Teorema de Napoleón

En geometría , el teorema de Napoleón establece que si se construyen triángulos equiláteros en los lados de cualquier triángulo , ya sean todos externos o todos internos, las líneas que conectan los centros de esos triángulos equiláteros forman un triángulo equilátero.

El triángulo así formado se llama triángulo Napoleón interior o exterior . La diferencia entre las áreas de los triángulos Napoleón exterior e interior es igual al área del triángulo original.

El teorema se atribuye a menudo a Napoleón Bonaparte (1769-1821). Algunos han sugerido que puede remontarse a la pregunta de 1825 de W. Rutherford publicada en The Ladies' Diary , cuatro años después de la muerte del emperador francés, ^{[1] [2]} pero el resultado está incluido en tres preguntas planteadas en un examen para una Medalla de Oro en la Universidad de Dublín en octubre de 1820, mientras que Napoleón murió en mayo del año siguiente.

En la figura anterior, △ ABC es el triángulo original. △ AZB , △ BXC , △ CYA son triángulos equiláteros construidos sobre los lados exteriores, y los puntos L, M, N son los centroides de esos triángulos. El teorema para los triángulos exteriores establece que el triángulo △ LMN ( verde ) es equilátero.

Una forma rápida de ver que △ LMN es equilátero es observar que MN se convierte en CZ bajo una rotación en sentido horario de 30° alrededor de A y una homotecia de razón ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ con el mismo centro, y que LN también se convierte en CZ después de una rotación en sentido antihorario de 30° alrededor de B y una homotecia de razón ⁠ ⁠ con el mismo centro. Las ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$similitudes espirales respectivas ^[3] son ​​⁠ ⁠${\displaystyle A({\sqrt {3}},-30^{\circ }),\ B({\sqrt {3}},30^{\circ }).}$ Eso implica que MN = LN y el ángulo entre ellos debe ser de 60°. ^[4]

De hecho, hay muchas pruebas del enunciado del teorema, incluyendo una sintética (sin coordenadas) , ^[5] una trigonométrica , ^[6] un enfoque basado en la simetría , ^[7] y pruebas que utilizan números complejos . ^[6]

El teorema se ha atribuido con frecuencia a Napoleón, pero se han escrito varios artículos sobre este tema ^{[8] [9]} que ponen en duda esta afirmación (véase (Grünbaum 2012)).

La siguiente entrada apareció en la página 47 del Ladies' Diary de 1825 (es decir, a fines de 1824, aproximadamente un año después de la compilación de los exámenes de Dublín). Se trata de una de las primeras apariciones impresas del teorema de Napoleón, y no se menciona su nombre.

VII. Búsqueda.(1439); por el Sr. W. Rutherford, Woodburn.

"Describe triángulos equiláteros (cuyos vértices sean todos exteriores o todos interiores) sobre los tres lados de cualquier triángulo △ ABC : entonces las líneas que unen los centros de gravedad de esos tres triángulos equiláteros constituirán un triángulo equilátero. Se requiere una demostración."

Como William Rutherford era un matemático muy capaz, se desconoce el motivo por el que solicitó una demostración de un teorema que seguramente él mismo podría haber demostrado. Tal vez planteó la pregunta como un desafío a sus colegas, o tal vez esperaba que las respuestas dieran lugar a una solución más elegante. Sin embargo, de la lectura de los sucesivos números del Ladies' Diary en la década de 1820 se desprende claramente que el editor tenía como objetivo incluir un conjunto variado de preguntas cada año, algunas de ellas adecuadas para el ejercicio de los principiantes.

Es evidente que no hay ninguna referencia a Napoleón ni en la pregunta ni en las respuestas publicadas, que aparecieron un año después, en 1826, aunque el editor evidentemente omitió algunas propuestas. Además, el propio Rutherford no aparece entre los solucionadores nombrados después de las soluciones impresas, aunque del recuento de unas páginas antes es evidente que envió una solución, al igual que varios de sus alumnos y asociados en la Escuela Woodburn, incluida la primera de las soluciones publicadas. De hecho, el Grupo de Solución de Problemas de Woodburn, como podría conocerse hoy, era lo suficientemente conocido en ese entonces como para ser mencionado en A Historical, Geographical, and Descriptive View of the County of Northumberland ... (2.ª ed. Vo. II, págs. 123-124). Se había pensado que la primera referencia conocida a este resultado como el teorema de Napoleón aparece en la 17.ª edición de Elementi di Geometria de Faifofer publicada en 1911, ^[10] aunque Faifofer en realidad menciona a Napoleón en ediciones algo anteriores. Pero esto es discutible porque encontramos a Napoleón mencionado por su nombre en este contexto en una enciclopedia de 1867. Lo que es de mayor interés histórico en lo que respecta a Faifofer es el problema que había estado usando en ediciones anteriores: un problema clásico sobre la circunscripción del mayor triángulo equilátero alrededor de un triángulo dado que Thomas Moss había planteado en el Ladies Diary en 1754, en cuya solución por William Bevil al año siguiente podríamos reconocer fácilmente el germen del Teorema de Napoleón - los dos resultados entonces corren juntos, de ida y vuelta durante al menos los siguientes cien años en las páginas de problemas de los almanaques populares: cuando Honsberger propuso en Mathematical Gems en 1973 lo que pensó que era una novedad propia, en realidad estaba recapitulando parte de esta vasta, aunque informal, literatura.

