Cantidad de pedido económica
Modelo de programación de la producción

La cantidad económica de pedido ( EOQ ), también conocida como cantidad financiera de compra o cantidad económica de compra , [ cita requerida ] es la cantidad de pedido que minimiza los costos totales de mantenimiento y los costos de pedido en la gestión de inventario . Es uno de los modelos de programación de producción clásicos más antiguos . El modelo fue desarrollado por Ford W. Harris en 1913, pero el consultor RH Wilson lo aplicó ampliamente, y a él y a K. Andler se les atribuye el mérito de su análisis en profundidad. [1]

Descripción general

El EOQ indica el número óptimo de unidades a pedir para minimizar el costo total asociado con la compra, entrega y almacenamiento de un producto.

El EOQ se aplica únicamente cuando la demanda de un producto es constante durante un período de tiempo (por ejemplo, un año) y cada nuevo pedido se entrega en su totalidad cuando el inventario llega a cero. Existe un costo fijo para cada pedido realizado, independientemente de la cantidad de artículos pedidos; se supone que un pedido contiene solo un tipo de artículo de inventario. También existe un costo por cada unidad almacenada, comúnmente conocido como costo de almacenamiento , a veces expresado como un porcentaje del costo de compra del artículo. Aunque la formulación del EOQ es sencilla, factores como las tarifas de transporte y los descuentos por cantidad influyen en su aplicación en el mundo real.

Los parámetros necesarios para la solución son la demanda total del año, el costo de compra de cada artículo, el costo fijo de realizar el pedido de un solo artículo y el costo de almacenamiento de cada artículo por año. Tenga en cuenta que la cantidad de veces que se realiza un pedido también afectará el costo total, aunque este número se puede determinar a partir de los otros parámetros.

Variables

  • yo {\estilo de visualización T} = costo total del inventario anual
  • PAG {\estilo de visualización P} = precio unitario de compra, coste unitario de producción
  • Q {\estilo de visualización Q} = cantidad del pedido
  • Q ∗ {\displaystyle Q^{*}} = cantidad óptima de pedido
  • D {\estilo de visualización D} = cantidad de demanda anual
  • K {\estilo de visualización K} = costo fijo por pedido, costo de preparación ( no por unidad, generalmente el costo del pedido y el envío y manipulación. Este no es el costo de los bienes)
  • yo {\estilo de visualización h} = costo de tenencia anual por unidad, también conocido como costo de almacenamiento (costo de capital, espacio de almacén, refrigeración, seguro, costo de oportunidad (precio x interés), etc., generalmente no relacionado con el costo de producción unitario)

Función de costo total y derivación de la fórmula EOQ

La fórmula EOQ de un solo artículo encuentra el punto mínimo de la siguiente función de costo:

Costo total = costo de compra o costo de producción + costo de pedido + costo de mantenimiento

Dónde:

  • Coste de compra: Es el coste variable de los bienes: precio unitario de compra × cantidad demandada anual. Es decir, P × D
  • Costo de pedido: es el costo de realizar pedidos: cada pedido tiene un costo fijo K y necesitamos realizar pedidos D/Q veces al año. Esto es K × D/Q
  • Coste de mantenimiento: la cantidad media en stock (entre completamente reabastecido y vacío) es Q/2, por lo que este coste es h × Q/2
yo = PAG D + K D Q + yo Q 2 {\displaystyle T=PD+K{\frac {D}{Q}}+h{\frac {Q}{2}}} .

Para determinar el punto mínimo de la curva de costo total, calcule la derivada del costo total con respecto a Q (suponga que todas las demás variables son constantes) y configúrela igual a 0:

0 = − D K Q 2 + yo 2 {\displaystyle {0}=-{\frac {DK}{Q^{2}}}+{\frac {h}{2}}}

Resolviendo Q obtenemos Q* (la cantidad de pedido óptima):

Q ∗ 2 = 2 D K yo {\displaystyle Q^{*2}={\frac {2DK}{h}}}

Por lo tanto:

Cantidad económica de pedido

Q ∗ = 2 D K yo {\displaystyle Q^{*}={\sqrt {\frac {2DK}{h}}}}

Q* es independiente de P; es función sólo de K, D, h.

