Teorema de Golod-Shafarevich

En matemáticas , el teorema de Golod-Shafarevich fue demostrado en 1964 por Evgeny Golod e Igor Shafarevich . Es un resultado del álgebra homológica no conmutativa que resuelve el problema de la torre de campos de clases , al demostrar que las torres de campos de clases pueden ser infinitas.

Sea A = K ⟨ x ₁ , ..., x _n ⟩ el álgebra libre sobre un cuerpo K en n = d  + 1 variables no conmutantes x _i .

Sea J el ideal bilateral de A generado por elementos homogéneos f _j de A de grado d _j con

2 _≤ d1 _≤ d2 ≤ ...

donde d _j tiende a infinito. Sea r _i el número de d _j igual a i .

Sea B = A / J , un álgebra graduada . Sea b _j = dim B _j .

La desigualdad fundamental de Golod y Shafarevich establece que

${\displaystyle b_{j}\geq nb_{j-1}-\sum _{i=2}^{j}b_{ji}r_{i}.}$

Como consecuencia:

• B es de dimensión infinita si r _i ≤ d ² /4 para todo i

Este resultado tiene aplicaciones importantes en la teoría de grupos combinatorios :

• Si G es un p-grupo finito no trivial , entonces r > d ² /4 donde d = dim  H ¹ ( G , Z / p Z ) y r = dim  H ² ( G , Z / p Z ) (los grupos de cohomología mod p de G ). En particular, si G es un p-grupo finito con un número mínimo de generadores d y tiene r relatores en una presentación dada, entonces r > d ² /4.
• Para cada primo p , existe un grupo infinito G generado por tres elementos en el que cada elemento tiene orden de potencia de p . El grupo G proporciona un contraejemplo a la conjetura generalizada de Burnside : es un grupo de torsión infinito finitamente generado , aunque no existe un límite uniforme en el orden de sus elementos.

En la teoría de campos de clases , la torre de campos de clases de un cuerpo numérico K se crea iterando la construcción de campos de clases de Hilbert . El problema de la torre de campos de clases pregunta si esta torre es siempre finita; Hasse (1926) atribuyó esta pregunta a Furtwangler, aunque Furtwangler dijo que la había escuchado de Schreier. Otra consecuencia del teorema de Golod-Shafarevich es que tales torres pueden ser infinitas (en otras palabras, no siempre terminan en un cuerpo igual a su cuerpo de clase de Hilbert ). Específicamente,

• Sea K un cuerpo cuadrático imaginario cuyo discriminante tiene al menos 6 factores primos. Entonces la 2-extensión no ramificada máxima de K tiene grado infinito.

De manera más general, un campo numérico con suficientes factores primos en el discriminante tiene una torre de campo de clase infinita.

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• Hasse, Helmut (1926), "Bericht über neuere Unterschungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper.", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 35 , Göttingen: Teubner
• Golod, ES (1964), "Sobre álgebras nulas y grupos p finitamente aproximables", Izv. Akád. Nauk SSSR , 28 : 273–276(en ruso ) MR 0161878
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• Johnson, DL (1980). "Temas de la teoría de las presentaciones grupales" (1.ª ed.). Cambridge University Press . ISBN 0-521-23108-6 . Véase el capítulo VI. 
• Koch, Helmut (1997). Teoría algebraica de números . Encycl. Math. Sci. Vol. 62 (segunda edición de la primera edición). Springer-Verlag . pág. 180. ISBN. 3-540-63003-1.Zbl 0819.11044  .
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