Tal vez sea bueno recordar que una variante popular de la proposición pitagórica, en la que los cuadrados se colocan en los bordes de los triángulos, era colocar triángulos equiláteros en los bordes de los triángulos: ¿podría hacerse con triángulos equiláteros lo que se podía hacer con los cuadrados? Por ejemplo, en el caso de los triángulos rectángulos, ¿seccionar el de la hipotenusa en los de los catetos? Así como los autores volvieron repetidamente a considerar otras propiedades del molino de viento de Euclides o de la silla de la novia, la figura equivalente con triángulos equiláteros en lugar de cuadrados atrajo -y recibió- atención. Tal vez el esfuerzo más majestuoso en este sentido sea la Prize Question de William Mason en el Lady's and Gentleman's Diary de 1864, cuyas soluciones y comentarios al año siguiente ocupan unas quince páginas. Para entonces, este venerable lugar en particular (que comenzó en 1704 para el Ladies' Diary y en 1741 para el Gentleman's Diary ) estaba en sus últimas, pero problemas de este tipo continuaron en Educational Times hasta principios del siglo XX.

En el examen de Geometría, preparado para la segunda mañana de exámenes para los candidatos a la Medalla de Oro en el Examen General de la Universidad de Dublín en octubre de 1820, aparecen los tres problemas siguientes.

Pregunta 10. Se construyen así tres triángulos equiláteros sobre los lados de un triángulo dado, A, B, D , las líneas que unen sus centros, C, C', C" forman un triángulo equilátero. [El diagrama adjunto muestra los triángulos equiláteros colocados hacia afuera.]

Pregunta 11. Si los tres triángulos equiláteros se construyen como en la última figura, las líneas que unen sus centros también formarán un triángulo equilátero. [El diagrama adjunto muestra los triángulos equiláteros colocados hacia adentro.]

Pregunta 12. Investigar la relación entre el área del triángulo dado y las áreas de estos dos triángulos equiláteros.

Estos problemas se registran en

• Problemas de Dublín: una colección de preguntas propuestas a los candidatos a la medalla de oro en los exámenes generales, desde 1816 hasta 1822 inclusive. A la que sigue un relato del examen de beca, en 1823 (G. y WB Whittaker, Londres, 1823) ^[11]

La pregunta 1249 del Gentleman's Diary; or Mathematical Repository for 1829 (que aparece a fines de 1828) retoma el tema y las soluciones aparecen en el número del año siguiente. Uno de los solucionadores, TS Davies , generalizó el resultado en la pregunta 1265 de ese año y presentó su propia solución al año siguiente, basándose en un artículo que ya había contribuido a la Philosophical Magazine en 1826. No hay referencias cruzadas en este material con el descrito anteriormente. Sin embargo, hay varios elementos de interés afín en las páginas de problemas de los almanaques populares que se remontan al menos a mediados de la década de 1750 (Moss) y continúan hasta mediados de la década de 1860 (Mason), como se mencionó anteriormente.

Resulta que el nombre de Napoleón se menciona en relación con este resultado en nada menos que una obra de referencia como la Enciclopedia de Chambers ya en 1867 (Vol. IX, hacia el final de la entrada sobre triángulos).

Otra propiedad notable de los triángulos, conocida como el problema de Napoleón, es la siguiente: si en cualquier triángulo se describen tres triángulos equiláteros y se unen los centros de gravedad de estos tres, el triángulo así formado es equilátero y tiene su centro de gravedad coincidente con el del triángulo original. ^[12]

Pero el resultado apareció, con pruebas, en un libro de texto al menos en 1834 ( Euclides de James Thomson , pp. 255-256 ^[13] ). En una nota final (p. 372), Thomason añade:

No he encontrado esta curiosa proposición, excepto en los Problemas de Dublín, publicados en 1823, donde se inserta sin demostración.

