de rendimiento, para proporciones relativamente pequeñas, en la que las ecuaciones de Gurney tergiversan el comportamiento físico real. ^[6]${\displaystyle {\frac {M}{C}}}$

El rango de valores para los cuales las ecuaciones básicas de Gurney generaron valores anómalos se describe mediante (para configuraciones de sándwich abiertas y asimétricas planas):

${\displaystyle {\frac {M}{C}}[\left(4{\frac {N}{C}})+1]<{\frac {1}{2}}}$

Para una configuración de sándwich de cara abierta (ver a continuación), esto corresponde a valores de 0,5 o menos. Para un sándwich con una masa de manipulación igual a la masa de la carga explosiva ( ), una masa de placa volante de 0,1 o menos de la masa de la carga será anómala.${\displaystyle {\frac {M}{C}}}$${\displaystyle {\frac {N}{C}}\geq 1.0}$

Este error se debe a que la configuración excede una de las suposiciones simplificadoras subyacentes utilizadas en las ecuaciones de Gurney, que es que existe un gradiente de velocidad lineal en los gases del producto explosivo. Para valores fuera de la región anómala, esta es una buena suposición. Hirsch demostró que, a medida que la distribución total de energía entre la placa volante y los gases excede la unidad, la suposición se rompe y, como resultado, las ecuaciones de Gurney se vuelven menos precisas.${\displaystyle {\frac {M}{C}}}$

Los factores que complican la región anómala incluyen el comportamiento detallado del gas de los productos explosivos, incluida la relación de capacidad térmica de los productos de reacción , γ.

La ingeniería de explosivos moderna utiliza métodos de análisis computacional que evitan este problema.

En el caso más simple, un cilindro metálico hueco y largo se llena completamente de explosivos. Las paredes del cilindro se aceleran hacia afuera como se describe en ^{[1] :}

${\displaystyle {\frac {V}{\sqrt {2E}}}=\left({\frac {M}{C}}+{\frac {1}{2}}\right)^{-1/2}}$

Esta configuración es una aproximación de primer orden para la mayoría de los dispositivos explosivos militares, incluidos los proyectiles de artillería , las bombas y la mayoría de las ojivas de misiles . Estos utilizan principalmente cargas explosivas cilíndricas.

Una carga esférica, iniciada en su centro, acelerará la carcasa de un volante que la rodea, como se describe en: ^[1]

${\displaystyle {\frac {V}{\sqrt {2E}}}=\left({\frac {M}{C}}+{\frac {3}{5}}\right)^{-1/2}}$

Este modelo aproxima el comportamiento de las granadas militares y algunas submuniciones de bombas de racimo .

Una capa plana de explosivo con dos placas voladoras planas pesadas idénticas en cada lado acelerará las placas como se describe en: ^[1]

${\displaystyle {\frac {V}{\sqrt {2E}}}=\left(2{\frac {M}{C}}+{\frac {1}{3}}\right)^{-1/2}}$

Los sándwiches simétricos se utilizan en algunas aplicaciones de blindaje reactivo , en vehículos fuertemente blindados, como los tanques de batalla principales . El proyectil que dispara hacia adentro impactará en el blindaje principal del vehículo, causando daños si el blindaje no es lo suficientemente grueso, por lo que estos solo se pueden utilizar en vehículos blindados más pesados. Los vehículos más livianos utilizan blindaje reactivo tipo sándwich de cara abierta (ver a continuación). Sin embargo, el método de funcionamiento de doble placa móvil de un sándwich simétrico ofrece la mejor protección del blindaje.

Una capa plana de explosivo con dos placas volantes planas de diferentes masas acelerará las placas como se describe en: ^{[1] [7] [8]}

Dejar:${\displaystyle A={\frac {1+2{\frac {M}{C}}}{1+2{\frac {N}{C}}}}}$

${\displaystyle {\frac {V_{M}}{\sqrt {2E}}}=\left({\frac {1+A^{3}}{3(1+A)}}+A^{2}{\frac {N}{C}}+{\frac {M}{C}}\right)^{-1/2}}$

Cuando se coloca una capa plana de explosivo sobre una superficie de soporte de espesor prácticamente infinito, y se cubre con una placa volante de material, la placa volante se acelerará como se describe por: ^[1]

${\displaystyle {\frac {V_{M}}{\sqrt {2E}}}=\left({\frac {M}{C}}+{\frac {1}{3}}\right)^{-1/2}}$

Una única lámina plana de explosivos con una placa volante en un lado, conocida como "sándwich abierto", se describe de la siguiente manera: ^[1]

Desde:

${\estilo de visualización N=0}$

entonces:

${\displaystyle A=1+2\left({\frac {M}{C}}\right)}$

Lo cual da:

${\displaystyle {\frac {V}{\sqrt {2E}}}=\left[{\frac {1+\left(1+2{\frac {M}{C}}\right)^{3}}{6\left(1+{\frac {M}{C}}\right)}}+{\frac {M}{C}}\right]^{-1/2}}$

Las configuraciones de sándwich de cara abierta se utilizan en la soldadura por explosión y algunas otras operaciones de conformación de metales.

