Ley del coseno de Lambert

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En óptica , la ley del coseno de Lambert dice que la intensidad radiante observada o intensidad luminosa de una superficie ideal de reflexión difusa o radiador difuso ideal es directamente proporcional al coseno del ángulo θ entre la línea de visión del observador y la normal de la superficie ; I = I ₀ cos θ . ^{[1] [2]} La ley también se conoce como ley de emisión del coseno ^[3] o ley de emisión de Lambert . Recibe su nombre de Johann Heinrich Lambert , de su Photometria , publicada en 1760. ^[4]

Una superficie que obedece la ley de Lambert se dice que es lambertiana y exhibe reflectancia lambertiana . Una superficie de este tipo tiene una radiancia / luminancia constante , independientemente del ángulo desde el que se la observe; un solo ojo humano percibe que una superficie de este tipo tiene un brillo constante, independientemente del ángulo desde el que el ojo observe la superficie. Tiene la misma radiancia porque, aunque la potencia emitida desde un elemento de área dado se reduce por el coseno del ángulo de emisión, el ángulo sólido, subtendido por la superficie visible para el observador, se reduce en la misma cantidad. Debido a que la relación entre la potencia y el ángulo sólido es constante, la radiancia (potencia por unidad de ángulo sólido por unidad de área de la fuente proyectada) permanece igual.

Cuando un elemento de área irradia como resultado de ser iluminado por una fuente externa, la irradiancia (energía o fotones/tiempo/área) que incide sobre ese elemento de área será proporcional al coseno del ángulo entre la fuente de iluminación y la normal. Un dispersor lambertiano dispersará entonces esta luz de acuerdo con la misma ley del coseno que un emisor lambertiano. Esto significa que, aunque la radiancia de la superficie depende del ángulo entre la normal y la fuente de iluminación, no dependerá del ángulo entre la normal y el observador. Por ejemplo, si la luna fuera un dispersor lambertiano, uno esperaría ver que su brillo disperso disminuye considerablemente hacia el terminador debido al aumento del ángulo en el que la luz solar incide sobre la superficie. El hecho de que no disminuya ilustra que la luna no es un dispersor lambertiano y, de hecho, tiende a dispersar más luz en los ángulos oblicuos que un dispersor lambertiano.

La emisión de un radiador lambertiano no depende de la cantidad de radiación incidente, sino de la radiación que se origina en el propio cuerpo emisor. Por ejemplo, si el Sol fuera un radiador lambertiano, se esperaría ver un brillo constante en todo el disco solar. El hecho de que el Sol presente un oscurecimiento del limbo en la región visible ilustra que no es un radiador lambertiano. Un cuerpo negro es un ejemplo de radiador lambertiano.

La situación de una superficie lambertiana (emisora ​​o dispersora) se ilustra en las figuras 1 y 2. Para mayor claridad conceptual, pensaremos en términos de fotones en lugar de energía o energía luminosa . Las cuñas en el círculo representan cada una un ángulo igual d Ω, de un tamaño elegido arbitrariamente, y para una superficie lambertiana, la cantidad de fotones por segundo emitidos en cada cuña es proporcional al área de la cuña.

La longitud de cada cuña es el producto del diámetro del círculo y cos( θ ). La tasa máxima de emisión de fotones por unidad de ángulo sólido es a lo largo de la normal, y disminuye a cero para θ = 90°. En términos matemáticos, la radiancia a lo largo de la normal es I  fotones/(s·m ² ·sr) y el número de fotones por segundo emitidos en la cuña vertical es I d Ω dA . El número de fotones por segundo emitidos en la cuña en el ángulo θ es I cos( θ ) d Ω dA .

La figura 2 representa lo que ve un observador. El observador que se encuentra directamente sobre el elemento de área verá la escena a través de una abertura de área dA ₀ y el elemento de área dA subtenderá un ángulo (sólido) de d Ω ₀ , que es una parte del campo de visión angular total del observador de la escena. Dado que el tamaño de cuña d Ω se eligió arbitrariamente, por conveniencia podemos suponer sin pérdida de generalidad que coincide con el ángulo sólido subtendido por la abertura cuando se "ve" desde el lugar geométrico del elemento de área emisor dA. Por lo tanto, el observador normal registrará la misma emisión de fotones por segundo I d Ω dA derivada anteriormente y medirá una radiancia de

${\displaystyle I_{0}={\frac {I\,d\Omega \,dA}{d\Omega _{0}\,dA_{0}}}}$ fotones/(s·m ² ·sr).

El observador en un ángulo θ con respecto a la normal verá la escena a través de la misma apertura de área dA ₀ (que todavía corresponde a una cuña d Ω) y desde esta posición oblicua el elemento de área dA se acorta y subtiende un ángulo (sólido) de d Ω ₀  cos( θ ). Este observador registrará I cos( θ ) d Ω dA fotones por segundo, y por lo tanto medirá una radiancia de

${\displaystyle I_{0}={\frac {I\cos(\theta )\,d\Omega \,dA}{d\Omega _{0}\,\cos(\theta )\,dA_{0} }}={\frac {I\,d\Omega \,dA}{d\Omega _{0}\,dA_{0}}}}$ fotones/(s·m ² ·sr),

que es lo mismo que el observador normal.

En general, la intensidad luminosa de un punto de una superficie varía según la dirección; para una superficie lambertiana, esa distribución está definida por la ley del coseno, con la intensidad luminosa máxima en la dirección normal. Por lo tanto, cuando se cumple la hipótesis lambertiana, podemos calcular el flujo luminoso total , , a partir de la intensidad luminosa máxima , , integrando la ley del coseno: y así${\displaystyle F_{\text{total}}}$${\displaystyle I_{\max}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\text{tot}}&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi /2}\cos(\theta )\,I_{\max }\,\sin(\theta )\,d\theta \,d\phi \\&=2\pi \cdot I_{\max }\int _{0}^{\pi /2}\cos(\theta )\sin(\theta )\,d\theta \\&=2\pi \cdot I_{\max }\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin(2\theta )}{2}}\,d\theta \end{aligned}}}$$

${\displaystyle F_{\text{tot}}=\pi \,\mathrm {sr} \cdot I_{\max }}$

donde es el determinante de la matriz jacobiana para la esfera unitaria , y dándose cuenta de que es el flujo luminoso por estereorradián . ^[5] De manera similar, la intensidad pico será del flujo luminoso radiado total. Para superficies lambertianas, el mismo factor de relaciona la luminancia con la emitancia luminosa , la intensidad radiante con el flujo radiante y la radiancia con la emitancia radiante . ^{[ cita requerida ]} Los radianes y estereorradiánes son, por supuesto, adimensionales y, por lo tanto, "rad" y "sr" se incluyen solo para mayor claridad.${\displaystyle \sin(\theta )}$${\displaystyle I_{\max}}$${\displaystyle 1/(\pi \,\mathrm {sr} )}$${\displaystyle \pi \,\mathrm {sr} }$

Ejemplo: una superficie con una luminancia de, digamos, 100 cd/m2 ⁽ = 100 nits, monitor de PC típico) tendrá, si es un emisor Lambert perfecto, una emitancia luminosa de 100π lm/m2 ^. Si su área es de 0,1 m2 ⁽ monitor de ~19"), entonces la luz total emitida, o flujo luminoso, sería 31,4 lm.

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