En la segunda edición (1837), Thomson amplió la nota final aportando pruebas de un exalumno de Belfast:

Lo que sigue es un bosquejo de una demostración muy fácil y clara realizada por el Sr. Adam D. Glasgow de Belfast, un antiguo alumno mío de gran gusto y talento para las actividades matemáticas:

Así, Thomson no parece estar al tanto de la aparición del problema en el Ladies' Diary de 1825 ni en el Gentleman's Diary de 1829 (así como JS Mackay permanecería inconsciente de la última aparición, con su cita de los Problemas de Dublín, mientras que tomó nota de la primera; los lectores del American Mathematical Monthly tienen un enlace a la Pregunta 1249 en el Gentleman's Diary de RC Archibald en el número de enero de 1920, pág. 41, nota al pie 7, aunque la primera solución publicada en el Ladies' Diary de 1826 muestra que incluso Archibald no era omnisciente en cuestiones de prioridad).

Los centros de los triángulos Napoleón, tanto interior como exterior, coinciden con el centroide del triángulo original. Esta coincidencia fue notada en la Enciclopedia de Chambers en 1867, como se cita arriba. La entrada allí no está firmada. PG Tait , entonces profesor de Filosofía Natural en la Universidad de Edimburgo, figura entre los contribuyentes, pero JU Hillhouse, tutor de matemáticas también en la Universidad de Edimburgo, aparece entre otros caballeros literarios conectados durante períodos más o menos largos con el personal regular de la Enciclopedia. Sin embargo, en la Sección 189(e) de Un tratado elemental sobre cuaterniones , ^[14] también en 1867, Tait trata el problema (en efecto, haciéndose eco de las observaciones de Davies en el Diario del caballero en 1831 con respecto a la pregunta 1265, pero ahora en el contexto de los cuaterniones):

Si se trazan perpendiculares hacia el exterior en los puntos medios de los lados de un triángulo, cada una de las cuales es proporcional al lado correspondiente, el punto medio de sus extremos coincide con el del triángulo original. Halla la razón entre cada perpendicular y la mitad del lado correspondiente del triángulo antiguo para que el nuevo triángulo sea equilátero.

Tait concluye que los puntos medios de los triángulos equiláteros erigidos hacia afuera sobre los lados de cualquier triángulo forman un triángulo equilátero. El análisis se mantiene en ediciones posteriores de 1873 y 1890, así como en su Introducción a los cuaterniones ^[15], escrita en conjunto con Philip Kelland en 1873.

El área del triángulo Napoleón interior de un triángulo con área △ es

$${\displaystyle {\text{Área(interior)}}=-{\frac {\triángulo }{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{24}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 0,}$$

donde a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo original, siendo iguales sólo en el caso en que el triángulo original sea equilátero, por la desigualdad de Weitzenböck . Sin embargo, desde un punto de vista algebraico ^[16] el triángulo interior es "retrógrado" y su área algebraica es el negativo de esta expresión. ^[17]

El área del triángulo exterior de Napoleón es ^[18]

$${\displaystyle {\text{Área(exterior)}}={\frac {\triángulo }{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{24}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}$$

Analíticamente , se puede demostrar ^[6] que cada uno de los tres lados del triángulo exterior de Napoleón tiene una longitud de$${\displaystyle {\text{Lado(exterior)}}={\sqrt {{a^{2}+b^{2}+c^{2} \sobre 6}+{{\sqrt {(a+b+c)(a+bc)(a-b+c)(-a+b+c)}} \sobre {2{\sqrt {3}}}}}}.}$$

La relación entre las dos últimas ecuaciones es que el área de un triángulo equilátero es igual al cuadrado del lado multiplicado por${\displaystyle {\sqrt {3}}/4.}$

Si se erigen triángulos isósceles con ángulos en los vértices ⁠ ⁠ sobre los lados de un ${\displaystyle {\tfrac {2k\pi }{n}}}$n -gono arbitrario A ₀ , y si se repite este proceso con el n -gono formado por los vértices libres de los triángulos, pero con un valor diferente de k , y así sucesivamente hasta que se hayan utilizado todos los valores 1 ≤ k ≤ n − 2 (en orden arbitrario), entonces se forma un n -gono regular A _{n −2} cuyo centroide coincide con el centroide de A ₀ . ^[19]

Los centros de n -gonos regulares construidos sobre los lados de un n -gono P forman un n -gono regular si y sólo si P es una imagen afín de un n -gono regular. ^{[20] [21]}

