Estado ligado

Terminología de la física cuántica

Un estado ligado es un compuesto de dos o más bloques de construcción fundamentales, como partículas, átomos o cuerpos, que se comporta como un solo objeto y en el que se requiere energía para dividirlos. ^[1]

En física cuántica , un estado ligado es un estado cuántico de una partícula sujeta a un potencial tal que la partícula tiene una tendencia a permanecer localizada en una o más regiones del espacio. ^[2] El potencial puede ser externo o puede ser el resultado de la presencia de otra partícula; en el último caso, se puede definir de manera equivalente un estado ligado como un estado que representa dos o más partículas cuya energía de interacción excede la energía total de cada partícula separada. Una consecuencia es que, dado un potencial que se desvanece en el infinito , los estados de energía negativa deben estar ligados. El espectro de energía del conjunto de estados ligados es más comúnmente discreto, a diferencia de los estados de dispersión de partículas libres , que tienen un espectro continuo.

Aunque no son estados ligados en sentido estricto, los estados metaestables con una energía de interacción neta positiva, pero con un tiempo de desintegración prolongado, a menudo también se consideran estados ligados inestables y se denominan "estados cuasi ligados". ^[3] Algunos ejemplos incluyen radionucleidos y átomos de Rydberg . ^[4]

En la teoría cuántica de campos relativista , un estado ligado estable de $n$ partículas con masas corresponde a un polo en la matriz S con una energía en el centro de masas menor que . Un estado ligado inestable se muestra como un polo con una energía en el centro de masas compleja . $\{m_{k}\}_{k=1}^{n}$ $\textstyle \sum _ {k}m_ {k}$

Ejemplos

Un protón y un electrón pueden moverse por separado; cuando lo hacen, la energía total del centro de masas es positiva, y ese par de partículas puede describirse como un átomo ionizado. Una vez que el electrón comienza a "orbitar" alrededor del protón, la energía se vuelve negativa y se forma un estado ligado, es decir, el átomo de hidrógeno . Solo el estado ligado de menor energía, el estado fundamental , es estable. Otros estados excitados son inestables y se desintegrarán en estados ligados estables (pero no en otros inestables) con menos energía mediante la emisión de un fotón .
Un "átomo" de positronio es un estado inestable de unión de un electrón y un positrón . Se desintegra en fotones .
Cualquier estado en el oscilador armónico cuántico está ligado, pero tiene energía positiva. Tenga en cuenta que , por lo que lo siguiente no se aplica. $\lim _{x\to \pm \infty }{V_{\text{QHO}}(x)}=\infty$
Un núcleo es un estado ligado de protones y neutrones ( nucleones ).
El propio protón es un estado ligado de tres quarks (dos up y uno down ; uno rojo , uno verde y uno azul ). Sin embargo, a diferencia del caso del átomo de hidrógeno, los quarks individuales nunca pueden aislarse. Véase confinamiento .
Los modelos de Hubbard y Jaynes–Cummings–Hubbard (JCH) admiten estados ligados similares. En el modelo de Hubbard, dos átomos bosónicos repulsivos pueden formar un par ligado en una red óptica . ^[5]^[6]^[7] El hamiltoniano JCH también admite estados ligados de dos polaritones cuando la interacción fotón-átomo es suficientemente fuerte. ^[8]

Definición

Sea el espacio de medida $σ$ -finito un espacio de probabilidad asociado con el espacio de Hilbert complejo separable . Defina un grupo de un parámetro de operadores unitarios , un operador de densidad y un observable en . Sea la distribución de probabilidad inducida de con respecto a . Entonces la evolución $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ${\estilo de visualización H}$ $(U_{t})_{t\in \mathbb {R}$ $\rho =\rho (t_{0})$ ${\estilo de visualización T}$ ${\estilo de visualización H}$ $\mu(T,\rho )$ ${\estilo de visualización T}$ ${\estilo de visualización \rho}$

