El problema de Brocard

En matemáticas, ¿cuándo n!+1 es un cuadrado?

Problema sin resolver en matemáticas :

¿ Tiene soluciones enteras distintas de ?

estilo de visualización n!+1=m^{2}}

{\estilo de visualización n=4,5,7}

(más problemas sin resolver en matemáticas)

El problema de Brocard es un problema matemático que busca valores enteros de tales que sea un cuadrado perfecto, donde es el factorial . Solo se conocen tres valores de —4, 5, 7— y no se sabe si hay más. ${\estilo de visualización n}$ ${\estilo de visualización n!+1}$ ${\estilo de visualización n!}$ ${\estilo de visualización n}$

Más formalmente, busca pares de números enteros y tales que El problema fue planteado por Henri Brocard en un par de artículos en 1876 y 1885, ^[1]^[2] e independientemente en 1913 por Srinivasa Ramanujan . ^[3] ${\estilo de visualización n}$ ${\estilo de visualización m}$ $n!+1=m^{2}.$

Números marrones

Los pares de números que resuelven el problema de Brocard fueron denominados números Brown por Clifford A. Pickover en su libro de 1995 Keys to Infinity , después de enterarse del problema de Kevin S. Brown. ^[4] A partir de octubre de 2022, solo hay tres pares conocidos de números Brown: ${\estilo de visualización (n,m)}$

(4,5), (5,11) y (7,71),

basado en las igualdades

4! + 1 = 5 ² = 25,

5! + 1 = 11 ² = 121, y

7! + 1 = 71 ² = 5041.

Paul Erdős conjeturó que no existen otras soluciones. Las búsquedas computacionales de hasta un cuatrillón no han encontrado más soluciones. ^[5]^[6]^[7]

Conexión con la conjetura abc

De la conjetura abc se deduciría que sólo hay un número finito de números de Brown. ^[8] De manera más general, también se deduciría de la conjetura abc que sólo tiene un número finito de soluciones, para cualquier entero dado , ^[9] y que sólo tiene un número finito de soluciones enteras, para cualquier polinomio dado de grado al menos 2 con coeficientes enteros. ^[10] $n!+A=k^{2}$ ${\estilo de visualización A}$ $n!=P(x)$ ${\estilo de visualización P(x)}$

Referencias

^ Brocard, H. (1876), "Pregunta 166", Nouv. Corres. Matemáticas. , 2 : 287
^ Brocard, H. (1885), "Pregunta 1532", Nouv. Ana. Matemáticas. , 4 : 391
^ Ramanujan, Srinivasa (2000), "Pregunta 469", en Hardy, GH; Aiyar, PV Seshu; Wilson, BM (eds.), Documentos recopilados de Srinivasa Ramanujan , Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, pág. 327, ISBN 0-8218-2076-1, Sr. 2280843
^ Pickover, Clifford A. (1995), Claves del infinito , John Wiley & Sons, pág. 170
^ Berndt, Bruce C.; Galway, William F. (2000), "Sobre la ecuación diofantina de Brocard-Ramanujan n! + 1 = m2" (PDF) , Ramanujan Journal , 4 (1): 41–42, doi :10.1023/A:1009873805276, MR 1754629 , S2CID 119711158
^ Matson, Robert (2017), "Búsqueda de soluciones del problema 4 de Brocard utilizando residuos cuadráticos" (PDF) , Problemas sin resolver en teoría de números, lógica y criptografía , archivado desde el original (PDF) el 2018-10-06 , consultado el 2017-05-07
^ Epstein, Andrew; Glickman, Jacob (2020), Repositorio de GitHub de C++ Brocard
^ Overholt, Marius (1993), "La ecuación diofántica $n$ $! + 1 = m$ $2$ ", The Bulletin of the London Mathematical Society , 25 (2): 104, doi :10.1112/blms/25.2.104, MR 1204060
^ Dąbrowski, Andrzej (1996), "Sobre la ecuación diofántica $x$ $! + A =$ $y$ $2$ ", Nieuw Archief voor Wiskunde , 14 (3): 321–324, MR 1430045
^ Luca, Florian (2002), "La ecuación diofántica P(x) = n! y un resultado de M. Overholt" (PDF) , Glasnik Matematički , 37(57) (2): 269–273, MR 1951531

Lectura adicional

Guy, RK (2004), "D25: Ecuaciones que involucran factorial ", Problemas sin resolver en teoría de números (3.ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag, págs. 301–302 ${\estilo de visualización n}$

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. , "El problema de Brocard" ("Números marrones") en MathWorld .
Copeland, Ed, "Brown Numbers", Numberphile , Brady Haran , archivado desde el original el 2014-11-09 , consultado el 2013-04-06

[broc1-1] Brocard, H. (1876), "Pregunta 166", Nouv. Corres. Matemáticas. , 2 : 287

[broc2-2] Brocard, H. (1885), "Pregunta 1532", Nouv. Ana. Matemáticas. , 4 : 391

[ramanujan-3] Ramanujan, Srinivasa (2000), "Pregunta 469", en Hardy, GH; Aiyar, PV Seshu; Wilson, BM (eds.), Documentos recopilados de Srinivasa Ramanujan , Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, pág. 327, ISBN 0-8218-2076-1, Sr. 2280843

[pickover-4] Pickover, Clifford A. (1995), Claves del infinito , John Wiley & Sons, pág. 170

[bergal-5] Berndt, Bruce C.; Galway, William F. (2000), "Sobre la ecuación diofantina de Brocard-Ramanujan n! + 1 = m2" (PDF) , Ramanujan Journal , 4 (1): 41–42, doi :10.1023/A:1009873805276, MR 1754629 , S2CID 119711158

[matson-6] Matson, Robert (2017), "Búsqueda de soluciones del problema 4 de Brocard utilizando residuos cuadráticos" (PDF) , Problemas sin resolver en teoría de números, lógica y criptografía , archivado desde el original (PDF) el 2018-10-06 , consultado el 2017-05-07

[epsgli-7] Epstein, Andrew; Glickman, Jacob (2020), Repositorio de GitHub de C++ Brocard

[overholt-8] Overholt, Marius (1993), "La ecuación diofántica $n$ $! + 1 = m$ $2$ ", The Bulletin of the London Mathematical Society , 25 (2): 104, doi :10.1112/blms/25.2.104, MR 1204060

[dabrowski-9] Dąbrowski, Andrzej (1996), "Sobre la ecuación diofántica $x$ $! + A =$ $y$ $2$ ", Nieuw Archief voor Wiskunde , 14 (3): 321–324, MR 1430045

[luca-10] Luca, Florian (2002), "La ecuación diofántica P(x) = n! y un resultado de M. Overholt" (PDF) , Glasnik Matematički , 37(57) (2): 269–273, MR 1951531