Ecuación de Korteweg-De Vries

En matemáticas , la ecuación de Korteweg–De Vries (KdV) es una ecuación diferencial parcial (EDP) que sirve como modelo matemático de olas en superficies de aguas poco profundas. Es particularmente notable como el ejemplo prototípico de una EDP integrable y exhibe muchos de los comportamientos esperados para una EDP integrable, como una gran cantidad de soluciones explícitas, en particular soluciones de solitones , y una cantidad infinita de cantidades conservadas , a pesar de la no linealidad que típicamente hace que las EDP sean intratables. La KdV se puede resolver mediante el método de dispersión inversa (ISM). ^[2] De hecho, Clifford Gardner , John M. Greene , Martin Kruskal y Robert Miura desarrollaron el método clásico de dispersión inversa para resolver la ecuación KdV.

La ecuación KdV fue introducida por primera vez por Joseph Valentin Boussinesq  (1877, nota al pie en la página 360) y redescubierta por Diederik Korteweg y Gustav de Vries en 1895, quienes encontraron la solución más simple, la solución de un solitón. ^{[3] [4]} La comprensión de la ecuación y el comportamiento de las soluciones avanzó enormemente gracias a las simulaciones por computadora de Norman Zabusky y Kruskal en 1965 y luego al desarrollo de la transformada de dispersión inversa en 1967.

La ecuación KdV es una ecuación diferencial parcial que modela (espacialmente) ondas dispersivas no disipativas no lineales unidimensionales descritas por una función que se adhiere a: ^[5] ${\displaystyle \phi(x,t)}$

${\displaystyle \parcial _{t}\phi +\parcial _{x}^{3}\phi -6\,\phi \,\parcial _{x}\phi =0\,\quad x\in \mathbb {R} ,\;t\geq 0,}$

donde tiene en cuenta la dispersión y el elemento no lineal es un término de advección .${\displaystyle \parcial _{x}^{3}\phi }$${\displaystyle \phi \partial _ {x}\phi}$

Para modelar olas en aguas poco profundas, es el desplazamiento de altura de la superficie del agua desde su altura de equilibrio.${\estilo de visualización \phi}$

La constante delante del último término es convencional pero no tiene gran importancia: se puede multiplicar , , y por constantes para hacer que los coeficientes de cualquiera de los tres términos sean iguales a cualquier constante dada distinta de cero.${\estilo de visualización 6}$${\estilo de visualización t}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización \phi}$

Consideremos soluciones en las que una forma de onda fija (dada por ) mantiene su forma a medida que viaja hacia la derecha a una velocidad de fase . Tal solución está dada por . Sustituyéndola en la ecuación KdV se obtiene la ecuación diferencial ordinaria${\estilo de visualización f(X)}$ ${\estilo de visualización c}$${\displaystyle \varphi(x,t)=f(x-ct-a)=f(X)}$

${\displaystyle -c{\frac {df}{dX}}+{\frac {d^{3}f}{dX^{3}}}-6f{\frac {df}{dX}}=0,}$

o, integrando con respecto a ,${\estilo de visualización X}$

${\displaystyle -cf+{\frac {d^{2}f}{dX^{2}}}-3f^{2}=A}$

donde es una constante de integración . Si interpretamos la variable independiente anterior como una variable de tiempo virtual, esto significa que satisface la ecuación de Newton de movimiento de una partícula de masa unitaria en un potencial cúbico.${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización f}$

${\displaystyle V(f)=-\left(f^{3}+{\frac {1}{2}}cf^{2}+Af\right)}$.

Si

${\displaystyle A=0,\,c>0}$

entonces la función potencial tiene un máximo local en ; hay una solución en la que comienza en este punto en el 'tiempo virtual' , finalmente se desliza hacia abajo hasta el mínimo local , luego vuelve a subir por el otro lado, alcanzando una altura igual, y luego invierte la dirección, terminando nuevamente en el máximo local en el tiempo . En otras palabras, se aproxima a . Esta es la forma característica de la solución de onda solitaria .${\displaystyle V(f)}$${\estilo de visualización f=0}$${\estilo de visualización f(X)}$${\estilo de visualización -\infty}$${\estilo de visualización\infty}$${\estilo de visualización f(X)}$${\estilo de visualización 0}$${\displaystyle X\to -\infty}$

Más precisamente, la solución es

${\displaystyle \phi (x,t)=-{\frac {1}{2}}\,c\,\operatorname {sech} ^{2}\left[{{\sqrt {c}} \over 2 }(xc\,ta)\derecha]}$

donde representa la secante hiperbólica y es una constante arbitraria. ^{[6] Esto describe un} solitón que se mueve hacia la derecha con velocidad .${\displaystyle \operatorname {sech} }$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización c}$

