Elasticidad de la sustitución intertemporal

En economía , la elasticidad de sustitución intertemporal (o elasticidad intertemporal de sustitución, EIS, IES ) es una medida de la capacidad de respuesta de la tasa de crecimiento del consumo a la tasa de interés real . ^[1] Si la tasa de interés real aumenta, el consumo actual puede disminuir debido al aumento de la rentabilidad de los ahorros; pero el consumo actual también puede aumentar a medida que el hogar decide consumir más inmediatamente, ya que se siente más rico. El efecto neto sobre el consumo actual es la elasticidad de sustitución intertemporal. ^[2]

En general, existen dos formas de definir la EIS. La primera es definirla de manera abstracta como una función derivada de la función de utilidad y luego interpretarla como una elasticidad. La segunda es derivarla explícitamente como una elasticidad . Las dos formas generalmente dan como resultado la misma definición.

Dada una función de utilidad , donde denota el nivel de consumo, la EIS se define como Nótese que esta definición es la inversa de la aversión relativa al riesgo .${\displaystyle u(c)}$${\estilo de visualización c}$$${\displaystyle \sigma (c)=-{\frac {u'(c)}{cu''(c)}}}$$

Podemos definir una familia de funciones de utilidad, que puede entenderse como utilidad CRRA inversa:$${\displaystyle u_{\sigma }(c)={\begin{cases}{\frac {\sigma }{\sigma -1}}(c^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}-1){\text{ si }}\sigma \neq 1\\\ln c\quad {\text{si }}\sigma =1\end{cases}}}$$

Para cada , la función de utilidad tiene una EIS constante . En las aplicaciones económicas habituales, existe una restricción , ya que se supone que los agentes no son amantes del riesgo.${\displaystyle \sigma \neq 0}$${\displaystyle u_{\sigma}}$${\estilo de visualización \sigma}$${\displaystyle \sigma >0}$

En el diagrama, se puede ver que a medida que , la curva de utilidad se vuelve más lineal, lo que indica que el agente no intenta suavizar el consumo a lo largo del tiempo, de manera similar a cómo un agente neutral al riesgo no prefiere apuestas con resultados más suaves.${\displaystyle \sigma \to \infty}$

La derivación difiere para el tiempo discreto y continuo. Veremos que para la utilidad CRRA , los dos enfoques arrojan la misma respuesta. Las formas funcionales siguientes suponen que la utilidad del consumo es separable aditivamente en el tiempo.

La utilidad total durante la vida útil viene dada por

${\displaystyle U=\sum _{t=0}^{T}\beta ^{t}u(c_{t})}$

En este contexto, el tipo de interés real bruto vendrá dado por la siguiente condición:${\estilo de visualización R}$

${\displaystyle Qu'(c_{t})=Q\beta Ru'(c_{t+1})}$

Una cantidad de dinero invertida hoy cuesta unidades de utilidad y, por lo tanto, debe rendir exactamente esa cantidad de unidades de utilidad en el futuro cuando se ahorra a la tasa de interés bruta prevaleciente , donde es la tasa de interés neta (si rindiera más, entonces el agente podría beneficiarse ahorrando más).${\estilo de visualización Q}$${\displaystyle Qu'(c_{t})}$${\displaystyle R=1+r}$${\estilo de visualización r}$

Resolviendo la tasa de interés bruta, vemos que

${\displaystyle R={\frac {u'(c_{t})}{\beta u'(c_{t+1})}}}$

En los registros, tenemos

${\displaystyle \ln(R)=\ln(1+r)=-\ln {\left[{\frac {u'(c_{t+1})}{u'(c_{t})}}\right]}-\ln {\beta }}$

Dado que para valores pequeños (los logaritmos están muy cerca de los cambios porcentuales) tenemos${\displaystyle \ln(1+r)\aproximadamente r}$${\estilo de visualización r}$

${\displaystyle r\approx -\ln {\left[{\frac {u'(c_{t+1})}{u'(c_{t})}}\right]}-\ln {\beta }}$

La elasticidad de sustitución intertemporal se define como el cambio porcentual en el crecimiento del consumo por cada aumento porcentual en la tasa de interés neta:

${\displaystyle {\frac {d\ln(c_{t+1}/c_{t})}{dr}}}$

Sustituyendo en nuestra ecuación logarítmica anterior, podemos ver que esta definición es equivalente a la elasticidad del crecimiento del consumo con respecto al crecimiento de la utilidad marginal :

${\displaystyle -{\frac {d\ln(c_{t+1}/c_{t})}{d\ln(u'(c_{t+1})/u'(c_{t}))}}}$

Sin embargo, ambas definiciones son correctas, siempre que el agente esté optimizando y tenga una utilidad separable en el tiempo.