\rho (t_{0})\mapsto [U_{t}(\rho )](t_{0})=\rho (t_{0}+t)

está obligado con respecto a si ${\estilo de visualización T}$

\lim _{R\rightarrow \infty }{\sup _{t\geq t_{0}}{\mu (T,\rho (t))(\mathbb {R} _{>R})}}=0

,

donde . ^[^dudoso^–^discutir^]^[9] $\mathbb {R} _{>R}=\lbrace x\in \mathbb {R} \mid x>R\rbrace$

Una partícula cuántica está en un estado ligado si en ningún momento se encuentra “demasiado lejos” de ninguna región finita . Si se utiliza una representación de función de onda , por ejemplo, esto significa ^[10] $R\subconjunto X$

{\begin{aligned}0&=\lim _{R\to \infty }{\mathbb {P} ({\text{partícula medida dentro de}}X\setminus R)}\\&=\lim _{R\to \infty }{\int _{X\setminus R}|\psi (x)|^{2}\,d\mu (x)},\end{aligned}}

de tal manera que

\int _{X}{|\psi (x)|^{2}\,d\mu (x)}<\infty .

En general, un estado cuántico es un estado ligado si y solo si es finitamente normalizable para todos los tiempos . ^[11] Además, un estado ligado se encuentra dentro de la parte de punto puro del espectro de si y solo si es un vector propio de . ^[12] $t\in \mathbb {R}$ ${\estilo de visualización T}$ ${\estilo de visualización T}$

De manera más informal, la "limitación" resulta principalmente de la elección del dominio de definición y las características del estado en lugar del observable. ^{[nb 1]} Para un ejemplo concreto: sea y sea el operador de posición . Dados y con soporte compacto . $H:=L^{2}(\mathbb {R} )$ ${\estilo de visualización T}$ $\rho =\rho (0)\en H$ $[-1,1]\subseteq \mathrm {Supl.} (\rho )$

Si la evolución del estado de "mueve este paquete de ondas hacia la derecha", por ejemplo si para todos , entonces no es un estado ligado con respecto a la posición. ${\estilo de visualización \rho}$ $[t-1,t+1]\in \mathrm {Supp} (\rho (t))$ $t\geq 0$ ${\estilo de visualización \rho}$
Si no cambia en el tiempo, es decir para todo , entonces está ligado con respecto a la posición. ${\estilo de visualización \rho}$ $\rho(t)=\rho$ $t\geq 0$ ${\estilo de visualización \rho}$
De manera más general: si la evolución del estado "simplemente se mueve dentro de un dominio limitado", entonces está limitada con respecto a la posición. ${\estilo de visualización \rho}$ ${\estilo de visualización \rho}$ ${\estilo de visualización \rho}$

Propiedades

Como los estados finitamente normalizables deben estar dentro de la parte pura del espectro, los estados ligados deben estar dentro de la parte pura del espectro. Sin embargo, como señalaron Neumann y Wigner , es posible que la energía de un estado ligado se encuentre en la parte continua del espectro. Este fenómeno se conoce como estado ligado en el continuo . ^[13]^[14]

Estados ligados a la posición

Consideremos la ecuación de Schrödinger de una partícula. Si un estado tiene energía , entonces la función de onda $ψ$ satisface, para algún ${\textstyle E<\max {\left(\lim _{x\to \infty }{V(x)},\lim _{x\to -\infty }{V(x)}\right)}}$ $X>0$

{\frac {\psi ^{\prime \prime }}{\psi }}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(V(x)-E)>0{\text{ para }}x>X

de modo que $ψ$ se suprime exponencialmente en $x$ grande . Este comportamiento está bien estudiado para potenciales que varían suavemente en la aproximación WKB para la función de onda, donde se observa un comportamiento oscilatorio si el lado derecho de la ecuación es negativo y un comportamiento creciente/decreciente si es positivo. ^[15] Por lo tanto, los estados de energía negativos están limitados si V se desvanece en el infinito.

