Ultrafinitismo

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En la filosofía de las matemáticas , el ultrafinitismo (también conocido como ultraintuicionismo , ^[1] formalismo estricto , ^[2] finitismo estricto , ^[2] actualismo , ^[1] predicativismo , ^{[2] [3]} y finitismo fuerte ) ^[2] es una forma de finitismo e intuicionismo . Existen varias filosofías de las matemáticas que se denominan ultrafinitismo. Una propiedad de identificación importante común entre la mayoría de estas filosofías es sus objeciones a la totalidad de las funciones teóricas de números como la exponenciación sobre números naturales .

Al igual que otros finitistas , los ultrafinitistas niegan la existencia del conjunto infinito de números naturales , basándose en que nunca puede completarse (es decir, existe un número natural más grande).${\displaystyle \mathbb {N} }$

Además, a algunos ultrafinitistas les preocupa la aceptación de objetos en matemáticas que nadie puede construir en la práctica debido a las restricciones físicas en la construcción de objetos matemáticos finitos grandes. Por lo tanto, algunos ultrafinitistas negarán o se abstendrán de aceptar la existencia de números grandes, por ejemplo, el piso del primer número de Skewes , que es un número enorme definido utilizando la función exponencial como exp(exp(exp(79))), o

${\displaystyle e^{e^{e^{79}}}.}$

La razón es que nadie ha calculado todavía qué número natural es el piso de este número real , y puede que ni siquiera sea físicamente posible hacerlo. De manera similar, (en la notación de flecha hacia arriba de Knuth ) se consideraría solo una expresión formal que no corresponde a un número natural. La rama del ultrafinitismo que se ocupa de la realizabilidad física de las matemáticas a menudo se llama actualismo .${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 6}$

Edward Nelson criticó la concepción clásica de los números naturales por la circularidad de su definición. En las matemáticas clásicas los números naturales se definen como 0 y los números obtenidos por las aplicaciones iterativas de la función sucesora a 0. Pero el concepto de número natural ya se da por sentado para la iteración. En otras palabras, para obtener un número como uno necesita realizar la función sucesora iterativamente (de hecho, exactamente 2 veces) hasta 0.${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 6}$${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 6}$

Algunas versiones del ultrafinitismo son formas de constructivismo , pero la mayoría de los constructivistas consideran que esta filosofía es extremadamente extrema. El fundamento lógico del ultrafinitismo no está claro; en su estudio exhaustivo Constructivism in Mathematics (1988), el lógico constructivista AS Troelstra lo desestimó diciendo que "no existe ningún desarrollo satisfactorio en la actualidad". Esto no era tanto una objeción filosófica como una admisión de que, en un trabajo riguroso de lógica matemática , simplemente no había nada lo suficientemente preciso como para incluirlo.

El trabajo serio sobre el ultrafinitismo fue liderado, desde 1959 hasta su muerte en 2016, por Alexander Esenin-Volpin , quien en 1961 esbozó un programa para demostrar la consistencia de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel en matemáticas ultrafinitas. Otros matemáticos que han trabajado en el tema incluyen a Doron Zeilberger , Edward Nelson , Rohit Jivanlal Parikh y Jean Paul Van Bendegem . La filosofía también se asocia a veces con las creencias de Ludwig Wittgenstein , Robin Gandy , Petr Vopěnka y Johannes Hjelmslev .

Shaughan Lavine ha desarrollado una forma de ultrafinitismo de teoría de conjuntos que es coherente con las matemáticas clásicas. ^[4] Lavine ha demostrado que los principios básicos de la aritmética como "no existe el número natural más grande" pueden mantenerse, ya que Lavine permite la inclusión de números "indefinidamente grandes". ^[4]

Otras consideraciones sobre la posibilidad de evitar números grandes y difíciles de manejar pueden basarse en la teoría de la complejidad computacional , como en el trabajo de András Kornai sobre el finitismo explícito (que no niega la existencia de números grandes) ^[5] y la noción de números factibles de Vladimir Sazonov.

También ha habido un considerable desarrollo formal en versiones del ultrafinitismo que se basan en la teoría de la complejidad, como las teorías aritméticas acotadas de Samuel Buss , que capturan las matemáticas asociadas con varias clases de complejidad como P y PSPACE . El trabajo de Buss puede considerarse la continuación del trabajo de Edward Nelson sobre aritmética predicativa , ya que las teorías aritméticas acotadas como S12 son interpretables en la teoría Q de Raphael Robinson y, por lo tanto, son predicativas en el sentido de Nelson . El poder de estas teorías para el desarrollo de las matemáticas se estudia en las matemáticas inversas acotadas, como se puede encontrar en los trabajos de Stephen A. Cook y Phuong The Nguyen. Sin embargo, estas no son filosofías de las matemáticas, sino más bien el estudio de formas restringidas de razonamiento similares a las matemáticas inversas .

• Problema transcomputacional

• Ésénine-Volpine, AS (1961), "Le program ultra-intuitionniste des fondements des mathématiques", Métodos infinitistas (Proc. Sympos. Foundations of Math., Varsovia, 1959) , Oxford: Pergamon, págs. 201–223, MR  0147389Revisado por Kreisel, G.; Ehrenfeucht, A. (1967), "Revisión de Le Program Ultra-Intuitionniste des Fondements des Mathematiques por AS Ésénine-Volpine", The Journal of Symbolic Logic , 32 (4), Association for Symbolic Logic: 517, doi :10.2307/2270182 , JSTOR  2270182
• Lavine, S., 1994. Entendiendo el infinito, Cambridge, MA: Harvard University Press.

• Finitismo explícito de András Kornai
• Sobre las cifras factibles de Vladimir Sazonov
• El análisis "real" es un caso degenerado de análisis discreto por Doron Zeilberger
• Discusión sobre fundamentos formales en MathOverflow
• Historia del constructivismo en el siglo XX por AS Troelstra
• Aritmética predicativa de Edward Nelson
• Fundamentos lógicos de la complejidad de las pruebas por Stephen A. Cook y Phuong The Nguyen
• Matemática inversa acotada por Phuong The Nguyen
• Leyendo “Ad Infinitum…” de Brian Rotman por Charles Petzold
• Teoría de la complejidad computacional