Número dual

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En álgebra , los números duales son un sistema numérico hipercomplejo introducido por primera vez en el siglo XIX. Son expresiones de la forma a + bε , donde a y b son números reales y ε es un símbolo que se toma para satisfacer con .${\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}$${\displaystyle \varepsilon \neq 0}$

Los números duales se pueden sumar componente por componente y multiplicar por la fórmula

${\displaystyle (a+b) (c+d) = ac+(ad+bc)\varepsilon ,}$

lo cual se deduce de la propiedad ε ² = 0 y del hecho de que la multiplicación es una operación bilineal .

Los números duales forman un álgebra conmutativa de dimensión dos sobre los reales, y también un anillo local artiniano . Son uno de los ejemplos más simples de un anillo que tiene elementos nilpotentes distintos de cero .

Los números duales fueron introducidos en 1873 por William Clifford y fueron utilizados a principios del siglo XX por el matemático alemán Eduard Study , quien los utilizó para representar el ángulo dual que mide la posición relativa de dos líneas oblicuas en el espacio. Study definió un ángulo dual como θ + dε , donde θ es el ángulo entre las direcciones de dos líneas en el espacio tridimensional y d es la distancia entre ellas. La generalización n -dimensional, el número de Grassmann , fue introducida por Hermann Grassmann a finales del siglo XIX.

En el álgebra moderna , el álgebra de números duales se define a menudo como el cociente de un anillo polinomial sobre los números reales por el ideal principal generado por el cuadrado del indeterminado , es decir${\displaystyle (\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\left\langle X^{2}\right\rangle .}$

También puede definirse como el álgebra exterior de un espacio vectorial unidimensional que tiene como elemento base.${\estilo de visualización \varepsilon}$

La división de números duales se define cuando la parte real del denominador no es cero. El proceso de división es análogo a la división compleja en el sentido de que el denominador se multiplica por su conjugado para cancelar las partes no reales.

Por lo tanto, para evaluar una expresión de la forma

${\displaystyle {\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}}$

multiplicamos el numerador y denominador por el conjugado del denominador:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}&={\frac {(a+b\varepsilon )(cd\varepsilon )}{(c+d\varepsilon )(cd\varepsilon )}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -bd\varepsilon ^{2}}{c^{2}+cd\varepsilon -cd\varepsilon -d^{2}\varepsilon ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -0}{c^{2}-0}}\\[5pt]&={\frac {ac+\varepsilon (bc-ad)}{c^{2}}}\\[5pt]&={\frac {a}{c}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}}}\varepsilon \end{alineado}}}$

que se define cuando c no es cero .

Si, por otra parte, c es cero mientras que d no lo es, entonces la ecuación

${\displaystyle {a+b\varepsilon =(x+y\varepsilon )d\varepsilon }={xd\varepsilon +0}}$

1. no tiene solución si a es distinto de cero
2. se resuelve de otra manera mediante cualquier número dual de la formab/d⁠ + yε .

Esto significa que la parte no real del "cociente" es arbitraria y, por lo tanto, la división no está definida para números duales puramente no reales. De hecho, son (trivialmente) divisores de cero y forman claramente un ideal del álgebra asociativa (y, por lo tanto, del anillo ) de los números duales.

El número dual se puede representar mediante la matriz cuadrada . En esta representación, la matriz se eleva al cuadrado de la matriz cero, correspondiente al número dual .${\displaystyle a+b\varepsilon }$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \varepsilon }$

Existen otras formas de representar números duales como matrices cuadradas. Consisten en representar el número dual por la matriz identidad , y por cualquier matriz cuyo cuadrado sea la matriz cero; es decir, en el caso de matrices 2×2 , cualquier matriz distinta de cero de la forma${\displaystyle 1}$${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}}$

con ^[1]${\displaystyle a^{2}+bc=0.}$

Una aplicación de los números duales es la diferenciación automática . Cualquier polinomio

${\displaystyle P(x)=p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+\cdots +p_{n}x^{n}}$

con coeficientes reales se puede extender a una función de un argumento con valor numérico dual,

