Energía elástica

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La energía elástica es la energía potencial mecánica almacenada en la configuración de un material o sistema físico cuando está sujeto a una deformación elástica por el trabajo realizado sobre él. La energía elástica se produce cuando los objetos se comprimen, estiran o deforman de forma impermanente de cualquier manera. La teoría de la elasticidad desarrolla principalmente formalismos para la mecánica de cuerpos sólidos y materiales. ^[1] (Sin embargo, tenga en cuenta que el trabajo realizado por una banda de goma estirada no es un ejemplo de energía elástica. Es un ejemplo de elasticidad entrópica ). La ecuación de energía potencial elástica se utiliza en los cálculos de posiciones de equilibrio mecánico . La energía es potencial, ya que se convertirá en otras formas de energía, como energía cinética y energía del sonido , cuando se permite que el objeto vuelva a su forma original (reforma) por su elasticidad .

$${\displaystyle U={\frac {1}{2}}k\,\Delta x^{2}}$$

La esencia de la elasticidad es la reversibilidad. Las fuerzas aplicadas a un material elástico transfieren energía al material que, al ceder esa energía a su entorno, puede recuperar su forma original. Sin embargo, todos los materiales tienen límites en cuanto al grado de distorsión que pueden soportar sin romperse o alterar irreversiblemente su estructura interna. Por lo tanto, las caracterizaciones de los materiales sólidos incluyen la especificación, generalmente en términos de deformaciones, de sus límites elásticos. Más allá del límite elástico, un material ya no almacena toda la energía del trabajo mecánico realizado sobre él en forma de energía elástica.

La energía elástica de una sustancia o dentro de ella es la energía estática de la configuración. Corresponde a la energía almacenada principalmente al cambiar las distancias interatómicas entre los núcleos. La energía térmica es la distribución aleatoria de la energía cinética dentro del material, lo que da como resultado fluctuaciones estadísticas del material sobre la configuración de equilibrio. Sin embargo, existe cierta interacción. Por ejemplo, para algunos objetos sólidos, la torsión, la flexión y otras distorsiones pueden generar energía térmica, lo que hace que la temperatura del material aumente. La energía térmica en los sólidos a menudo se transmite por ondas elásticas internas, llamadas fonones . Las ondas elásticas que son grandes en la escala de un objeto aislado generalmente producen vibraciones macroscópicas. Aunque la elasticidad se asocia más comúnmente con la mecánica de los cuerpos sólidos o materiales, incluso la literatura temprana sobre termodinámica clásica define y utiliza la "elasticidad de un fluido" de maneras compatibles con la definición amplia proporcionada en la Introducción anterior. ^{[2] : 107 y siguientes.}

Los sólidos incluyen materiales cristalinos complejos con un comportamiento a veces complicado. Por el contrario, el comportamiento de los fluidos compresibles, y especialmente los gases, demuestra la esencia de la energía elástica con una complicación insignificante. La fórmula termodinámica simple: donde dU es un cambio infinitesimal en la energía interna recuperable U , P es la presión uniforme (una fuerza por unidad de área) aplicada a la muestra de material de interés y dV es el cambio infinitesimal en el volumen que corresponde al cambio en la energía interna. El signo menos aparece porque dV es negativo bajo compresión por una presión positiva aplicada que también aumenta la energía interna. Al invertirse, el trabajo que realiza un sistema es el negativo del cambio en su energía interna correspondiente al dV positivo de un volumen creciente. En otras palabras, el sistema pierde energía interna almacenada cuando realiza trabajo sobre su entorno. La presión es estrés y el cambio volumétrico corresponde al cambio del espaciamiento relativo de los puntos dentro del material. La relación estrés-deformación-energía interna de la fórmula anterior se repite en formulaciones para la energía elástica de materiales sólidos con estructura cristalina complicada.${\displaystyle dU=-P\,dV\ ,}$

Los componentes de los sistemas mecánicos almacenan energía potencial elástica si se deforman cuando se aplican fuerzas al sistema. La energía se transfiere a un objeto mediante trabajo cuando una fuerza externa desplaza o deforma el objeto. La cantidad de energía transferida es el producto escalar vectorial de la fuerza y ​​el desplazamiento del objeto. A medida que se aplican fuerzas al sistema, estas se distribuyen internamente a sus componentes. Si bien parte de la energía transferida puede terminar almacenada como energía cinética de la velocidad adquirida, la deformación de los objetos componentes da como resultado energía elástica almacenada.

Un componente elástico prototípico es un resorte helicoidal. El rendimiento elástico lineal de un resorte está parametrizado por una constante de proporcionalidad, llamada constante de resorte. Esta constante generalmente se denota como k (ver también la Ley de Hooke ) y depende de la geometría, el área de la sección transversal, la longitud no deformada y la naturaleza del material del que está hecha la bobina. Dentro de un cierto rango de deformación, k permanece constante y se define como la relación negativa entre el desplazamiento y la magnitud de la fuerza de recuperación producida por el resorte en ese desplazamiento.

$${\displaystyle k=-{\frac {F_{r}}{L-L_{o}}}}$$

La longitud deformada, L , puede ser mayor o menor que L _o , la longitud no deformada, por lo que para mantener k positivo, F _r debe darse como un componente vectorial de la fuerza restauradora cuyo signo es negativo para L > L _o y positivo para L < L _o . Si el desplazamiento se abrevia como entonces la Ley de Hooke se puede escribir en la forma habitual$${\displaystyle L-L_{o}=x,}$$$${\displaystyle F_{r}=-k\,x.}$$

La energía absorbida y retenida en el resorte se puede derivar utilizando la Ley de Hooke para calcular la fuerza de recuperación como una medida de la fuerza aplicada. Esto requiere la suposición, suficientemente correcta en la mayoría de las circunstancias, de que en un momento dado, la magnitud de la fuerza aplicada.

