Triakis icosaedro
Catalán macizo con 60 caras
Triakis icosaedro
TipoKleetope sólido catalán
Caras60 triángulos isósceles
Bordes90
Vértices32
Grupo de simetríaSimetría icosaédrica I yo {\displaystyle \mathrm {I} _ {\mathrm {h} }}
Angulo diedro ( grados )160°36'45.188"
Poliedro dualdodecaedro truncado
Propiedades transitivo de caras convexas
Neto

En geometría , el triakis icosaedro es un sólido dual de Arquímedes , o sólido catalán , con 60 caras de triángulos isósceles . Su dual es el dodecaedro truncado . También se le ha llamado kisicosaedro . [1] Fue representado por primera vez, en una forma no convexa con caras de triángulos equiláteros , por Leonardo da Vinci en la Divina proporción de Luca Pacioli , donde se le denominó icosaedro elevatum . [2] La cápside del virus de la hepatitis A tiene la forma de un triakis icosaedro. [3]

Como un Kleetope

El triakisicosaedro se puede formar pegando pirámides triangulares a cada cara de un icosaedro regular . Dependiendo de la altura de estas pirámides con respecto a su base, el resultado puede ser convexo o no convexo. Esta construcción, de pegar pirámides a cada cara, es un ejemplo de una construcción general llamada Kleetope ; el triakisicosaedro es el Kleetope del icosaedro. [2] Esta interpretación también se expresa en el nombre, triakis , que se utiliza para los Kleetopos de poliedros con caras triangulares. [1]

Cuando se representa en la forma de Leonardo, con caras de triángulos equiláteros, es un ejemplo de un deltaedro no convexo , uno de los pocos deltaedros conocidos que son isoédricos (lo que significa que todas las caras son simétricas entre sí). [4] En otra de las formas no convexas del triakis icosaedro, los tres triángulos adyacentes a cada pirámide son coplanares, y se puede pensar que forman las partes visibles de un hexágono convexo, en un poliedro autointersecante con 20 caras hexagonales que se ha llamado el pequeño icosaedro triámbico . [5] Alternativamente, para la misma forma del triakis icosaedro, los triples de triángulos isósceles coplanares forman las caras de la primera estelación del icosaedro. [6] Otra forma no convexa, con caras de triángulos isósceles áureos , forma la capa exterior del gran dodecaedro estrellado , un poliedro de Kepler-Poinsot con doce caras de pentagrama . [7]

Cada arista del triakisicosaedro tiene puntos finales de grado total al menos 13. Según el teorema de Kotzig , esto es lo máximo posible para cualquier poliedro. El mismo grado total se obtiene del Kleetope de cualquier poliedro con un grado mínimo de cinco, pero el triakisicosaedro es el ejemplo más simple de esta construcción. [8] Aunque este Kleetope tiene caras de triángulos isósceles, iterar la construcción del Kleetope sobre él produce poliedros convexos con caras triangulares que no pueden ser todas isósceles. [9]

Como un sólido catalán

Modelo 3D de un triakisicosaedro
Combinando un dodecaedro y un icosaedro para formar el triakisicosaedro

El triakisicosaedro es un sólido catalán , el poliedro dual del dodecaedro truncado . El dodecaedro truncado es un sólido arquimediano , con caras que son decágonos regulares y triángulos equiláteros , y con todas las aristas que tienen longitud unitaria; sus vértices se encuentran en una esfera común, la circunsfera del decaedro truncado. La reciprocidad polar de este sólido a través de esta esfera es una forma convexa del triakisicosaedro, con todas las caras tangentes a la misma esfera, ahora una esfera inscrita , con coordenadas y dimensiones que se pueden calcular de la siguiente manera.

Sea la proporción áurea la que se indica . Los bordes cortos de esta forma del triakisicosaedro tienen longitud φ {\estilo de visualización \varphi}

5 φ + 15 11 ≈ 2.099 {\displaystyle {\frac {5\varphi +15}{11}}\aproximadamente 2,099} ,

y los bordes largos tienen longitud

φ + 2 ≈ 3.618 {\displaystyle \varphi +2\aproximadamente 3,618} . [10]

Sus caras son triángulos isósceles con un ángulo obtuso de

porque − 1 ⁡ − 3 φ 10 ≈ 119 ∘ {\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {-3\varphi }{10}}\aproximadamente 119^{\circ }}

y dos ángulos agudos de

porque − 1 ⁡ φ + 7 10 ≈ 30.5 ∘ {\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {\varphi +7}{10}}\aproximadamente 30,5^{\circ }} . [11]

Como sólido catalán, sus ángulos diedros son todos iguales, 160°36'45.188". Se puede generar un posible conjunto de 32 coordenadas cartesianas para los vértices del triakisicosaedro centrado en el origen (escalado de forma diferente al anterior) combinando los vértices de dos sólidos platónicos escalados apropiadamente , el icosaedro regular y un dodecaedro regular : [12] porque − 1 ⁡ φ 2 ( 1 + 2 φ ( 2 + φ ) ) ( 1 + 5 φ 4 ) ( 1 + φ 2 ( 2 + φ ) 2 ) ≈ {\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {\varphi ^{2}(1+2\varphi (2+\varphi ))}{\sqrt {(1+5\varphi ^{4})( 1+\varphi ^{2}(2+\varphi )^{2})}}}\aprox }

