Tiempo de subida
Tiempo que tarda una señal en cambiar a un valor alto

En electrónica , al describir una función de paso de voltaje o corriente , el tiempo de subida es el tiempo que tarda una señal en cambiar de un valor bajo especificado a un valor alto especificado. [1] Estos valores pueden expresarse como proporciones [2] o, equivalentemente, como porcentajes [3] con respecto a un valor de referencia dado. En electrónica analógica y electrónica digital , [ cita requerida ] estos porcentajes son comúnmente el 10% y el 90% (o equivalentemente 0,1 y 0,9 ) de la altura del paso de salida: [4] sin embargo, se utilizan comúnmente otros valores. [5] Para aplicaciones en teoría de control, según Levine (1996, p. 158), el tiempo de subida se define como " el tiempo requerido para que la respuesta suba de x% a y% de su valor final ", con un tiempo de subida de 0% a 100% común para sistemas de segundo orden subamortiguados , de 5% a 95% para amortiguados críticamente y de 10% a 90% para sobreamortiguados . [6] Según Orwiler (1969, p. 22), el término "tiempo de subida" se aplica tanto a la respuesta de paso positiva como a la negativa , incluso si una excursión negativa mostrada se denomina popularmente tiempo de caída . [7]

Descripción general

El tiempo de subida es un parámetro analógico de importancia fundamental en la electrónica de alta velocidad , ya que es una medida de la capacidad de un circuito para responder a señales de entrada rápidas. [8] Se han hecho muchos esfuerzos para reducir los tiempos de subida de circuitos, generadores y equipos de medición y transmisión de datos. Estas reducciones tienden a surgir de la investigación sobre dispositivos electrónicos más rápidos y de técnicas de reducción de parámetros de circuitos dispersos (principalmente capacitancias e inductancias). Para aplicaciones fuera del ámbito de la electrónica de alta velocidad , a veces son deseables tiempos de subida largos (en comparación con el estado de la técnica alcanzable): ejemplos son la atenuación de una luz, donde un tiempo de subida más largo da como resultado, entre otras cosas, una vida útil más larga para la bombilla, o en el control de señales analógicas por digitales por medio de un interruptor analógico , donde un tiempo de subida más largo significa una menor alimentación capacitiva y, por lo tanto, un menor ruido de acoplamiento a las líneas de señal analógica controladas.

Factores que afectan el tiempo de subida

Para una salida de sistema dada, su tiempo de subida depende tanto del tiempo de subida de la señal de entrada como de las características del sistema . [9]

Por ejemplo, los valores de tiempo de subida en un circuito resistivo se deben principalmente a la capacitancia y la inductancia parásitas . Dado que cada circuito no solo tiene resistencia , sino también capacitancia e inductancia , es evidente un retraso en el voltaje y/o la corriente en la carga hasta que se alcanza el estado estable . En un circuito RC puro , el tiempo de subida de salida (10% a 90%) es aproximadamente igual a 2,2 RC . [10]

Definiciones alternativas

Otras definiciones de tiempo de subida, aparte de la dada por la Norma Federal 1037C (1997, p. R-22) y su ligera generalización dada por Levine (1996, p. 158), se utilizan ocasionalmente: [11] estas definiciones alternativas difieren de la norma no sólo por los niveles de referencia considerados. Por ejemplo, el intervalo de tiempo que corresponde gráficamente a los puntos de intersección de la tangente trazada a través del punto 50% de la respuesta de la función escalón se utiliza ocasionalmente. [12] Otra definición, introducida por Elmore (1948, p. 57), [13] utiliza conceptos de la estadística y la teoría de la probabilidad . Considerando una respuesta escalón V ( t ) , redefine el tiempo de retardo t D como el primer momento de su primera derivada V′ ( t ) , es decir

a D = ∫ 0 + ∞ a V " ( a ) d a ∫ 0 + ∞ V " ( a ) d a . {\displaystyle t_{D}={\frac {\int _{0}^{+\infty }tV^{\prime }(t)\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}}.}

Finalmente, define el tiempo de subida t r utilizando el segundo momento

a a 2 = ∫ 0 + ∞ ( a − a D ) 2 V " ( a ) d a ∫ 0 + ∞ V " ( a ) d a ⟺ a a = ∫ 0 + ∞ ( a − a D ) 2 V " ( a ) d a ∫ 0 + ∞ V " ( a ) d a {\displaystyle t_{r}^{2}={\frac {\int _{0}^{+\infty }(t-t_{D})^{2}V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}}\quad \Longleftrightarrow \quad t_{r}={\sqrt {\frac {\int _{0}^{+\infty }(t-t_{D})^{2}V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}}}}

Tiempo de subida de los sistemas modelo

Notación

Aquí se enumeran todas las anotaciones y suposiciones necesarias para el análisis.