El valor óptimo Q* también se puede encontrar reconociendo que

yo = D K Q + yo Q 2 + PAG D = yo 2 Q ( Q − 2 D K / yo ) 2 + 2 yo D K + PAG D , {\displaystyle T={\frac {DK}{Q}}+{\frac {hQ}{2}}+PD={\frac {h}{2Q}}(Q-{\sqrt {2DK/h}})^{2}+{\sqrt {2hDK}}+PD,}

donde el término cuadrático no negativo desaparece, lo que proporciona el costo mínimo Q = 2 D K / yo , {\textstyle Q={\sqrt {2DK/h}},} yo metro i norte = 2 yo D K + PAG D . {\displaystyle T_{min}={\sqrt {2hDK}}+PD.}

Ejemplo

  • Cantidad requerida anual (D) = 10000 unidades
  • Coste por pedido (K) = 40
  • Costo por unidad (P)= 50
  • Costo de mantenimiento anual por unidad = 4
  • Interés del mercado = 2%

Cantidad económica de pedido = = 400 unidades 2 D ⋅ K yo {\displaystyle {\sqrt {\frac {2D\cdot K}{h}}}} = 2 ⋅ 10000 ⋅ 40 4 + 50 ⋅ 2 % = 2 ⋅ 10000 ⋅ 40 5 {\displaystyle ={\sqrt {\frac {2\cdot 10000\cdot 40}{4+50\cdot 2\%}}}={\sqrt {\frac {2\cdot 10000\cdot 40}{5}}}}

Número de pedidos por año (según EOQ) = 10000 400 = 25 {\displaystyle ={\frac {10000}{400}}=25}

Costo total = PAG ⋅ D + K ( D / mi Oh Q ) + yo ( mi Oh Q / 2 ) {\displaystyle =P\cdot D+K(D/EOQ)+h(EOQ/2)}

Costo total = 50 ⋅ 10000 + 40 ⋅ ( 10000 / 400 ) + 5 ⋅ ( 400 / 2 ) = 502000 {\displaystyle =50\cdot 10000+40\cdot (10000/400)+5\cdot (400/2)=502000}

Si verificamos el costo total de cualquier cantidad de pedido distinta de 400 (=EOQ), veremos que el costo es mayor. Por ejemplo, suponiendo 500 unidades por pedido, entonces

Costo total = 50 ⋅ 10000 + 40 ⋅ ( 10000 / 500 ) + 5 ⋅ ( 500 / 2 ) = 502050 {\displaystyle =50\cdot 10000+40\cdot (10000/500)+5\cdot (500/2)=502050}

De manera similar, si elegimos 300 como cantidad de pedido, entonces

Costo total = 50 ⋅ 10000 + 40 ⋅ ( 10000 / 300 ) + 5 ⋅ ( 300 / 2 ) = 502083.33 {\displaystyle =50\cdot 10000+40\cdot (10000/300)+5\cdot (300/2)=502083.33}

Esto demuestra que la cantidad económica del pedido siempre es lo mejor para los intereses de la empresa.

Extensiones del modelo EOQ

Descuentos por cantidad

Una extensión importante del modelo EOQ es la incorporación de descuentos por cantidad. Existen dos tipos principales de descuentos por cantidad: (1) por todas las unidades y (2) incrementales. [2] [3] A continuación se presenta un ejemplo numérico:

  • Descuento por unidad incremental: las unidades 1 a 100 cuestan $30 cada una; las unidades 101 a 199 cuestan $28 cada una; las unidades 200 y superiores cuestan $26 cada una. Por lo tanto, cuando se piden 150 unidades, el costo total es $30*100 + $28*50.
  • Descuento por todas las unidades: un pedido de 1 a 1000 unidades cuesta $50 cada una; un pedido de 1001 a 5000 unidades cuesta $45 cada una; un pedido de más de 5000 unidades cuesta $40 cada una. Por lo tanto, cuando se piden 1500 unidades, el costo total es $45*1500.

Para encontrar la cantidad de pedido óptima bajo diferentes esquemas de descuento por cantidad, se deben utilizar algoritmos; estos algoritmos se desarrollan bajo el supuesto de que la política de EOQ sigue siendo óptima con descuentos por cantidad. Perera et al. (2017) [4] establecen esta optimalidad y caracterizan completamente la optimalidad (s,S) dentro del entorno de EOQ bajo estructuras de costos generales.

