Nudo de trébol

Trébol
Nombre común	Nudo simple
Invariante de Arf	1
Longitud de la trenza	3
Trenza no.	2
Puente núm.	2
Tapa transversal n.º	1
Cruce no.	3
Género	1
Volumen hiperbólico	0
Palo n.º	6
Túnel núm.	1
Desanudando no.	1
Notación de Conway	[3]
Notación A–B	3 1
Notación de Dowker	4, 6, 2
Último /  Siguiente	0 1 /  4 1
Otro
alternante , toro , fibroso , pretzel , principal , rebanada de nudo , reversible , tricolor , torcido

En la teoría de nudos , una rama de las matemáticas , el nudo trébol es el ejemplo más simple de un nudo no trivial . El nudo trébol se puede obtener uniendo los dos extremos sueltos de un nudo simple común, lo que da como resultado un bucle anudado . Como el nudo más simple, el trébol es fundamental para el estudio de la teoría matemática de nudos.

El nudo de trébol recibe su nombre de la planta de trébol de tres hojas.

El nudo trilobulado se puede definir como la curva obtenida a partir de las siguientes ecuaciones paramétricas :

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sin t+2\sin 2t\\y&=\cos t-2\cos 2t\\z&=-\sin 3t\end{aligned}}}$

El nudo toroidal (2,3) también es un nudo de trébol. Las siguientes ecuaciones paramétricas dan un nudo toroidal (2,3) que se encuentra sobre un toro :${\displaystyle (r-2)^{2}+z^{2}=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=(2+\cos 3t)\cos 2t\\y&=(2+\cos 3t)\sin 2t\\z&=\sin 3t\end{aligned}}}$

Cualquier deformación continua de la curva anterior también se considera un nudo de trébol. En concreto, cualquier curva isotópica de un nudo de trébol también se considera un trébol. Además, la imagen especular de un nudo de trébol también se considera un trébol. En topología y teoría de nudos, el trébol suele definirse mediante un diagrama de nudos en lugar de una ecuación paramétrica explícita.

En geometría algebraica , el trébol también se puede obtener como la intersección en C ² de la 3-esfera unitaria S ³ con la curva plana compleja de ceros del polinomio complejo z ²  +  w ³ (una cúspide cúspide ).

Si se le da tres vueltas a un extremo de una cinta o cinturón y luego se pega al otro, el borde forma un nudo de trébol. ^[1]

El nudo de trébol es quiral , en el sentido de que un nudo de trébol se puede distinguir de su propia imagen especular. Las dos variantes resultantes se conocen como trébol levógiro y trébol diestro . No es posible deformar un trébol levógiro de forma continua para convertirlo en un trébol diestro, o viceversa. (Es decir, los dos tréboles no son isotópicos ambientales ).

Aunque es quiral, el nudo de trébol también es invertible, lo que significa que no hay distinción entre un trébol orientado en sentido contrario a las agujas del reloj y uno orientado en el sentido de las agujas del reloj. Es decir, la quiralidad de un trébol depende únicamente de los cruces por arriba y por abajo, no de la orientación de la curva.

El nudo de trébol no es trivial, lo que significa que no es posible "desatar" un nudo de trébol en tres dimensiones sin cortarlo. Matemáticamente, esto significa que un nudo de trébol no es isotópico al nudo deshacer . En particular, no existe ninguna secuencia de movimientos de Reidemeister que deshaga un nudo de trébol.

Para demostrarlo es necesario construir un invariante de nudo que distinga el trébol del nudo no formado. El invariante más simple es la tricolorabilidad : el trébol es tricolorable, pero el nudo no formado no. Además, prácticamente todos los polinomios principales de nudos distinguen el trébol del nudo no formado, al igual que la mayoría de los demás invariantes de nudos fuertes.

En la teoría de nudos, el nudo trifolio es el primer nudo no trivial y el único nudo con el número de cruce tres. Es un nudo primo y figura como 3 ₁ en la notación de Alexander-Briggs . La notación de Dowker para el nudo trifolio es 4 6 2 y la notación de Conway es [3].

El nudo trébol puede describirse como el nudo toroidal (2,3) . También es el nudo que se obtiene al cerrar la trenza σ ₁ ³ .

El nudo de trébol es un nudo alternado . Sin embargo, no es un nudo de rebanada , lo que significa que no limita un disco liso de 2 dimensiones en la bola de 4 dimensiones; una forma de demostrarlo es notar que su firma no es cero. Otra prueba es que su polinomio de Alexander no satisface la condición de Fox-Milnor .

El trébol es un nudo fibroso , lo que significa que su complemento en es un haz de fibras sobre el círculo . El trébol K puede verse como el conjunto de pares de números complejos tales que y . Entonces, este haz de fibras tiene el mapa de Milnor como la proyección del haz de fibras del complemento del nudo al círculo . La fibra es un toro una vez perforado . Dado que el complemento del nudo también es un nudo fibroso de Seifert con borde, tiene una superficie horizontal incompresible; esta es también la fibra del mapa de Milnor . (Esto supone que el nudo se ha engrosado para convertirse en un toro sólido N _ε ( K ), y que el interior de este toro sólido se ha eliminado para crear un complemento de nudo compacto ).$Estilo de visualización S3$ $Estilo de visualización S1$${\estilo de visualización (z,w)}$${\displaystyle |z|^{2}+|w|^{2}=1}$${\displaystyle z^{2}+w^{3}=0}$ ${\displaystyle \phi (z,w)=(z^{2}+w^{3})/|z^{2}+w^{3}|}$${\displaystyle S^{3}\setminus \mathbf {K} }$$Estilo de visualización S1$ ${\displaystyle S^{3}\setminus \operatorname {int} (\mathrm {N} _ {\varepsilon }(\mathbf {K} )}$

El polinomio de Alexander del nudo de trébol es y el polinomio de Conway es ^[2] El polinomio de Jones es y el polinomio de Kauffman del nudo de trébol es El polinomio de HOMFLY del nudo de trébol es El grupo de nudos del nudo de trébol viene dado por la presentación o equivalentemente ^[3] Este grupo es isomorfo al grupo de trenza de tres hebras.$${\displaystyle \Delta(t)=t-1+t^{-1},}$$$${\displaystyle \nabla (z)=z^{2}+1.}$$$${\displaystyle V(q)=q^{-1}+q^{-3}-q^{-4},}$$$${\displaystyle L(a,z)=za^{5}+z^{2}a^{4}-a^{4}+za^{3}+z^{2}a^{2}- 2a^{2}.}$$$${\displaystyle L(\alpha ,z)=-\alpha ^{4}+\alpha ^{2}z^{2}+2\alpha ^{2}.}$$$${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2}=y^{3}\rangle }$$$${\displaystyle \langle x,y\mid xyx=yxy\rangle .}$$

El trébol, el nudo más simple y no trivial, es un motivo común en la iconografía y las artes visuales . Por ejemplo, la forma común del símbolo de la triqueta es un trébol, al igual que algunas versiones del Valknut germánico .

En el arte moderno, el grabado en madera Nudos de MC Escher representa tres nudos de trébol cuyas formas sólidas están retorcidas de diferentes maneras. ^[4]

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• Enlace de pretzel
• Nudo en forma de ocho (matemáticas)
• Símbolo de la triqueta
• Nudo de cinco hojas
• Nudo gordiano

• Wolframalpha: nudo toroidal (2,3)
• Modelo 3D del nudo de trébol