${\displaystyle {\begin{aligned}P(a+b\varepsilon )&=p_{0}+p_{1}(a+b\varepsilon )+\cdots +p_{n}(a+b\varepsilon )^{n}\\[2mu]&=p_{0}+p_{1}a+p_{2}a^{2}+\cdots +p_{n}a^{n}+p_{1}b\varepsilon +2p_{2}ab\varepsilon +\cdots +np_{n}a^{n-1}b\varepsilon \\[5mu]&=P(a)+bP'(a)\varepsilon ,\end{aligned}}}$

¿Dónde está la derivada de?${\displaystyle P'}$${\displaystyle P.}$

De manera más general, cualquier función real (analítica) puede extenderse a los números duales a través de su serie de Taylor :

${\displaystyle f(a+b\varepsilon )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)b^{n}\varepsilon ^{n}}{n!}}=f(a)+bf'(a)\varepsilon ,}$

ya que todos los términos que involucran ε ² o potencias mayores son trivialmente 0 por la definición de ε .

Al calcular las composiciones de estas funciones sobre los números duales y examinar el coeficiente de ε en el resultado, descubrimos que hemos calculado automáticamente la derivada de la composición.

Un método similar funciona para polinomios de n variables, utilizando el álgebra exterior de un espacio vectorial n -dimensional.

El "círculo unitario" de los números duales está formado por aquellos con a = ±1, ya que estos satisfacen zz * = 1 donde z * = a − bε . Sin embargo, tenga en cuenta que

${\displaystyle e^{b\varepsilon }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(b\varepsilon \right)^{n}}{n!}}=1+b\varepsilon ,}$

Por lo tanto, el mapa exponencial aplicado al eje ε cubre sólo la mitad del "círculo".

Sea z = a + bε . Si a ≠ 0 y m = ⁠b/a⁠ , entonces z = a (1 + mε ) es la descomposición polar del número dual z , y la pendiente m es su parte angular. El concepto de una rotación en el plano del número dual es equivalente a una aplicación de cizallamiento vertical ya que (1 + pε )(1 + qε ) = 1 + ( p + q ) ε .

En el espacio y tiempo absolutos la transformación galileana

${\displaystyle \left(t',x'\right)=(t,x){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}\,,}$

eso es

${\displaystyle t'=t,\quad x'=vt+x,}$

relaciona el sistema de coordenadas en reposo con un marco de referencia en movimiento de velocidad v . Con números duales t + xε que representan eventos a lo largo de una dimensión espacial y temporal, se efectúa la misma transformación con la multiplicación por 1 + vε .

Dados dos números duales p y q , determinan el conjunto de z tal que la diferencia de pendientes ("ángulo galileano") entre las líneas de z a p y q es constante. Este conjunto es un ciclo en el plano de los números duales; dado que la ecuación que fija la diferencia de pendientes de las líneas en una constante es una ecuación cuadrática en la parte real de z , un ciclo es una parábola . La "rotación cíclica" del plano de los números duales ocurre como un movimiento de su línea proyectiva. Según Isaak Yaglom , ^{[2] : 92–93} el ciclo Z = { z  : y = αx ² } es invariante bajo la composición de la fuerza cortante

${\displaystyle x_{1}=x,\quad y_{1}=vx+y}$

Con la traducción

${\displaystyle x'=x_{1}={\frac {v}{2a}},\quad y'=y_{1}+{\frac {v^{2}}{4a}}.}$

Los números duales encuentran aplicaciones en mecánica , en particular para la síntesis cinemática. Por ejemplo, los números duales permiten transformar las ecuaciones de entrada/salida de un mecanismo esférico de cuatro barras, que incluye solo articulaciones rotoides, en un mecanismo espacial de cuatro barras (rotoide, rotoide, rotoide, cilíndrico). Los ángulos dualizados están formados por una parte primitiva, los ángulos, y una parte dual, que tiene unidades de longitud. ^[3] Véase la teoría de tornillos para más información.