Dado un hexágono A ₁ A ₂ A ₃ A ₄ A ₅ A ₆ con triángulos equiláteros construidos en los lados, ya sea hacia adentro o hacia afuera, y los vértices de los triángulos equiláteros etiquetados B _i . Si G ₁ , G ₃ , G ₅ son los respectivos centroides de △ B ₆ B ₁ B ₂ , △ B ₂ B ₃ B ₄ , △ B ₄ B ₅ B ₆ , entonces G ₁ , G ₃ , G ₅ forman un triángulo equilátero. ^[22]

Primera generalización de Dao : Dado un hexágono ABCDEF con ∆ equiláteros ABG, DHC, IEF construidos en los lados alternos AB, CD y EF, ya sea hacia dentro o hacia fuera. Sean A ₁ , B ₁ , C ₁ los centroides de ∆FGC, ∆BHE y ∆DIA respectivamente, sean A ₂ , B ₂ , C ₂ los centroides de ∆DGE, ∆AHF y ∆BIC respectivamente. Entonces ∆A ₁ B ₁ C ₁ y ∆A ₂ B ₂ C ₂ son triángulos equiláteros. ^[23] (Si, por ejemplo, dejamos que los puntos A y F coincidan, así como B y C, y D y E, entonces el resultado de Dao Than Oai se reduce al teorema de Napoleón).

Segunda generalización de Dao : Sea el triángulo , construya tres triángulos isósceles semejantes BA ₀ C, CB ₀ A, AC ₀ B, ya sea todos hacia afuera o todos hacia adentro con ángulos de base . Sean los puntos A ₁ , B ₁ , C ₁ , A ₂ , B ₂ ,C ₂ que se encuentran en un rayo tal que: y${\estilo de visualización ABC}$ ${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle {\overrightarrow {AA_{0}}},{\overrightarrow {BB_{0}}},{\overrightarrow {CC_{0}}}}$${\displaystyle {\frac {\overline {AA_{1}}}{\overline {AA_{0}}}}={\frac {\overline {BB_{1}}}{\overline {BB_{0}} }}={\frac {\overline {CC_{1}}}{\overline {CC_{0}}}}={\frac {2}{3-{\sqrt {3}}\tan \alpha }} }$${\displaystyle {\frac {\overline {AA_{2}}}{\overline {AA_{0}}}}={\frac {\overline {BB_{2}}}{\overline {BB_{0}}}}={\frac {\overline {CC_{2}}}{\overline {CC_{0}}}}={\frac {2}{3+{\sqrt {3}}\tan \alpha }}}$

Entonces dos triángulos A ₁ B ₁ C ₁ y A ₂ B ₂ C ₂ son triángulos equiláteros ^[24]

Tercera generalización de Dao : Sea ABC un triángulo con F como el primer (o segundo) punto de Fermat , sea K un punto arbitrario en la hipérbola de Kiepert . Sea P un punto arbitrario en la línea FK . La línea que pasa por P y es perpendicular a BC corta a AK en A _0. Definamos B ₀ , C ₀ cíclicamente, entonces A ₀ B ₀ C ₀ es un triángulo equilátero . ^[25]

• Napoleón señala
• El problema de Lemoine
• El problema de Napoleón
• Teorema de Van Aubel

• Coxeter, HSM ; Greitzer, SL (1967). Geometry Revisited . Nueva Biblioteca Matemática . Vol. 19. Washington, DC : Asociación Matemática de Estados Unidos . págs. 60–65. ISBN 978-0-88385-619-2.Zbl 0166.16402  .
• Grünbaum, Branko (2012), "¿Es el teorema de Napoleón realmente el teorema de Napoleón?", American Mathematical Monthly , 119 (6): 495–501, doi :10.4169/amer.math.monthly.119.06.495, S2CID  42928783, Zbl  1264.01010
• Wetzel, John E. (abril de 1992). "Converses of Napoleon's Theorem" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 99 (4): 339–351. doi :10.2307/2324901. JSTOR  2324901. Zbl  1264.01010. Archivado desde el original (PDF) el 29 de abril de 2014.

Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Teorema de Napoleón .

• El teorema de Napoleón y sus generalizaciones en Cut-the-Knot
• Para ver la construcción, en instrumenpoche
• Teorema de Napoleón de Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project .
• Weisstein, Eric W. "Teorema de Napoleón". MathWorld .
• Teorema de Napoleón y algunas generalizaciones, variaciones y recíprocas en Dynamic Geometry Sketches
• Teorema de Napoleón: dos demostraciones sencillas
• Sucesiones infinitas de hexágonos regulares en un triángulo (generalización del teorema de Napoleón) por Alvy Ray Smith .
• Generalización del teorema de Napoleón: triángulos semejantes

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