Formalismo HPO

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El formalismo del operador de proyección histórica (HPO) es un enfoque de la lógica cuántica temporal desarrollado por Chris Isham . Se ocupa de la estructura lógica de las proposiciones de la mecánica cuántica formuladas en diferentes puntos del tiempo.

En la mecánica cuántica estándar, un sistema físico está asociado a un espacio de Hilbert . Los estados del sistema en un tiempo fijo están representados por vectores normalizados en el espacio y los observables físicos están representados por operadores hermíticos en .${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Una proposición física sobre el sistema en un tiempo fijo puede representarse mediante un operador de proyección ortogonal en (véase lógica cuántica ). Esta representación vincula las operaciones reticulares en la red de proposiciones lógicas y la red de operadores de proyección en un espacio de Hilbert (véase lógica cuántica ).${\displaystyle \,P}$ ${\displaystyle {\hat {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

El formalismo HPO es una extensión natural de estas ideas a proposiciones sobre el sistema que se refieren a más de un tiempo.

Una proposición histórica homogénea es una secuencia de proposiciones de un solo tiempo especificadas en diferentes momentos . Estos momentos se denominan soporte temporal de la historia. Denotaremos la proposición como y la leeremos como${\displaystyle \,\alpha }$${\displaystyle \alpha _{t_{i}}}$${\displaystyle t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n}}$${\displaystyle \,\alpha }$${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$

" en un momento es verdad y luego en un momento es verdad y luego y luego en un momento es verdad"${\displaystyle \alpha _{t_{1}}}$${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle \alpha _{t_{2}}}$${\displaystyle t_{2}}$${\displaystyle \ldots }$${\displaystyle \alpha _{t_{n}}}$${\displaystyle t_{n}}$

No todas las proposiciones históricas pueden representarse mediante una secuencia de proposiciones de un solo tiempo en diferentes momentos. Estas se denominan proposiciones históricas no homogéneas . Un ejemplo es la proposición OR para dos historias homogéneas .${\displaystyle \,\alpha }$${\displaystyle \,\beta }$${\displaystyle \,\alpha ,\beta }$

La observación clave del formalismo HPO es representar proposiciones históricas mediante operadores de proyección en un espacio de Hilbert histórico . De ahí proviene el nombre de "Operador de proyección histórica" ​​(HPO).

Para una historia homogénea podemos utilizar el producto tensorial para definir un proyector${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$

${\displaystyle {\hat {\alpha }}:={\hat {\alpha }}_{t_{1}}\otimes {\hat {\alpha }}_{t_{2}}\otimes \ldots \otimes {\hat {\alpha }}_{t_{n}}}$

¿Dónde está el operador de proyección que representa la proposición en el tiempo ?${\displaystyle {\hat {\alpha }}_{t_{i}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \alpha _{t_{i}}}$${\displaystyle t_{i}}$

Este es un operador de proyección sobre el producto tensorial "espacio de Hilbert histórico"${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$${\displaystyle H={\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}\otimes \ldots \otimes {\mathcal {H}}}$

No todos los operadores de proyección en pueden escribirse como la suma de productos tensoriales de la forma . Estos otros operadores de proyección se utilizan para representar historias no homogéneas mediante la aplicación de operaciones de red a historias homogéneas.${\displaystyle H}$${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$

La representación de proposiciones históricas mediante proyectores en el espacio de Hilbert histórico codifica naturalmente la estructura lógica de las proposiciones históricas. Las operaciones de red sobre el conjunto de operaciones de proyección en el espacio de Hilbert histórico se pueden aplicar para modelar la red de operaciones lógicas sobre proposiciones históricas.${\displaystyle H}$