No degeneración en estados ligados unidimensionales

Se puede demostrar que los estados ligados unidimensionales no son degenerados en energía para funciones de onda que se comportan bien y que decaen a cero en el infinito. Esto no tiene por qué ser así para funciones de onda en dimensiones superiores. Debido a la propiedad de los estados no degenerados, los estados ligados unidimensionales siempre se pueden expresar como funciones de onda reales.

Prueba

Consideremos dos estados propios de energía y con el mismo valor propio de energía. ${\textstyle \Psi _{1}}$ ${\textstyle \Psi _{2}}$

Entonces, dado que la ecuación de Schrödinger, que se expresa como: se satisface para i = 1 y 2, restando las dos ecuaciones se obtiene: que se puede reorganizar para dar la condición: Dado que , tomando el límite de x yendo a infinito en ambos lados, las funciones de onda se desvanecen y dan . $E=-{\frac {1}{\Psi _{i}(x,t)}}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi _{i}(x,t)}{\partial x^{2}}}+V(x,t)$ ${\frac {1}{\Psi _{1}(x,t)}}{\frac {\parcial ^{2}\Psi _{1}(x,t)}{\parcial x^{2}}}-{\frac {1}{\Psi _{2}(x,t)}}{\frac {\parcial ^{2}\Psi _{2}(x,t)}{\parcial x^{2}}}=0$ ${\frac {\parcial }{\parcial x}}\left({\frac {\parcial \Psi _{1}}{\parcial x}}\Psi _{2}\right)-{\frac {\parcial }{\parcial x}}\left({\frac {\parcial \Psi _{2}}{\parcial x}}\Psi _{1}\right)=0$ ${\textstyle {\frac {\parcial \Psi _{1}}{\parcial x}}(x)\Psi _{2}(x)-{\frac {\parcial \Psi _{2}}{\parcial x}}(x)\Psi _{1}(x)=C}$ ${\textstyle C=0}$

Resolviendo para , obtenemos: lo que demuestra que la función propia de energía de un estado ligado 1D es única. ${\textstyle {\frac {\parcial \Psi _{1}}{\parcial x}}(x)\Psi _{2}(x)={\frac {\parcial \Psi _{2}}{\parcial x}}(x)\Psi _{1}(x)}$ ${\textstyle \Psi _{1}(x)=k\Psi _{2}(x)}$

Además, se puede demostrar que estas funciones de onda siempre se pueden representar mediante una función de onda completamente real. Definamos funciones reales y tales que . Entonces, a partir de la ecuación de Schrödinger: obtenemos que, dado que los términos en la ecuación son todos valores reales: se aplica para i = 1 y 2. Por lo tanto, cada estado ligado 1D se puede representar mediante funciones propias completamente reales. Nótese que la representación de funciones reales de funciones de onda a partir de esta prueba se aplica para todos los estados no degenerados en general. ${\textstyle \rho _{1}(x)}$ ${\textstyle \rho _{2}(x)}$ ${\textstyle \Psi (x)=\rho _{1}(x)+i\rho _{2}(x)}$ $\Psi ''=-{\frac {2m(E-V(x))}{\hbar ^{2}}}\Psi$ $\rho _{i}''=-{\frac {2m(E-V(x))}{\hbar ^{2}}}\rho _{i}$

Teorema del nodo

El teorema de nodo establece que la función de onda n-ésima ordenada según el aumento de la energía tiene exactamente n-1 nodos, es decir, puntos donde . Debido a la forma de las ecuaciones independientes del tiempo de Schrödinger, no es posible que una función de onda física tenga ya que corresponde a la solución. ^[16] $x=a$ $\psi (a)=0\neq \psi '(a)$ $\psi (a)=0=\psi '(a)$ $\psi (x)=0$

Requisitos

Un bosón con masa $m χ$ que media una interacción débilmente acoplada produce un potencial de interacción tipo Yukawa ,

V(r)=\pm {\frac {\alpha _{\chi }}{r}}e^{-{\frac {r}{\lambda \!\!\!{\frac {}{\ }}_{\chi }}}}