Diseño de programas de descuento por cantidad óptima

En presencia de un cliente estratégico, que responde óptimamente a los programas de descuentos, el diseño de un plan de descuentos por cantidad óptima por parte del proveedor es complejo y debe realizarse con cuidado. Esto es particularmente así cuando la demanda del cliente es en sí misma incierta. Se produce un efecto interesante llamado "látigo inverso", en el que un aumento en la incertidumbre de la demanda del consumidor en realidad reduce la incertidumbre sobre la cantidad de pedidos del proveedor. [5]

Costos de pedidos pendientes y artículos múltiples

Se pueden realizar varias ampliaciones al modelo EOQ, incluidos los costos de pedidos pendientes [6] y de artículos múltiples. En el caso de que se permitan pedidos pendientes, los costos de mantenimiento de inventario por ciclo son: [7]

I do ∫ 0 yo 1 ( Q − s − la a ) d a = I do 2 la ( Q − s ) 2 , {\displaystyle IC\int \limits _{0}^{T_{1}}(Qs-\lambda t)\,dt={\frac {IC}{2\lambda }}(Qs)^{2},}

donde s es el número de pedidos pendientes cuando se entrega la cantidad de pedido Q y es la tasa de demanda. El costo de pedidos pendientes por ciclo es: la {\estilo de visualización \lambda}

π s + π ^ ∫ 0 yo 2 la a d a = π s + 1 2 π ^ la yo 2 2 = π s + π ^ s 2 2 la , {\displaystyle \pi s+{\hat {\pi }}\int \limits _{0}^{T_{2}}\lambda tdt=\pi s+{\frac {1}{2}}{\hat {\pi }}\lambda T_{2}^{2}=\pi s+{\frac {{\hat {\pi }}s^{2}}{2\lambda }},}

donde y son los costos de pedidos pendientes, , siendo T la duración del ciclo y . El costo variable anual promedio es la suma de los costos de pedidos, los costos de mantenimiento de inventario y los costos de pedidos pendientes: π {\estilo de visualización \pi} π ^ {\displaystyle {\hat {\pi }}} yo 2 = yo − yo 1 Estilo de visualización T_{2}=T-T_{1} yo 1 = ( Q − s ) / la {\displaystyle T_{1}=(Qs)/\lambda}

K = la Q A + 1 2 Q I do ( Q − s ) 2 + 1 Q [ π la s + 1 2 π ^ s 2 ] {\displaystyle {\mathcal {K}}={\frac {\lambda }{Q}}A+{\frac {1}{2Q}}IC(Qs)^{2}+{\frac {1}{Q}}[\pi \lambda s+{\frac {1}{2}}{\hat {\pi }}s^{2}]}

Para minimizar imponer las derivadas parciales iguales a cero: K {\displaystyle {\mathcal {K}}}

∂ K ∂ Q = − 1 Q 2 [ la A + 1 2 I do ( Q − s ) 2 + π la s + 1 2 π ^ s 2 ] + I do Q ( Q − s ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial Q}}=-{\frac {1}{Q^{2}}}\left[{\lambda }A+{\frac {1}{2}}IC(Q-s)^{2}+\pi \lambda s+{\frac {1}{2}}{\hat {\pi }}s^{2}\right]+{\frac {IC}{Q}}(Q-s)=0}
∂ K ∂ s = − I C Q ( Q − s ) + 1 Q π λ + 1 Q π ^ s = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial s}}=-{\frac {IC}{Q}}(Q-s)+{\frac {1}{Q}}\pi \lambda +{\frac {1}{Q}}{\hat {\pi }}s=0}

Sustituyendo la segunda ecuación en la primera se obtiene la siguiente ecuación cuadrática :

[ π ^ 2 + π ^ I C ] s 2 + 2 π π ^ λ s + ( π λ ) 2 − 2 λ A I C = 0 {\displaystyle [{\hat {\pi }}^{2}+{\hat {\pi }}IC]s^{2}+2\pi {\hat {\pi }}\lambda s+(\pi \lambda )^{2}-2\lambda AIC=0}

Si s=0 o es óptimo. En el primer caso, el lote óptimo viene dado por la fórmula clásica de EOQ, en el segundo caso nunca se hace un pedido y el costo anual mínimo viene dado por . Si o es óptimo, si entonces no debería haber ningún sistema de inventario. Si al resolver la ecuación cuadrática anterior se obtiene: π ^ = 0 {\displaystyle {\hat {\pi }}=0} s = ∞ {\displaystyle s=\infty } π λ {\displaystyle \pi \lambda } π > 2 A I C λ = δ {\displaystyle \pi >{\sqrt {\frac {2AIC}{\lambda }}}=\delta } π λ > K w {\displaystyle \pi \lambda >K_{w}} s ∗ = 0 {\displaystyle s^{*}=0} π < δ {\displaystyle \pi <\delta } π ^ ≠ 0 {\displaystyle {\hat {\pi }}\neq 0}