  • Siguiendo a Levine (1996, p. 158, 2011, 9-3 (313)), definimos x% como el valor porcentual bajo e y% como el valor porcentual alto respecto de un valor de referencia de la señal cuyo tiempo de subida se quiere estimar.
  • t 1 es el tiempo en el que la salida del sistema bajo análisis está en el x% del valor de estado estable, mientras que t 2 es aquel en el que está en el y% , ambos medidos en segundos .
  • t r es el tiempo de subida del sistema analizado, medido en segundos. Por definición, a a = a 2 − a 1 . {\displaystyle t_{r}=t_{2}-t_{1}.}
  • f L es la frecuencia de corte inferior (punto de -3 dB) del sistema analizado, medida en hercios .
  • f H es la frecuencia de corte más alta (punto de -3 dB) del sistema analizado, medida en hercios.
  • h ( t ) es la respuesta al impulso del sistema analizado en el dominio del tiempo.
  • H ( ω ) es la respuesta de frecuencia del sistema analizado en el dominio de la frecuencia.
  • El ancho de banda se define como y dado que la frecuencia de corte inferior f L suele ser varias décadas menor que la frecuencia de corte superior f H , B Yo = F yo − F yo Estilo de visualización: BW=f_{H}-f_{L}} B Yo ≅ F yo Estilo de visualización BW Cong fH
  • Todos los sistemas analizados aquí tienen una respuesta de frecuencia que se extiende hasta 0 (sistemas de paso bajo), es decir, exactamente. F yo = 0 ⟺ F yo = B Yo {\displaystyle f_{L}=0\,\Longleftrightarrow \,f_{H}=BW}
  • Para simplificar, todos los sistemas analizados en la sección "Ejemplos simples de cálculo del tiempo de subida" son redes eléctricas de ganancia unitaria , y todas las señales se consideran voltajes : la entrada es una función escalón de V 0 voltios , y esto implica que V ( a 1 ) V 0 = incógnita % 100 V ( a 2 ) V 0 = y % 100 {\displaystyle {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}={\frac {x\%}{100}}\qquad {\frac {V(t_{2})}{ V_{0}}}={\frac {y\%}{100}}}
  • ζ es el coeficiente de amortiguamiento y ω 0 es la frecuencia natural de un sistema de segundo orden dado.

Ejemplos sencillos de cálculo del tiempo de subida

El objetivo de esta sección es el cálculo del tiempo de subida de la respuesta escalonada para algunos sistemas simples:

Sistema de respuesta gaussiana

Se dice que un sistema tiene una respuesta gaussiana si se caracteriza por la siguiente respuesta de frecuencia

| yo ( ω ) | = mi − ω 2 σ 2 {\displaystyle |H(\omega )|=e^{-{\frac {\omega ^{2}}{\sigma ^{2}}}}}

donde σ > 0 es una constante, [14] relacionada con la frecuencia de corte alta por la siguiente relación:

F yo = σ 2 π 3 20 En ⁡ 10 ≅ 0,0935 σ . {\displaystyle f_{H}={\frac {\sigma }{2\pi }}{\sqrt {{\frac {3}{20}}\ln 10}}\cong 0.0935\sigma .}

Aunque este tipo de respuesta de frecuencia no se puede realizar con un filtro causal , [15] su utilidad radica en el hecho de que el comportamiento de una conexión en cascada de filtros de paso bajo de primer orden se aproxima más al comportamiento de este sistema a medida que el número de etapas en cascada aumenta asintóticamente hasta el infinito . [16] La respuesta al impulso correspondiente se puede calcular utilizando la transformada de Fourier inversa de la respuesta de frecuencia mostrada.