En la geometría algebraica moderna , los números duales sobre un cuerpo (por lo que nos referimos al anillo ) pueden usarse para definir los vectores tangentes a los puntos de un esquema . [ ^4] Dado que el cuerpo puede elegirse intrínsecamente, es posible hablar simplemente de los vectores tangentes a un esquema. Esto permite importar nociones de geometría diferencial a la geometría algebraica.${\displaystyle k}$${\displaystyle k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

En detalle: el anillo de números duales puede considerarse como el anillo de funciones en la "vecindad de primer orden de un punto", es decir, el esquema - . ^[4] Entonces, dado un esquema - , los puntos del esquema están en correspondencia 1-1 con los mapas , mientras que los vectores tangentes están en correspondencia 1-1 con los mapas .${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2}))}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \operatorname {Spec} k\to X}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2}))\to X}$

El campo anterior puede elegirse intrínsecamente como un campo de residuos . Es decir: dado un punto en un esquema , considere el tallo . Observe que es un anillo local con un ideal máximo único , que se denota . Entonces, simplemente sea .${\displaystyle k}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{x}}$${\displaystyle S_{x}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$${\displaystyle k=S_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}}$

Esta construcción puede realizarse de forma más general: para un anillo conmutativo R se pueden definir los números duales sobre R como el cociente del anillo polinómico R [ X ] por el ideal ( X ² ) : la imagen de X tiene entonces cuadrado igual a cero y corresponde al elemento ε de arriba.

Existe una construcción más general de los números duales. Dado un anillo conmutativo y un módulo , existe un anillo llamado anillo de números duales que tiene las siguientes estructuras:${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R[M]}$

Es el módulo con la multiplicación definida por para y${\displaystyle R}$${\displaystyle R\oplus M}$${\displaystyle (r,i)\cdot \left(r',i'\right)=\left(rr',ri'+r'i\right)}$${\displaystyle r,r'\in R}$${\displaystyle i,i'\in I.}$

El álgebra de números duales es el caso especial donde y${\displaystyle M=R}$${\displaystyle \varepsilon =(0,1).}$

Los números duales encuentran aplicaciones en física , donde constituyen uno de los ejemplos no triviales más simples de un superespacio . Equivalentemente, son supernúmeros con un solo generador; los supernúmeros generalizan el concepto a n generadores distintos ε , cada uno anticonmutativo, posiblemente llevando n a infinito. El superespacio generaliza ligeramente los supernúmeros, al permitir múltiples dimensiones conmutativas.

La motivación para introducir los números duales en la física se deriva del principio de exclusión de Pauli para los fermiones. La dirección a lo largo de ε se denomina dirección "fermiónica", y el componente real se denomina dirección "bosónica". La dirección fermiónica recibe este nombre del hecho de que los fermiones obedecen al principio de exclusión de Pauli: bajo el intercambio de coordenadas, la función de onda mecánica cuántica cambia de signo y, por lo tanto, se desvanece si se juntan dos coordenadas; esta idea física se captura mediante la relación algebraica  ε ² = 0 .

La idea de una línea proyectiva sobre números duales fue propuesta por Grünwald ^[5] y Corrado Segre . ^[6]

Así como la esfera de Riemann necesita un punto de polo norte en el infinito para cerrar la línea proyectiva compleja , una línea en el infinito logra cerrar el plano de números duales en un cilindro . ^{[2] : 149–153}

Supóngase que D es el anillo de números duales x + yε y U es el subconjunto con x ≠ 0 . Entonces U es el grupo de unidades de D . Sea B = {( a , b ) ∈ D × D  : a ∈ U o b ∈ U} . Una relación se define en B como sigue: ( a , b ) ~ ( c , d ) cuando hay una u en U tal que ua = c y ub = d . Esta relación es de hecho una relación de equivalencia . Los puntos de la línea proyectiva sobre D son clases de equivalencia en B bajo esta relación: P ( D ) = B /~ . Se representan con coordenadas proyectivas [ a , b ] .

Considere la incrustación D → P ( D ) por z → [ z , 1] . Entonces los puntos [1, n ] , para n ² = 0 , están en P ( D ) pero no son la imagen de ningún punto bajo la incrustación. P ( D ) se mapea sobre un cilindro por proyección : Tome un cilindro tangente al plano de números dobles en la línea { yε  : y ∈ R } , ε ² = 0 . Ahora tome la línea opuesta en el cilindro para el eje de un lápiz de planos. Los planos que intersecan el plano de números duales y el cilindro proporcionan una correspondencia de puntos entre estas superficies. El plano paralelo al plano de números duales corresponde a los puntos [1, n ] , n ² = 0 en la línea proyectiva sobre números duales.

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