También es una configuración que se utiliza habitualmente en blindaje reactivo en vehículos con blindaje ligero, con la cara abierta hacia abajo, en dirección a la placa de blindaje principal del vehículo. Esto minimiza el daño que las unidades de blindaje reactivo pueden causar a la estructura del vehículo durante el disparo.

Un cilindro hueco de explosivo, iniciado uniformemente alrededor de su superficie, con un tampón exterior y una carcasa hueca interior, que luego se acelera hacia adentro (" implosiona ") en lugar de hacia afuera, se describe mediante las siguientes ecuaciones. ^[9]

A diferencia de otras formas de la ecuación de Gurney, las formas de implosión (cilíndricas y esféricas) deben tener en cuenta la forma del volumen de control de la carcasa detonante de los explosivos y la distribución del momento y la energía dentro de los gases de los productos de la detonación. En el caso de las implosiones cilíndricas, la geometría implicada se simplifica para incluir los radios interno y externo de la carga explosiva, R _i y R _o .

${\displaystyle \beta ={\frac {R_{o}}{R_{i}}}}$

${\displaystyle a=1}$

${\displaystyle A={\frac {V_{o}}{V_{i}}}={\frac {\left({\frac {M}{C}}+a\left({\frac {M}{C}}\right)\left(\beta -1\right)+{\frac {\beta +2}{3\left(\beta +1\right)}}\right)}{\left({\frac {N}{C}}+{\frac {2\beta +1}{3\left(\beta +1\right)}}\right)}}}$

${\displaystyle {\frac {V_{m}}{\sqrt {2E}}}=}$${\displaystyle \left[A\left\{{\frac {\left({\frac {M}{C}}+{\frac {\beta +3}{6\left(\beta +1\right)}}\right)}{A}}+A\left({\frac {N}{C}}+{\frac {3\beta +1}{6\left(\beta +1\right)}}\right)-1/3\right\}\right]^{-1/2}}$

Si bien las ecuaciones del cilindro implosionante son fundamentalmente similares a la ecuación general para sándwiches asimétricos, la geometría involucrada (volumen y área dentro de la capa hueca del explosivo y la capa en expansión de los gases del producto de la detonación que empujan hacia adentro y hacia afuera) es más complicada, como lo demuestran las ecuaciones.

Se determinó experimental y analíticamente que la constante era 1,0.${\displaystyle a}$

Un caso especial es una esfera hueca de explosivos, iniciada uniformemente alrededor de su superficie, con un tampón exterior y una carcasa hueca interior que luego se acelera hacia adentro ("implosiona") en lugar de hacia afuera, y se describe en: ^[9]

${\displaystyle \beta ={\frac {R_{o}}{R_{i}}}}$

${\displaystyle a=1}$

${\displaystyle A={\frac {V_{o}}{V_{i}}}={\frac {\left[{\frac {M}{C}}+\left(a{\frac {M}{C}}\right)\left(\beta ^{2}-1\right)+{\frac {\beta ^{2}+2\beta +3}{4\left(\beta ^{2}+\beta +1\right)}}\right]}{\left({\frac {N}{C}}+{\frac {3\beta ^{2}+2\beta +1}{4\left(\beta ^{2}+\beta +1\right)}}\right)}}}$

${\displaystyle {\frac {V_{m}}{\sqrt {2E}}}=}$${\displaystyle \left[A\left\{{\frac {\left({\frac {M}{C}}+{\frac {\beta ^{2}+3\beta +6}{10\left(\beta ^{2}+\beta +1\right)}}\right)}{A}}+A\left({\frac {N}{C}}+{\frac {6\beta ^{2}+3\beta +1}{10\left(\beta ^{2}+\beta +1\right)}}\right)-{\frac {3\beta ^{2}+4\beta +3}{10\left(\beta ^{2}+\beta +1\right)}}\right\}\right]^{-1/2}}$

La ecuación esférica de Gurney tiene aplicaciones en el diseño temprano de armas nucleares .

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