F − 1 { yo } ( a ) = yo ( a ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ mi − ω 2 σ 2 mi i ω a d ω = σ 2 π mi − 1 4 σ 2 a 2 {\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\{H\}(t)=h(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{e^{-{\frac {\omega ^{2}}{\sigma ^{2}}}}e^{i\omega t}}d\omega ={\frac {\sigma }{2{\sqrt {\pi }}}}e^{-{\frac {1}{4}}\sigma ^{2}t^{2}}}

Aplicando directamente la definición de respuesta al escalón ,

V ( a ) = V 0 yo ∗ yo ( a ) = V 0 π ∫ − ∞ σ a 2 mi − τ 2 d τ = V 0 2 [ 1 + mi a F ( σ a 2 ) ] ⟺ V ( a ) V 0 = 1 2 [ 1 + mi a F ( σ a 2 ) ] . {\displaystyle V(t)=V_{0}{H*h}(t)={\frac {V_{0}}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\frac {\sigma t}{2}}e^{-\tau ^{2}}d\tau ={\frac {V_{0}}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t}{2}}\right)\right]\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {V(t)}{V_{0}}}={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t}{2}}\right)\right].}

Para determinar el tiempo de subida del 10% al 90% del sistema es necesario resolver para el tiempo las dos ecuaciones siguientes:

V ( a 1 ) V 0 = 0,1 = 1 2 [ 1 + mi a F ( σ a 1 2 ) ] V ( a 2 ) V 0 = 0.9 = 1 2 [ 1 + mi a F ( σ a 2 2 ) ] , {\displaystyle {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.1={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t_{1}}{2}}\right)\right]\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}=0.9={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t_{2}}{2}}\right)\right],}

Utilizando propiedades conocidas de la función de error , se encuentra el valor t = − t 1 = t 2 : dado que t r = t 2 - t 1 = 2 t ,

t r = 4 σ erf − 1 ⁡ ( 0.8 ) ≅ 0.3394 f H , {\displaystyle t_{r}={\frac {4}{\sigma }}{\operatorname {erf} ^{-1}(0.8)}\cong {\frac {0.3394}{f_{H}}},}

Y finalmente

t r ≅ 0.34 B W ⟺ B W ⋅ t r ≅ 0.34. {\displaystyle t_{r}\cong {\frac {0.34}{BW}}\quad \Longleftrightarrow \quad BW\cdot t_{r}\cong 0.34.} [17]

Red RC de paso bajo de una etapa

Para una red RC de paso bajo simple de una etapa , [18] el tiempo de subida del 10% al 90% es proporcional a la constante de tiempo de la red τ = RC :

t r ≅ 2.197 τ {\displaystyle t_{r}\cong 2.197\tau }

La constante de proporcionalidad se puede derivar del conocimiento de la respuesta al escalón de la red a una señal de entrada de función escalón unitario de amplitud V 0 :

V ( t ) = V 0 ( 1 − e − t τ ) {\displaystyle V(t)=V_{0}\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)}

Resolviendo el tiempo

V ( t ) V 0 = ( 1 − e − t τ ) ⟺ V ( t ) V 0 − 1 = − e − t τ ⟺ 1 − V ( t ) V 0 = e − t τ , {\displaystyle {\frac {V(t)}{V_{0}}}=\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {V(t)}{V_{0}}}-1=-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\quad \Longleftrightarrow \quad 1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}=e^{-{\frac {t}{\tau }}},}

Y por último,

ln ⁡ ( 1 − V ( t ) V 0 ) = − t τ ⟺ t = − τ ln ⁡ ( 1 − V ( t ) V 0 ) {\displaystyle \ln \left(1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}\right)=-{\frac {t}{\tau }}\quad \Longleftrightarrow \quad t=-\tau \;\ln \left(1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}\right)}

Dado que t 1 y t 2 son tales que

V ( t 1 ) V 0 = 0.1 V ( t 2 ) V 0 = 0.9 , {\displaystyle {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.1\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}=0.9,}

Resolviendo estas ecuaciones encontramos la expresión analítica para t 1 y t 2 :

t 1 = − τ ln ⁡ ( 1 − 0.1 ) = − τ ln ⁡ ( 0.9 ) = − τ ln ⁡ ( 9 10 ) = τ ln ⁡ ( 10 9 ) = τ ( ln ⁡ 10 − ln ⁡ 9 ) {\displaystyle t_{1}=-\tau \;\ln \left(1-0.1\right)=-\tau \;\ln \left(0.9\right)=-\tau \;\ln \left({\frac {9}{10}}\right)=\tau \;\ln \left({\frac {10}{9}}\right)=\tau ({\ln 10}-{\ln 9})}
t 2 = τ ln ⁡ 10 {\displaystyle t_{2}=\tau \ln {10}}