  • Doce vértices de un icosaedro regular , escalados para tener un radio circunscrito unitario, con las coordenadas ( 0 , ± 1 , ± φ ) φ 2 + 1 , ( ± 1 , ± φ , 0 ) φ 2 + 1 , ( ± φ , 0 , ± 1 ) φ 2 + 1 . {\displaystyle {\frac {(0,\pm 1,\pm \varphi )}{\sqrt {\varphi ^{2}+1}}},{\frac {(\pm 1,\pm \varphi , 0)}{\sqrt {\varphi ^{2}+1}}},{\frac {(\pm \varphi ,0,\pm 1)}{\sqrt {\varphi ^{2}+1}}}.}
  • Veinte vértices de un dodecaedro regular , escalados para tener un radio circunscrito con las coordenadas y 2 + φ 3 + 2 φ 3 2 − 1 / φ = 1 11 75 + 6 5 ≈ 0,8548 , {\displaystyle {\frac {2+\varphi }{3+2\varphi }}{\sqrt {\frac {3}{2-1/\varphi }}}={\frac {1}{11}}{\sqrt {75+6{\sqrt {5}}}}\aproximadamente 0,8548,} ( ± 1 , ± 1 , ± 1 ) 25 + 2 5 11 {\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\pm 1){\frac {\sqrt {25+2{\sqrt {5}}}}{11}}} ( 0 , ± φ , ± 1 φ ) 25 + 2 5 11 , ( ± 1 φ , 0 , ± φ ) 25 + 2 5 11 , ( ± φ , ± 1 φ , 0 ) 25 + 2 5 11 . {\displaystyle (0,\pm \varphi ,\pm {\frac {1}{\varphi }}){\frac {\sqrt {25+2{\sqrt {5}}}}{11}},(\pm {\frac {1}{\varphi }},0,\pm \varphi ){\frac {\sqrt {25+2{\sqrt {5}}}}{11}},(\pm \varphi ,\pm {\frac {1}{\varphi }},0){\frac {\sqrt {25+2{\sqrt {5}}}}{11}}.}

Simetría

En cualquiera de sus formas estándar convexas o no convexas, el triakisicosaedro tiene las mismas simetrías que un icosaedro regular. [4] Los tres tipos de ejes de simetría del icosaedro, a través de dos vértices opuestos, puntos medios de las aristas y centroides de las caras, se convierten respectivamente en ejes a través de pares opuestos de vértices de grado diez del triakisicosaedro, a través de puntos medios opuestos de aristas entre vértices de grado diez y a través de pares opuestos de vértices de grado tres.

Véase también

Referencias

  1. ^ ab Conway, John H. ; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008). Las simetrías de las cosas . AK Peters. pág. 284. ISBN 978-1-56881-220-5.
  2. ^ ab Brigaglia, Aldo; Palladino, Nicla; Vaccaro, Maria Alessandra (2018). "Notas históricas sobre la geometría estelar en matemáticas, arte y naturaleza". En Emmer, Michele; Abate, Marco (eds.). Imagine Math 6: Entre la cultura y las matemáticas . Springer International Publishing. págs. 197–211. doi :10.1007/978-3-319-93949-0_17. ISBN 978-3-319-93948-3.
  3. ^ Zhu, Ling; Zhang, Xiaoxue (octubre de 2014). "El virus de la hepatitis A exhibe una estructura única entre los picornavirus". Protein & Cell . 6 (2): 79–80. doi :10.1007/s13238-014-0103-7. PMC 4312766 . PMID  25359464. 
  4. ^ ab Shephard, GC (1999). "Deltaedros isoédricos". Periodica Mathematica Hungarica . 39 (1–3): 83–106. doi :10.1023/A:1004838806529.
  5. ^ Grünbaum, Branko (2008). "¿Puede cada cara de un poliedro tener muchos lados?". Geometría, juegos, gráficos y educación. The Joe Malkevitch Festschrift. Artículos de Joe Fest 2008, York College–The City University of New York (CUNY), Jamaica, NY, EE. UU., 8 de noviembre de 2008. Bedford, MA: Comap, Inc. pp. 9–26. hdl :1773/4593. ISBN 978-1-933223-17-9.Zbl 1185.52009  .
  6. ^ Cromwell, Peter R. (1997). Poliedros . Cambridge University Press. pág. 270. ISBN 0-521-66405-5.
  7. ^ Wenninger, Magnus (1974). "22: El gran dodecaedro estrellado". Polyhedron Models (Modelos de poliedros) . Cambridge University Press. págs. 40–42. ISBN 0-521-09859-9.
  8. ^ Zaks, Joseph (1983). "Extensión del teorema de Kotzig". Revista israelí de matemáticas . 45 (4): 281–296. doi : 10.1007/BF02804013 . hdl : 10338.dmlcz/127504 . MR  0720304.
  9. ^ Eppstein, David (2021). "Sobre la realización poliédrica con triángulos isósceles". Graphs and Combinatorics . 37 (4): 1247–1269. arXiv : 2009.00116 . doi :10.1007/s00373-021-02314-9.
  10. ^ Weisstein, Eric W. "Triakis icosaedro". MathWorld .
  11. ^ Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño . Dover Publications, Inc., pág. 89. ISBN 0-486-23729-X.
  12. ^ Koca, Mehmet; Ozdes Koca, Nazife; Koc, Ramazon (2010). "Sólidos Catalanes Derivados de Sistemas de Raíces 3D y Cuaterniones". Journal of Mathematical Physics . 51 (4). arXiv : 0908.3272 . doi :10.1063/1.3356985.
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