Existe una expresión conocida para una solución que es una solución de -solitón, que en tiempos posteriores se resuelve en solitones individuales separados. ^[7] La ​​solución depende de un conjunto decreciente de parámetros positivos y un conjunto de parámetros no nulos . La solución se da en la forma donde los componentes de la matriz se dan por${\estilo de visualización N}$${\estilo de visualización N}$${\displaystyle \chi _{1},\cdots ,\chi _{N}>0}$${\displaystyle \beta _{1},\cdots ,\beta _{N}}$$${\displaystyle \phi (x,t)=-2{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\mathrm {log} [\mathrm {det} A(x,t)]}$$${\displaystyle A(x,t)}$${\displaystyle A_{nm}(x,t)=\delta _{nm}+{\frac {\beta _{n}e^{8\chi _{n}^{3}t}e^{-(\chi _{n}+\chi _{m})x}}{\chi _{n}+\chi _{m}}}.}$

Esto se obtiene utilizando el método de dispersión inversa.

La ecuación KdV tiene infinitas integrales de movimiento que no cambian con el tiempo. ^[8] Se pueden dar explícitamente como

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }P_{2n-1}(\phi ,\,\partial _{x}\phi ,\,\partial _{x}^{2}\phi ,\,\ldots )\,{\text{d}}x\,}$

donde los polinomios se definen recursivamente por${\displaystyle P_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}&=\phi ,\\P_{n}&=-{\frac {dP_{n-1}}{dx}}+\sum _{i=1}^{n-2}\,P_{i}\,P_{n-1-i}\quad {\text{ for }}n\geq 2.\end{aligned}}}$

Las primeras integrales del movimiento son:

• La masa${\displaystyle \int \phi \,\mathrm {d} x,}$
• El impulso${\displaystyle \int \phi ^{2}\,\mathrm {d} x,}$
• La energía .${\displaystyle \int \left[2\phi ^{3}-\left(\partial _{x}\phi \right)^{2}\right]\,\mathrm {d} x}$

Sólo los términos impares dan como resultado integrales de movimiento no triviales (es decir, distintas de cero). ^[9]${\displaystyle P_{2n+1}}$

La ecuación KdV

${\displaystyle \partial _{t}\phi =6\,\phi \,\partial _{x}\phi -\partial _{x}^{3}\phi }$

puede reformularse como la ecuación de Lax

${\displaystyle L_{t}=[L,A]\equiv LA-AL\,}$

con un operador de Sturm-Liouville :${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L&=-\partial _{x}^{2}+\phi ,\\A&=4\partial _{x}^{3}-6\phi \,\partial _{x}-3[\partial _{x},\phi ]\end{aligned}}}$

donde es el conmutador tal que . ^[10] El par Lax explica el número infinito de primeras integrales de la ecuación KdV. ^[11]${\displaystyle [\partial _{x},\phi ]}$${\displaystyle [\partial _{x},\phi ]f=f\partial _{x}\phi }$

De hecho, es el operador de Schrödinger independiente del tiempo (sin tener en cuenta las constantes) con potencial . Se puede demostrar que debido a esta formulación de Lax, de hecho los valores propios no dependen de . ^[12]${\displaystyle L}$${\displaystyle \phi (x,t)}$${\displaystyle t}$

Establecer los componentes de la conexión Lax como la ecuación KdV es equivalente a la ecuación de curvatura cero para la conexión Lax.$${\displaystyle L_{x}={\begin{pmatrix}0&1\\\phi -\lambda &0\end{pmatrix}},L_{t}={\begin{pmatrix}-\phi _{x}&2\phi +4\lambda \\2\phi ^{2}-\phi _{xx}+2\phi \lambda -4\lambda ^{2}&\phi _{x}\end{pmatrix}},}$$$${\displaystyle \partial _{t}L_{x}-\partial _{x}L_{t}+[L_{x},L_{t}]=0.}$$

La ecuación de Korteweg-De Vries

${\displaystyle \partial _{t}\phi +6\phi \,\partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi =0,}$

es la ecuación de movimiento de Euler-Lagrange derivada de la densidad lagrangiana ,${\displaystyle {\mathcal {L}}\,}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}:={\frac {1}{2}}\partial _{x}\psi \,\partial _{t}\psi +\left(\partial _{x}\psi \right)^{3}-{\frac {1}{2}}\left(\partial _{x}^{2}\psi \right)^{2}}$