,

donde , $g$ es la constante de acoplamiento de calibre, y $ƛ$ $i$ $=$ $⁠$ $\alpha _{\chi }=g^{2}/4\pi$ $ℏ / mi c ⁠$ es la longitud de onda de Compton reducida . Un bosón escalar produce un potencial universalmente atractivo, mientras que un vector atrae partículas a antipartículas pero repele pares similares. Para dos partículas de masa $m 1$ y $m 2$ , el radio de Bohr del sistema se convierte en

a_{0}={\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{1}+{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{2}}{\alpha _{\chi }}}

y produce el número adimensional

D={\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{\chi }}{a_{0}}}=\alpha _{\chi }{\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{\chi }}{{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{1}+{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{2}}}=\alpha _{\chi }{\frac {m_{1}+m_{2}}{m_{\chi }}}

.

Para que exista el primer estado ligado, . Debido a que el fotón no tiene masa, $D$ es infinita para el electromagnetismo . Para la interacción débil , la masa del bosón Z es $D\gtrsim 0.8$ 91,1876 ± 0,0021 GeV/ c ² , lo que evita la formación de estados ligados entre la mayoría de las partículas, ya que es97,2 veces la masa del protón y178.000 veces la masa del electrón .

Sin embargo, cabe señalar que si la interacción de Higgs no rompiera la simetría electrodébil en la escala electrodébil , entonces la interacción débil SU(2) se volvería confinante . ^[17]

Véase también

Observaciones

^ Véase Valor esperado (mecánica cuántica) para ver un ejemplo.

Referencias

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^ Sakurai, Jun (1995). "7.8". En Tuan, San (ed.). Mecánica cuántica moderna (edición revisada). Reading, Mass: Addison-Wesley. págs. 418-9. ISBN 0-201-53929-2Supongamos que la barrera fuera infinitamente alta... esperamos estados ligados, con energía E > 0. ... Son estados estacionarios con una vida útil infinita. En el caso más realista de una barrera finita, la partícula puede quedar atrapada en su interior, pero no puede quedar atrapada para siempre. Un estado atrapado de este tipo tiene una vida útil finita debido al efecto túnel de la mecánica cuántica. ... Llamemos a este estado estado cuasi ligado porque sería un estado ligado honesto si la barrera fuera infinitamente alta.
^ Gallagher, Thomas F. (15 de septiembre de 1994). "Intensidades y tiempos de vida de los osciladores". Rydberg Atoms (1.ª ed.). Cambridge University Press. págs. 38-49. doi :10.1017/cbo9780511524530.005. ISBN 978-0-521-38531-2.
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Lectura adicional

Blanchard, Philippe; Brüning, Edward (2015). "Algunas aplicaciones de la representación espectral". Métodos matemáticos en física: distribuciones, operadores espaciales de Hilbert, métodos variacionales y aplicaciones en física cuántica (2.ª ed.). Suiza: Springer International Publishing. pág. 431. ISBN 978-3-319-14044-5.

[13] Véase Valor esperado (mecánica cuántica) para ver un ejemplo.

[1] "Estado ligado - Referencia de Oxford".

[2] Blanchard, Philippe; Brüning, Erwin (2015). Métodos Matemáticos en Física . Birkhäuser. pag. 430.ISBN 978-3-319-14044-5.

[3] Sakurai, Jun (1995). "7.8". En Tuan, San (ed.). Mecánica cuántica moderna (edición revisada). Reading, Mass: Addison-Wesley. págs. 418-9. ISBN 0-201-53929-2Supongamos que la barrera fuera infinitamente alta... esperamos estados ligados, con energía E > 0. ... Son estados estacionarios con una vida útil infinita. En el caso más realista de una barrera finita, la partícula puede quedar atrapada en su interior, pero no puede quedar atrapada para siempre. Un estado atrapado de este tipo tiene una vida útil finita debido al efecto túnel de la mecánica cuántica. ... Llamemos a este estado estado cuasi ligado porque sería un estado ligado honesto si la barrera fuera infinitamente alta.