s ∗ = [ π ^ + I C ] − 1 ( − π λ + [ ( 2 λ A I C ) ( 1 + I C π ^ ) − I C π ^ ( π λ ) 2 ] 1 / 2 ) {\displaystyle s^{*}=[{\hat {\pi }}+IC]^{-1}\left(-\pi \lambda +\left[(2\lambda AIC)\left(1+{\frac {IC}{\hat {\pi }}}\right)-{\frac {IC}{\hat {\pi }}}(\pi \lambda )^{2}\right]^{1/2}\right)}
Q ∗ = [ π ^ + I C π ^ ] 1 / 2 [ 2 λ A I C − ( π λ ) 2 I C ( π ^ + I C ) ] 1 / 2 {\displaystyle Q^{*}=\left[{\frac {{\hat {\pi }}+IC}{\hat {\pi }}}\right]^{1/2}\left[{\frac {2\lambda A}{IC}}-{\frac {(\pi \lambda )^{2}}{IC({\hat {\pi }}+IC)}}\right]^{1/2}}

Si hay pedidos pendientes , el punto de reorden es: ; donde m es el entero más grande y μ el tiempo de entrega demandado. r h ∗ = μ − m Q ∗ − s ∗ {\displaystyle r_{h}^{*}=\mu -mQ^{*}-s^{*}} m ≤ τ T {\displaystyle m\leq {\frac {\tau }{T}}}

Además, el intervalo de orden económico [8] se puede determinar a partir del EOQ y el modelo de cantidad de producción económica (que determina la cantidad de producción óptima) se puede determinar de manera similar.

También se ha utilizado una versión del modelo, el modelo Baumol-Tobin , para determinar la función de demanda de dinero , donde las tenencias de saldos monetarios de una persona pueden verse de manera paralela a las tenencias de inventario de una empresa. [9]

Malakooti (2013) [10] introdujo los modelos EOQ multicriterio donde los criterios podrían ser minimizar el costo total, la cantidad del pedido (inventario) y la escasez.

Trippi y Lewin desarrollaron una versión que tiene en cuenta el valor temporal del dinero. [11]

Calidad imperfecta

Otra extensión importante del modelo EOQ es considerar los artículos con calidad imperfecta. Salameh y Jaber (2000) fueron los primeros en estudiar los artículos imperfectos en un modelo EOQ de manera muy exhaustiva. Consideraron un problema de inventario en el que la demanda es determinista y hay una fracción de artículos imperfectos en el lote que son seleccionados por el comprador y vendidos por él al final del círculo a un precio de descuento. [12]

Críticas

El modelo EOQ y su modelo hermano, el modelo de cantidad de producción económica (EPQ), han sido criticados por "su conjunto restrictivo de supuestos". [13] Guga y Musa utilizan el modelo para un estudio de caso empresarial albanés y concluyen que el modelo es "perfecto teóricamente, pero no muy adecuado desde la perspectiva práctica de esta empresa". [14] Sin embargo, James Cargal señala que la fórmula se desarrolló cuando los cálculos empresariales se realizaban "a mano", o utilizando tablas logarítmicas o una regla de cálculo . El uso de hojas de cálculo y software especializado permite una mayor versatilidad en el uso de la fórmula y la adopción de "supuestos que son más realistas" que en el modelo original. [15] [ fuente autopublicada ]