Por tanto, el tiempo de subida es proporcional a la constante de tiempo: [19]

t r = t 2 − t 1 = τ ⋅ ln ⁡ 9 ≅ τ ⋅ 2.197 {\displaystyle t_{r}=t_{2}-t_{1}=\tau \cdot \ln 9\cong \tau \cdot 2.197}

Ahora, tomando nota de que

τ = R C = 1 2 π f H , {\displaystyle \tau =RC={\frac {1}{2\pi f_{H}}},} [20]

entonces

t r = 2 ln ⁡ 3 2 π f H = ln ⁡ 3 π f H ≅ 0.349 f H , {\displaystyle t_{r}={\frac {2\ln 3}{2\pi f_{H}}}={\frac {\ln 3}{\pi f_{H}}}\cong {\frac {0.349}{f_{H}}},}

y como el corte de alta frecuencia es igual al ancho de banda,

t r ≅ 0.35 B W ⟺ B W ⋅ t r ≅ 0.35. {\displaystyle t_{r}\cong {\frac {0.35}{BW}}\quad \Longleftrightarrow \quad BW\cdot t_{r}\cong 0.35.} [17]

Finalmente, tenga en cuenta que, si se considera el tiempo de subida del 20% al 80%, t r se convierte en:

t r = τ ⋅ ln ⁡ 8 2 = ( 2 ln ⁡ 2 ) τ ≅ 1.386 τ ⟺ t r = ln ⁡ 2 π B W ≅ 0.22 B W {\displaystyle t_{r}=\tau \cdot \ln {\frac {8}{2}}=(2\ln 2)\tau \cong 1.386\tau \quad \Longleftrightarrow \quad t_{r}={\frac {\ln 2}{\pi BW}}\cong {\frac {0.22}{BW}}}

Red LR de paso bajo de una etapa

Incluso para una red RL de paso bajo de una etapa simple, el tiempo de subida del 10% al 90% es proporcional a la constante de tiempo de la red τ = L ⁄ R . La prueba formal de esta afirmación procede exactamente como se mostró en la sección anterior: la única diferencia entre las expresiones finales para el tiempo de subida se debe a la diferencia en las expresiones para la constante de tiempo τ de los dos circuitos diferentes, lo que conduce en el presente caso al siguiente resultado

t r = τ ⋅ ln ⁡ 9 = L R ⋅ ln ⁡ 9 ≅ L R ⋅ 2.197 {\displaystyle t_{r}=\tau \cdot \ln 9={\frac {L}{R}}\cdot \ln 9\cong {\frac {L}{R}}\cdot 2.197}

Tiempo de subida de sistemas amortiguados de segundo orden

Según Levine (1996, p. 158), para los sistemas subamortiguados utilizados en la teoría de control, el tiempo de subida se define comúnmente como el tiempo que tarda una forma de onda en pasar del 0% al 100% de su valor final: [6] en consecuencia, el tiempo de subida del 0 al 100% de un sistema subamortiguado de segundo orden tiene la siguiente forma: [21]

t r ⋅ ω 0 = 1 1 − ζ 2 [ π − tan − 1 ⁡ ( 1 − ζ 2 ζ ) ] {\displaystyle t_{r}\cdot \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\left[\pi -\tan ^{-1}\left({\frac {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}{\zeta }}\right)\right]}

La aproximación cuadrática para el tiempo de subida normalizado para un sistema de segundo orden, respuesta escalonada y sin ceros es:

t r ⋅ ω 0 = 2.230 ζ 2 − 0.078 ζ + 1.12 {\displaystyle t_{r}\cdot \omega _{0}=2.230\zeta ^{2}-0.078\zeta +1.12}

donde ζ es el coeficiente de amortiguamiento y ω 0 es la frecuencia natural de la red.