( 1 )

con definido por${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi :={\frac {\partial \psi }{\partial x}}.}$

Derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange

Dado que la lagrangiana (ecuación (1)) contiene segundas derivadas, la ecuación de movimiento de Euler-Lagrange para este campo es

${\displaystyle \partial _{\mu \mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu \mu }\psi )}}\right)-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0.}$

( 2 )

donde es una derivada con respecto al componente.${\displaystyle \partial }$${\displaystyle \mu }$

Se implica una suma, por lo que la ecuación (2) realmente se lee:${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \partial _{tt}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{tt}\psi )}}\right)+\partial _{xx}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{xx}\psi )}}\right)-\partial _{t}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{t}\psi )}}\right)-\partial _{x}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{x}\psi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0.}$

( 3 )

Evalúe los cinco términos de la ecuación (3) reemplazando la ecuación (1),

${\displaystyle \partial _{tt}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{tt}\psi )}}\right)=0}$

${\displaystyle \partial _{xx}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{xx}\psi )}}\right)=\partial _{xx}\left(-\partial _{xx}\psi \right)}$

${\displaystyle \partial _{t}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{t}\psi )}}\right)=\partial _{t}\left({\frac {1}{2}}\partial _{x}\psi \right)}$

${\displaystyle \partial _{x}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{x}\psi )}}\right)=\partial _{x}\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\psi +3(\partial _{x}\psi )^{2}\right)\,}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0}$

Recuerde la definición y utilícela para simplificar los términos anteriores.${\displaystyle \phi =\partial _{x}\psi }$

${\displaystyle \partial _{xx}\left(-\partial _{xx}\psi \right)=-\partial _{xxx}\phi }$

${\displaystyle \partial _{t}\left({\frac {1}{2}}\partial _{x}\psi \right)={\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi }$

${\displaystyle \partial _{x}\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\psi +3(\partial _{x}\psi )^{2}\right)={\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi +3\partial _{x}(\phi )^{2}={\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi +6\phi \partial _{x}\phi }$

Finalmente, inserte estos tres términos distintos de cero en la ecuación (3) para ver

${\displaystyle \left(-\partial _{xxx}\phi \right)-\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi \right)-\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi +6\phi \partial _{x}\phi \right)=0,}$

que es exactamente la ecuación KdV

${\displaystyle \partial _{t}\phi +6\phi \,\partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi =0.}$

Se puede demostrar que cualquier solución suave con una descomposición suficientemente rápida acabará por dividirse en una superposición finita de solitones que se desplazan hacia la derecha más una parte dispersiva en descomposición que se desplaza hacia la izquierda. Esto fue observado por primera vez por Zabusky y Kruskal (1965) y se puede demostrar rigurosamente utilizando el análisis no lineal de descenso más empinado para problemas oscilatorios de Riemann-Hilbert . ^[13]

La historia de la ecuación KdV comenzó con los experimentos de John Scott Russell en 1834, seguidos por las investigaciones teóricas de Lord Rayleigh y Joseph Boussinesq alrededor de 1870 y, finalmente, Korteweg y De Vries en 1895.

La ecuación KdV no se estudió mucho después de esto hasta que Zabusky y Kruskal (1965) descubrieron numéricamente que sus soluciones parecían descomponerse en tiempos largos en una colección de "solitones": ondas solitarias bien separadas. Además, los solitones parecen no verse casi afectados en su forma al pasar unos a través de otros (aunque esto podría causar un cambio en su posición). También hicieron la conexión con experimentos numéricos anteriores de Fermi, Pasta, Ulam y Tsingou al demostrar que la ecuación KdV era el límite continuo del sistema FPUT . El desarrollo de la solución analítica por medio de la transformada de dispersión inversa fue realizado en 1967 por Gardner, Greene, Kruskal y Miura. ^{[2] [14]}

Ahora se ve que la ecuación KdV está estrechamente relacionada con el principio de Huygens . ^{[15] [16]}

La ecuación KdV tiene varias conexiones con problemas físicos. Además de ser la ecuación que gobierna la cuerda en el problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou en el límite del continuo, describe aproximadamente la evolución de ondas largas y unidimensionales en muchos entornos físicos, entre ellos:

• Ondas de aguas poco profundas con fuerzas restauradoras débilmente no lineales ,
• Ondas internas largas en un océano con estratificación de densidad .
• ondas acústicas de iones en un plasma ,
• ondas acústicas en una red cristalina .