Véase también

Referencias

  1. ^ Hax, AC; Candea, D. (1984), Gestión de producción y operaciones, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, pág. 135, ISBN 9780137248803
  2. ^ Nahmias, Steven (2005). Análisis de producción y operaciones . McGraw Hill Higher Education.[ página necesaria ]
  3. ^ Zipkin, Paul H, Fundamentos de la gestión de inventarios, McGraw Hill 2000 [ página necesaria ]
  4. ^ Perera, Sandun; Janakiraman, Ganesh; Niu, Shun-Chen (2017). "Optimalidad de las políticas (s,S) en modelos EOQ con estructuras de costos generales". Revista Internacional de Economía de la Producción . 187 : 216–228. doi :10.1016/j.ijpe.2016.09.017.
  5. ^ Altintas, Nihat; Erhun, Feryal; Tayur, Sridhar (2008). "Descuentos por cantidad bajo incertidumbre de la demanda". Management Science . 54 (4): 777–92. doi :10.1287/mnsc.1070.0829. JSTOR  20122426.
  6. ^ Perera, Sandun; Janakiraman, Ganesh; Niu, Shun-Chen (2017). "Optimalidad de las políticas (s,S) en modelos EOQ con estructuras de costos generales". Revista Internacional de Economía de la Producción . 187 : 216–228. doi :10.1016/j.ijpe.2016.09.017.
  7. ^ T. Whitin , G. Hadley, Análisis de sistemas de inventario, Prentice Hall 1963
  8. ^ Goyal, SK (1987). "Un método heurístico simple para determinar el intervalo de orden económico para la demanda lineal". Costos de ingeniería y economía de la producción . 11 : 53–57. doi :10.1016/0167-188X(87)90025-5.
  9. ^ Caplin, Andrew; Leahy, John (2010). "Teoría económica y el mundo de la práctica: una celebración del modelo (s, S)". Revista de perspectivas económicas . 24 (1): 183–201. CiteSeerX 10.1.1.730.8784 . doi :10.1257/jep.24.1.183. JSTOR  25703488. 
  10. ^ Malakooti, ​​B (2013). Sistemas de producción y operaciones con objetivos múltiples . John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-58537-5.[ página necesaria ]
  11. ^ Trippi, Robert R.; Lewin, Donald E. (1974). "Una formulación del valor presente del problema Eoq clásico". Decision Sciences . 5 (1): 30–35. doi :10.1111/j.1540-5915.1974.tb00592.x.
  12. ^ Salameh, MK; Jaber, MY (marzo de 2000). "Modelo económico de cantidad de producción para artículos con calidad imperfecta". Revista Internacional de Economía de la Producción . 64 (1–3): 59–64. doi :10.1016/s0925-5273(99)00044-4. ISSN  0925-5273.
  13. ^ Tao, Z., AL Guiffrida y MD Troutt, "Un modelo económico de producción/cantidad de pedidos basado en costos ecológicos", en Actas del 1.er Simposio internacional anual de Kent State sobre cadenas de suministro ecológicas , Canton, Ohio, EE. UU., 29 y 30 de julio de 2010
  14. ^ Guga, E. y Musa, O. (2015) en Gestión de inventarios a través del modelo EOQ, International Journal of Economics, Commerce & Management , vol. III, número 12, diciembre de 2015, consultado el 9 de febrero de 2024
  15. ^ Cargal, JM (2003), The EOQ Formula, Troy University , consultado el 9 de febrero de 2024

Lectura adicional

  • Harris, Ford W. Costos de operación (serie de administración de fábricas), Chicago: Shaw (1915)
  • Harris, Ford W. (1913). "Cuántas piezas se deben fabricar a la vez". Factory, la revista de gestión . 10 : 135–136, 152.
  • Camp, WE "Determinación de la cantidad de la orden de producción", Ingeniería de gestión, 1922
  • Wilson, RH (1934). "Una rutina científica para el control de existencias". Harvard Business Review . 13 : 116–28.
  • Plossel, George. Planificación de los requisitos de material de Orlicky. Segunda edición. McGraw Hill. 1984. (Primera edición, 1975)
  • Erlenkotter, Donald (2014). "Modelo de tamaño de lote económico de Ford Whitman Harris". Revista Internacional de Economía de la Producción . 155 : 12–15. doi :10.1016/j.ijpe.2013.12.008. S2CID  153794306.
  • Perera, Sandun; Janakiraman, Ganesh; Niu, Shun-Chen (2017). "Optimalidad de las políticas (s,S) en modelos EOQ con estructuras de costos generales". Revista Internacional de Economía de la Producción . 187 : 216–228. doi :10.1016/j.ijpe.2016.09.017.
  • Perera, Sandun; Janakiraman, Ganesh; Niu, Shun-Chen (2018). "Optimalidad de las políticas de inventario (s, S) bajo demanda de renovación y estructuras de costos generales". Gestión de producción y operaciones . 27 (2): 368–383. doi :10.1111/poms.12795. hdl : 2027.42/142450 .
  • Tsan-Ming Choi (Ed.) Manual de problemas de inventario EOQ: modelos y aplicaciones estocásticos y deterministas, Springer's International Series in Operations Research and Management Science, 2014. doi :10.1007/978-1-4614-7639-9.
  • Ventura, Robert; Samuel, Stephen (2016). "Optimización de la inyección de combustible en motores GDI utilizando la cantidad de pedido económica y la función W de Lambert". Ingeniería térmica aplicada . 101 : 112–20. doi :10.1016/j.applthermaleng.2016.02.024.
  • Demanda de renovación y optimalidad (s, S) por Perera, Janakiraman y Niu [1]
  • El modelo EOQ
  • Piasecki, D., vol. III, Número 12, diciembre de 2015
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