Tiempo de subida de bloques en cascada

Consideremos un sistema compuesto por n bloques en cascada que no interactúan, cada uno con un tiempo de subida t r i , i = 1,…, n , y sin sobreimpulso en su respuesta al escalón : supongamos también que la señal de entrada del primer bloque tiene un tiempo de subida cuyo valor es t r S . [22] Después, su señal de salida tiene un tiempo de subida t r 0 igual a

t r O = t r S 2 + t r 1 2 + ⋯ + t r n 2 {\displaystyle t_{r_{O}}={\sqrt {t_{r_{S}}^{2}+t_{r_{1}}^{2}+\dots +t_{r_{n}}^{2}}}}

Según Valley y Wallman (1948, pp. 77-78), este resultado es una consecuencia del teorema del límite central y fue demostrado por Wallman (1950): [23] [24] sin embargo, un análisis detallado del problema es presentado por Petitt y McWhorter (1961, §4-9, pp. 107-115), [25] quienes también acreditan a Elmore (1948) como el primero en demostrar la fórmula anterior sobre una base algo rigurosa. [26]

Véase también

Notas

  1. ^ "tiempo de subida", Norma Federal 1037C , 7 de agosto de 1996
  2. ^ Véase, por ejemplo, (Cherry y Hooper 1968, pág. 6 y pág. 306), (Millman y Taub 1965, pág. 44) y (Nise 2011, pág. 167).
  3. ^ Véase, por ejemplo, Levine (1996, pág. 158), (Ogata 2010, pág. 170) y (Valley y Wallman 1948, pág. 72).
  4. ^ Véase, por ejemplo, (Cherry y Hooper 1968, pág. 6 y pág. 306), (Millman y Taub 1965, pág. 44) y (Valley y Wallman 1948, pág. 72).
  5. ^ Por ejemplo, Valley y Wallman (1948, pág. 72, nota al pie 1) afirman que " Para algunas aplicaciones es deseable medir el tiempo de subida entre los puntos del 5 y el 95 por ciento o entre el 1 y el 99 por ciento ".
  6. ^ ab Precisamente, Levine (1996, p. 158) afirma: " El tiempo de subida es el tiempo requerido para que la respuesta suba de x% a y% de su valor final. Para sistemas de segundo orden sobreamortiguados , normalmente se utiliza el tiempo de subida de 0% a 100%, y para sistemas subamortiguados (...) se utiliza comúnmente el tiempo de subida de 10% a 90% ". Sin embargo, esta afirmación es incorrecta ya que el tiempo de subida de 0%–100% para un sistema de control de segundo orden sobreamortiguado es infinito, de manera similar al de una red RC: esta afirmación se repite también en la segunda edición del libro (Levine 2011, p. 9-3 (313)).
  7. ^ De nuevo según Orwiler (1969, p. 22).
  8. ^ Según Valley & Wallman (1948, p. 72), " Las características más importantes de la reproducción de un borde de entrada de un pulso rectangular o función escalonada son el tiempo de subida, medido habitualmente entre el 10 y el 90 por ciento, y el " sobreimpulso " . Y según Cherry & Hooper (1968, p. 306), " Los dos parámetros más significativos en la respuesta de onda cuadrada de un amplificador son su tiempo de subida y su porcentaje de inclinación ".
  9. ^ Véase (Orwiler 1969, págs. 27-29) y la sección "Tiempo de subida de bloques en cascada".
  10. ^ Véase, por ejemplo, (Valley y Wallman 1948, pág. 73), (Orwiler 1969, pág. 22 y pág. 30) o la sección "Red RC de paso bajo de una etapa".
  11. ^ Véase (Valley y Wallman 1948, pág. 72, nota al pie 1) y (Elmore 1948, pág. 56).
  12. ^ Véase (Valley y Wallman 1948, pág. 72, nota al pie 1) y (Elmore 1948, pág. 56 y pág. 57, fig. 2a).
  13. ^ Véase también (Petitt y McWhorter 1961, págs. 109-111).
  14. ^ Véase (Valley y Wallman 1948, pág. 724) y (Petitt y McWhorter 1961, pág. 122).
  15. ^ Según el criterio de Paley-Wiener : véase, por ejemplo, Valley y Wallman (1948, pág. 721 y pág. 724). Petitt y McWhorter (1961, pág. 122) también recuerdan brevemente este hecho.
  16. ^ Véase (Valley y Wallman 1948, pág. 724), (Petitt y McWhorter 1961, pág. 111, incluida la nota al pie 1, y pág.) y (Orwiler 1969, pág. 30).
  17. ^ ab Comparar con (Orwiler 1969, pág. 30).
  18. ^ También llamado " filtro unipolar ". Véase (Cherry & Hooper 1968, p. 639).
  19. ^ Compárese con (Valley y Wallman 1948, pág. 72, fórmula (2)), (Cherry y Hooper 1968, pág. 639, fórmula (13.3)) o (Orwiler 1969, pág. 22 y pág. 30).
  20. ^ Consulte la sección " Relación de la constante de tiempo con el ancho de banda " de la entrada " Constante de tiempo " para obtener una prueba formal de esta relación.
  21. ^ Véase (Ogata 2010, pág. 171).
  22. ^ " S " significa "fuente", entendiendo por tal tanto fuente de corriente o de voltaje .
  23. ^ Este hermoso artículo de una página no contiene ningún cálculo. Henry Wallman simplemente establece una tabla que él llama " diccionario ", que establece un paralelismo entre conceptos de ingeniería electrónica y teoría de la probabilidad : la clave del proceso es el uso de la transformada de Laplace . Luego señala, siguiendo la correspondencia de conceptos establecida por el " diccionario ", que la respuesta al escalón de una cascada de bloques corresponde al teorema del límite central y afirma que: "Esto tiene importantes consecuencias prácticas, entre ellas el hecho de que si una red está libre de sobreimpulsos, su tiempo de respuesta aumenta inevitablemente rápidamente al conectarse en cascada, es decir, como la raíz cuadrada del número de redes conectadas en cascada" (Wallman 1950, p. 91).
  24. ^ Véase también (Cherry y Hooper 1968, pág. 656) y (Orwiler 1969, págs. 27-28).
  25. ^ Citado por (Cherry & Hooper 1968, pág. 656).
  26. ^ Véase (Petitt y McWhorter 1961, pág. 109).