La ecuación KdV también se puede resolver utilizando la transformada de dispersión inversa como las que se aplican a la ecuación de Schrödinger no lineal .

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Considerando las soluciones simplificadas de la forma

${\displaystyle \phi (x,t)=\phi (x\pm t)}$

obtenemos la ecuación KdV como

${\displaystyle \pm \partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi +6\,\phi \,\partial _{x}\phi =0\,}$

o

${\displaystyle \pm \partial _{x}\phi +\partial _{x}(\partial _{x}^{2}\phi +3\phi ^{2})=0\,}$

Integrando y tomando el caso especial en el que la constante de integración es cero, tenemos:

${\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi -3\phi ^{2}=\pm \phi \,}$

que es el caso especial de la ecuación estacionaria generalizada de Gross-Pitaevskii (GPE)${\displaystyle \lambda =1}$

${\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi -3\phi ^{\lambda }\phi =\pm \phi \,}$

Por lo tanto, para la clase determinada de soluciones de la ecuación general general ( para el condensado unidimensional verdadero y mientras se utiliza la ecuación tridimensional en una dimensión), dos ecuaciones son una. Además, tomando el caso con el signo menos y el real, se obtiene una autointeracción atractiva que debería producir un solitón brillante. ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle \lambda =4}$${\displaystyle \lambda =2}$${\displaystyle \lambda =3}$${\displaystyle \phi }$

Se han estudiado muchas variaciones diferentes de las ecuaciones de KdV. Algunas de ellas se enumeran en la siguiente tabla.

Nombre	Ecuación
Calle Korteweg–De Vries (KdV)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u+6u\partial _{x}u=0}$
KdV (cilíndrico)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-6u\partial _{x}u+{\tfrac {1}{2t}}u=0}$
KdV (deformado)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}\left({\frac {\partial _{x}^{2}u-2\eta u^{3}-3u(\partial _{x}u)^{2}}{2(\eta +u^{2})}}\right)=0}$
KdV (generalizado)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u=\partial _{x}^{5}u}$
KdV (generalizado)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u+\partial _{x}f(u)=0}$
KdV (modificado)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u\pm 6u^{2}\partial _{x}u=0}$
Ecuación de Gardner	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-(6\varepsilon ^{2}u^{2}+6u)\partial _{x}u=0}$
KdV (modificado modificado)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-{\tfrac {1}{8}}(\partial _{x}u)^{3}+(\partial _{x}u)(Ae^{au}+B+Ce^{-au})=0}$
KdV (esférico)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-6u\partial _{x}u+{\tfrac {1}{t}}u=0}$
KdV (súper)	${\displaystyle \displaystyle {\begin{cases}\partial _{t}u=6u\partial _{x}u-\partial _{x}^{3}u+3w\partial _{x}^{2}w\\\partial _{t}w=3(\partial _{x}u)w+6u\partial _{x}w-4\partial _{x}^{3}w\end{cases}}}$
KdV (transicional)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-6f(t)u\partial _{x}u=0}$
KdV (coeficientes variables)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\beta t^{n}\partial _{x}^{3}u+\alpha t^{n}u\partial _{x}u=0}$
Ecuación de KdV-Burgers	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\mu \partial _{x}^{3}u+u\partial _{x}u-\nu \partial _{x}^{2}u=0}$
KdV no homogéneo	${\displaystyle \partial _{t}u+\alpha u+\beta \partial _{x}u+\gamma \partial _{x}^{2}u=Ai(x),\quad u(x,0)=f(x)}$

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Wikimedia Commons tiene medios relacionados con la ecuación de Korteweg-de Vries .

• Ecuación de Korteweg-De Vries en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuación de Korteweg-De Vries en NEQwiki, la enciclopedia de ecuaciones no lineales.
• Ecuación cilíndrica de Korteweg-De Vries en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuación de Korteweg-De Vries modificada en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuación de Korteweg-De Vries modificada en NEQwiki, la enciclopedia de ecuaciones no lineales.
• Weisstein, Eric W. "Ecuación de Korteweg-deVries". MundoMatemático .
• Derivación de la ecuación de Korteweg-De Vries para un canal estrecho.
• Solución de la ecuación KdV con tres solitones – [1]
• Solución de la ecuación KdV con tres solitones (inestables) – [2]
• Los aspectos matemáticos de las ecuaciones del tipo Korteweg-De Vries se discuten en el Wiki de EDP Dispersivas.
• Solitones de la ecuación de Korteweg-De Vries por SM Blinder, The Wolfram Demonstrations Project .
• Solitones y ecuaciones de ondas no lineales