Sea la utilidad del consumo en el periodo dada por${\estilo de visualización t}$

${\displaystyle u(c_{t})={\frac {c_{t}^{1-\sigma }}{1-\sigma }}.}$

Dado que esta función de utilidad pertenece a la familia de funciones de utilidad CRRA tenemos Por lo tanto, ${\displaystyle u'(c_{t})=c_{t}^{-\sigma }.}$

${\displaystyle \ln \left[{\frac {u'(c_{t+1})}{u'(c_{t})}}\right]=-\sigma \ln \left[{\frac {c_{t+1}}{c_{t}}}\right].}$

Esto se puede reescribir como

${\displaystyle \ln \left[{\frac {c_{t+1}}{c_{t}}}\right]=-{\frac {1}{\sigma }}\ln \left[{\frac {u'(c_{t+1})}{u'(c_{t})}}\right]}$

Por lo tanto, aplicando la fórmula derivada anteriormente

${\displaystyle -{\frac {\parcial \ln(c_{t+1}/c_{t})}{\parcial \ln(u'(c_{t+1})/u'(c_{t}))}}=-\left[-{\frac {1}{\sigma }}\right]={\frac {1}{\sigma }}.}$

Sea la utilidad total durante la vida útil dada por

${\displaystyle U=\int _{0}^{T}e^{-\rho t}u(c_{t})dt}$

donde es la abreviatura de , es la utilidad del consumo en el tiempo (instantáneo) t, y es la tasa de descuento temporal. Primero defina la medida de aversión relativa al riesgo (esto es útil incluso si el modelo no tiene incertidumbre ni riesgo) como,$estilo de visualización c_{t}}$${\estilo de visualización c(t)}$${\displaystyle u(c(t))}$${\estilo de visualización \rho}$

${\displaystyle RRA=-{\frac {d(u'(c_{t}))}{d(c_{t})}}{\frac {c_{t}}{u'(c_{t})}}=-u''(c_{t}){\frac {c_{t}}{u'(c_{t})}}}$

Entonces la elasticidad de sustitución intertemporal se define como

${\displaystyle EIS=-{\frac {\parcial ({\dot {c}}_{t}/c_{t})}{\parcial ({\dot {u}}'(c_{t})/u'(c_{t}))}}=-{\frac {\parcial ({\dot {c}}_{t}/c_{t})}{\parcial (u''(c_{t}){\dot {c}}_{t}/u'(c_{t}))}}={\frac {\parcial ({\dot {c}}_{t}/c_{t})}{\parcial (RRA\cdot ({\dot {c}}_{t}/c_{t}))}}={\frac {1}{RRA}}=-{\frac {u'(c_{t})}{u''(c_{t})\cdot c_{t}}}}$

Si la función de utilidad es del tipo CRRA :${\displaystyle u(c)}$

${\displaystyle u(c)={\frac {c^{1-\theta }-1}{1-\theta }}}$(con caso especial de ser )${\displaystyle \theta = 1}$${\displaystyle u(c)=\ln(c)}$

Entonces, la elasticidad intertemporal de sustitución está dada por . En general, un valor bajo de theta (alta elasticidad intertemporal) significa que el crecimiento del consumo es muy sensible a los cambios en la tasa de interés real. Para theta igual a 1, la tasa de crecimiento del consumo responde uno a uno a los cambios en la tasa de interés real. Un valor alto de theta implica un crecimiento del consumo insensible.${\displaystyle {\frac {1}{\theta }}}$

En el modelo de crecimiento de Ramsey , la elasticidad de sustitución intertemporal determina la velocidad de ajuste al estado estacionario y el comportamiento de la tasa de ahorro durante la transición. Si la elasticidad es alta, entonces los grandes cambios en el consumo no son muy costosos para los consumidores y, como resultado, si la tasa de interés real es alta, ahorrarán una gran parte de sus ingresos. Si la elasticidad es baja, el motivo de suavización del consumo es muy fuerte y debido a esto los consumidores ahorrarán un poco y consumirán mucho si la tasa de interés real es alta.

Las estimaciones empíricas de la elasticidad varían. Parte de la dificultad se debe a que los estudios microeconómicos llegan a conclusiones diferentes a las de los estudios macroeconómicos , que utilizan datos agregados. Un metaanálisis de 169 estudios publicados informa una elasticidad media de 0,5, pero también diferencias sustanciales entre países. ^[3]