Referencias

  • Cherry, EM; Hooper, DE (1968), Dispositivos amplificadores y diseño de amplificadores de paso bajo , Nueva York–Londres– Sidney : John Wiley & Sons , págs. xxxii+1036.
  • Elmore, William C. (enero de 1948), "La respuesta transitoria de redes lineales amortiguadas con especial atención a los amplificadores de banda ancha", Journal of Applied Physics , 19 (1): 55–63, Bibcode :1948JAP....19...55E, doi : 10.1063/1.1697872.
  • Levine, William S. (1996), El manual de control , Boca Raton, FL : CRC Press , págs. xvi+1548, ISBN 0-8493-8570-9.
  • Levine, William S. (2011) [1996], The Control Handbook: Control Systems Fundamentals (2.ª ed.), Boca Raton, FL : CRC Press , págs. xx+766, ISBN 978-1-4200-7362-1.
  • Millman, Jacob; Taub, Herbert (1965), Formas de onda de pulso, digitales y de conmutación , Nueva York – St. Louis – San Francisco – Toronto – Londres – Sydney : McGraw-Hill , pp. xiv+958.
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  • Nise, Norman S. (2011), Ingeniería de sistemas de control (6.ª ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , págs. xviii+928, ISBN 978-0470-91769-5.
  • Ogata, Katsuhiko (2010) [1970], Ingeniería de control moderna (5.ª ed.), Englewood Cliffs, NJ : Prentice Hall , págs. x+894, ISBN 978-0-13-615673-4.
  • Orwiler, Bob (diciembre de 1969), Circuitos amplificadores verticales (PDF) , Circuit Concepts, vol. 062-1145-00 (1.ª ed.), Beaverton, OR : Tektronix , pág. 461.
  • Petitt, Joseph Mayo ; McWhorter, Malcolm Myers (1961), Circuitos amplificadores electrónicos. Teoría y diseño , McGraw-Hill Electrical and Electronics Series, Nueva York–Toronto–Londres: McGraw-Hill , págs. xiii+325.
  • Valley, George E. Jr.; Wallman, Henry (1948), "§2 del capítulo 2 y §1–7 del capítulo 7", Amplificadores de tubo de vacío , MIT Radiation Laboratory Series, vol. 18, Nueva York : McGraw-Hill , pp. xvii+743.
  • Wallman, Henry (1950), "Respuesta transitoria y el teorema del límite central de probabilidad", en Taub, AH (ed.), Electromagnetic Theory (Massachusetts Institute of Technology, 29-31 de julio de 1948) , Proceedings of Symposia in Applied Mathematics, vol. 2, Providence : American Mathematical Society , pág. 91, MR  0034250, Zbl  0035.08102.
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