[4] Gallagher, Thomas F. (15 de septiembre de 1994). "Intensidades y tiempos de vida de los osciladores". Rydberg Atoms (1.ª ed.). Cambridge University Press. págs. 38-49. doi :10.1017/cbo9780511524530.005. ISBN 978-0-521-38531-2.

[5] K. Winkler; G. Thalhammer; F. Lang; R. Grimm; JH Denschlag; AJ Daley; A. kantiano; HP Buchler; P. Zoller (2006). "Pares de átomos unidos repulsivamente en una red óptica". Naturaleza . 441 (7095): 853–856. arXiv : cond-mat/0605196 . Código Bib : 2006Natur.441..853W. doi : 10.1038/naturaleza04918. PMID 16778884. S2CID 2214243.

[6] Javanainen, Juha; Odong Otim; Sanders, Jerome C. (abril de 2010). "Dímero de dos bosones en una red óptica unidimensional". Phys. Rev. A . 81 (4): 043609. arXiv : 1004.5118 . Código Bibliográfico :2010PhRvA..81d3609J. doi :10.1103/PhysRevA.81.043609. S2CID 55445588.

[7] M. Valiente y D. Petrosyan (2008). "Estados de dos partículas en el modelo de Hubbard". J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys . 41 (16): 161002. arXiv : 0805.1812 . Código Bibliográfico :2008JPhB...41p1002V. doi :10.1088/0953-4075/41/16/161002. S2CID 115168045.

[8] Max TC Wong y CK Law (mayo de 2011). "Estados ligados de dos polaritones en el modelo de Jaynes-Cummings-Hubbard". Phys. Rev. A . 83 (5). American Physical Society : 055802. arXiv : 1101.1366 . Código Bibliográfico :2011PhRvA..83e5802W. doi :10.1103/PhysRevA.83.055802. S2CID 119200554.

[9] Reed, M.; Simon, B. (1980). Métodos de física matemática moderna: I: Análisis funcional . Academic Press. pág. 303. ISBN 978-0-12-585050-6.

[10] Gustafson, Stephen J.; Sigal, Israel Michael (2020). "Estados ligados y en descomposición". Conceptos matemáticos de la mecánica cuántica . Cham: Springer International Publishing. doi :10.1007/978-3-030-59562-3. ISBN . 978-3-030-59561-6. ISSN 0172-5939.

[11] Ruelle, D. (1969). "Una observación sobre los estados ligados en la teoría de dispersión de potencial" (PDF) . Il Nuovo Cimento A. 61 ( 4). Springer Science and Business Media LLC. doi :10.1007/bf02819607. ISSN 0369-3546.

[12] Simon, B. (1978). "Una visión general de la teoría de dispersión rigurosa". pág. 3.

[14] Stillinger, Frank H.; Herrick, David R. (1975). "Estados ligados en el continuo". Physical Review A . 11 (2). American Physical Society (APS): 446–454. doi :10.1103/physreva.11.446. ISSN 0556-2791.

[15] Hsu, Chia Wei; Zhen, Bo; Stone, A. Douglas; Joannopoulos, John D.; Soljačić, Marin (2016). "Estados ligados en el continuo". Nature Reviews Materials . 1 (9). Springer Science and Business Media LLC. doi :10.1038/natrevmats.2016.48. hdl : 1721.1/108400 . ISSN 2058-8437.

[16] Hall, Brian C. (2013). Teoría cuántica para matemáticos . Textos de posgrado en matemáticas. Nueva York, Heidelberg, Dordrecht, Londres: Springer. pp. 316-320. ISBN 978-1-4614-7115-8.

[17] Berezin, FA (1991). La ecuación de Schrödinger. Dordrecht; Boston: Editores académicos de Kluwer. págs. 64–66. ISBN 978-0-7923-1218-5.

[18] Claudson, M.; Farhi, E.; Jaffe, RL (1 de agosto de 1986). "Modelo estándar fuertemente acoplado". Physical Review D . 34 (3): 873–887. Bibcode :1986PhRvD..34..873C. doi :10.1103/PhysRevD.34.873. PMID 9957220.