Para cada desplazamiento infinitesimal dx , la fuerza aplicada es simplemente kx y el producto de estas es la transferencia infinitesimal de energía al resorte dU . La energía elástica total aplicada al resorte desde el desplazamiento cero hasta la longitud final L es, por lo tanto, la integral$${\displaystyle U=\int _{0}^{L-L_{o}}k\,x\,dx={\tfrac {1}{2}}k(L-L_{o})^{2}}$$

Para un material con módulo de Young, Y (mismo que el módulo de elasticidad λ ), área de sección transversal, A ₀ , longitud inicial, l ₀ , que se estira una longitud, : donde U _e es la energía potencial elástica.${\displaystyle \Delta l}$$${\displaystyle U_{e}=\int {\frac {YA_{0}\Delta l}{l_{0}}}\,d\left(\Delta l\right)={\frac {YA_{0}{\Delta l}^{2}}{2l_{0}}}}$$

La energía potencial elástica por unidad de volumen viene dada por: donde es la deformación en el material.$${\displaystyle {\frac {U_{e}}{A_{0}l_{0}}}={\frac {Y{\Delta l}^{2}}{2l_{0}^{2}}}={\frac {1}{2}}Y{\varepsilon }^{2}}$$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta l}{l_{0}}}}$

En el caso general, la energía elástica está dada por la energía libre por unidad de volumen f como función de los componentes del tensor de deformación ε _ij donde λ y μ son los coeficientes elásticos de Lamé y utilizamos la convención de suma de Einstein . Observando la conexión termodinámica entre los componentes del tensor de tensión y los componentes del tensor de deformación, ^[1] donde el subíndice T denota que la temperatura se mantiene constante, entonces encontramos que si la ley de Hooke es válida, podemos escribir la densidad de energía elástica como $${\displaystyle f(\varepsilon _{ij})={\frac {1}{2}}\lambda \varepsilon _{ii}^{2}+\mu \varepsilon _{ij}^{2}}$$$${\displaystyle \sigma _{ij}=\left({\frac {\partial f}{\partial \varepsilon _{ij}}}\right)_{T},}$$$${\displaystyle f={\frac {1}{2}}\varepsilon _{ij}\sigma _{ij}.}$$

La materia en masa se puede distorsionar de muchas formas diferentes: estiramiento, cizallamiento, flexión, torsión, etc. Cada tipo de distorsión contribuye a la energía elástica de un material deformado. En coordenadas ortogonales , la energía elástica por unidad de volumen debida a la deformación es, por tanto, una suma de contribuciones: donde es un tensor de cuarto rango , llamado tensor elástico o tensor de rigidez ^[3] que es una generalización de los módulos elásticos de los sistemas mecánicos, y es el tensor de deformación ( se ha utilizado la notación de suma de Einstein para implicar la suma sobre índices repetidos). Los valores de dependen de la estructura cristalina del material: en el caso general, debido a la naturaleza simétrica de y , el tensor elástico consta de 21 coeficientes elásticos independientes. ^[4] Este número se puede reducir aún más por la simetría del material: 9 para un cristal ortorrómbico , 5 para una estructura hexagonal y 3 para una simetría cúbica . ^[5] Finalmente, para un material isótropo , solo hay dos parámetros independientes, con , donde y son las constantes de Lamé , y es el delta de Kronecker .$${\displaystyle U={\frac {1}{2}}C_{ijkl}\varepsilon _{ij}\varepsilon _{kl},}$$${\displaystyle C_{ijkl}}$${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$${\displaystyle C_{ijkl}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle C_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}\right)}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \delta _{ij}}$

El tensor de deformación en sí mismo puede definirse para reflejar la distorsión de cualquier manera que resulte en invariancia bajo rotación total, pero la definición más común con respecto a la cual se expresan habitualmente los tensores elásticos define la deformación como la parte simétrica del gradiente de desplazamiento con todos los términos no lineales suprimidos: donde es el desplazamiento en un punto en la dirección -ésima y es la derivada parcial en la dirección -ésima. Nótese que: donde no se pretende ninguna suma. Aunque la notación de Einstein completa suma sobre pares de índices elevados y reducidos, los valores de los componentes del tensor elástico y de deformación se expresan habitualmente con todos los índices reducidos. Por lo tanto, tenga cuidado (como aquí) de que en algunos contextos un índice repetido no implica una suma de sobrevalores de ese índice ( en este caso), sino simplemente un único componente de un tensor.$${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}$$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \partial _{j}}$${\displaystyle j}$$${\displaystyle \varepsilon _{jj}=\partial _{j}u_{j}}$$${\displaystyle j}$

• Aparato de relojería
• Elastocapilaridad
• Elasticidad del caucho

• Eshelby, JD (noviembre de 1975). "El tensor elástico de energía-momento". Journal of Elasticity . 5 (3–4): 321–335. doi :10.1007/BF00126994. S2CID  121320629.