Ecuación de Tanaka

En matemáticas , la ecuación de Tanaka es un ejemplo de ecuación diferencial estocástica que admite una solución débil pero no tiene una solución fuerte. Recibe su nombre en honor al matemático japonés Hiroshi Tanaka (Tanaka Hiroshi).

La ecuación de Tanaka es la ecuación diferencial estocástica unidimensional

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\nombre del operador {sgn}(X_{t})\,\mathrm {d} B_{t},}$

impulsado por el movimiento browniano canónico B , con condición inicial X ₀  = 0, donde sgn denota la función de signo

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}+1,&x\geq 0;\\-1,&x<0.\end{cases}}}$

(Obsérvese el valor no convencional de sgn(0).) La función signum no satisface la condición de continuidad de Lipschitz requerida para los teoremas usuales que garantizan la existencia y unicidad de soluciones fuertes. La ecuación de Tanaka no tiene una solución fuerte, es decir, una para la cual la versión B del movimiento browniano se da de antemano y la solución X se adapta a la filtración generada por B y las condiciones iniciales. Sin embargo, la ecuación de Tanaka sí tiene una solución débil, una para la cual el proceso X y la versión del movimiento browniano se especifican como parte de la solución, en lugar de que el movimiento browniano se dé a priori . En este caso, simplemente elija X como cualquier movimiento browniano y defina por${\displaystyle {\hat {B}}}$${\displaystyle {\tilde {B}}}$

${\displaystyle {\tilde {B}}_{t}=\int _{0}^{t}\nombredeloperador {sgn} {\big (}{\hat {B}}_{s}{\big )}\,\mathrm {d} {\hat {B}}_{s}=\int _{0}^{t}\nombredeloperador {sgn} {\big (}X_{s}{\big )}\,\mathrm {d} X_{s},}$

es decir

${\displaystyle \mathrm {d} {\tilde {B}}_{t}=\operatorname {sgn}(X_{t})\,\mathrm {d} X_{t}.}$

Por eso,

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\nombre del operador {sgn}(X_{t})\,\mathrm {d} {\tilde {B}}_{t},}$

y por lo tanto X es una solución débil de la ecuación de Tanaka. Además, esta solución es débilmente única, es decir, cualquier otra solución débil debe tener la misma ley .

Otro contraejemplo de este tipo es la ecuación diferencial estocástica de Tsirelson .

• Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones (sexta edición). Berlín: Springer. ISBN 3-540-04758-1.(Ejemplo 5.3.2)