Si dos historias homogéneas y no comparten el mismo soporte temporal, pueden modificarse para que lo compartan. Si está en el soporte temporal de pero no (por ejemplo), entonces puede formarse una nueva proposición de historia homogénea que difiera de al incluir la proposición "siempre verdadera" en cada momento . De esta manera, los soportes temporales de siempre pueden unirse. Por lo tanto, supondremos que todas las historias homogéneas comparten el mismo soporte temporal.${\displaystyle \,\alpha }$${\displaystyle \,\beta }$${\displaystyle \,t_{i}}$${\displaystyle \,\alpha }$${\displaystyle \,\beta }$${\displaystyle \,\beta }$${\displaystyle \,t_{i}}$${\displaystyle \,\alpha ,\beta }$

Ahora presentamos las operaciones lógicas para proposiciones históricas homogéneas y tales que${\displaystyle \,\alpha }$${\displaystyle \,\beta }$${\displaystyle {\hat {\alpha }}{\hat {\beta }}={\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}}$

Si y son dos historias homogéneas entonces la proposición histórica " y " es también una historia homogénea. Se representa mediante el operador de proyección${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \,\alpha }$${\displaystyle \,\beta }$

${\displaystyle {\widehat {\alpha \wedge \beta }}:={\hat {\alpha }}{\hat {\beta }}}$ ${\displaystyle (={\hat {\beta }}{\hat {\alpha }})}$

Si y son dos historias homogéneas, entonces la proposición histórica " o " no es en general una historia homogénea. Se representa mediante el operador de proyección${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \,\alpha }$${\displaystyle \,\beta }$

${\displaystyle {\widehat {\alpha \vee \beta }}:={\hat {\alpha }}+{\hat {\beta }}-{\hat {\alpha }}{\hat {\beta }}}$

La operación de negación en la red de operadores de proyección lleva a${\displaystyle {\hat {P}}}$

${\displaystyle \neg {\hat {P}}:=\mathbb {I} -{\hat {P}}}$

donde es el operador identidad en el espacio de Hilbert. Por lo tanto, el proyector utilizado para representar la proposición (es decir, "no ") es${\displaystyle \mathbb {I} }$${\displaystyle \neg \alpha }$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\widehat {\neg \alpha }}:=\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}.}$

Como ejemplo, considere la negación de la proposición de historia homogénea de dos tiempos . El proyector para representar la proposición es${\displaystyle \,\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2})}$${\displaystyle \neg \alpha }$

${\displaystyle {\widehat {\neg \alpha }}=\mathbb {I} \otimes \mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1}\otimes {\hat {\alpha }}_{2}}$${\displaystyle =(\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1})\otimes {\hat {\alpha }}_{2}+{\hat {\alpha }}_{1}\otimes (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{2})+(\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1})\otimes (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{2})}$

Los términos que aparecen en esta expresión:

• ${\displaystyle (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1})\otimes {\hat {\alpha }}_{2}}$
• ${\displaystyle {\hat {\alpha }}_{1}\otimes (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{2})}$
• ${\displaystyle (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1})\otimes (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{2})}$.

¿Puede cada uno interpretarse de la siguiente manera?

• ${\displaystyle \,\alpha _{1}}$es falso y es verdadero${\displaystyle \,\alpha _{2}}$
• ${\displaystyle \,\alpha _{1}}$es verdadero y es falso${\displaystyle \,\alpha _{2}}$
• Ambos son falsos y son falsos${\displaystyle \,\alpha _{1}}$${\displaystyle \,\alpha _{2}}$

Estas tres historias homogéneas, unidas con la operación OR, incluyen todas las posibilidades de que la proposición " y entonces " sea falsa. Vemos, por tanto, que la definición de concuerda con lo que debería significar la proposición.${\displaystyle \,\alpha _{1}}$${\displaystyle \,\alpha _{2}}$${\displaystyle {\widehat {\neg \alpha }}}$${\displaystyle \neg \alpha }$

• CJ Isham, Lógica cuántica y el enfoque histórico de la teoría cuántica, J. Math. Phys. 35 (1994) 2157–2185, arXiv:gr-qc/9308006v1