Doblado

Parte de una serie sobre
Mecánica de medios continuos
${\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi }{dx}}}$ Leyes de difusión de Fick
Leyes Conservaciones Masa Impulso Energía Desigualdades Clausius-Duhem (entropía)
Mecánica de sólidos Deformación Elasticidad lineal Plasticidad Ley de Hooke Estrés Cepa Deformación finita Deformación infinitesimal Compatibilidad Doblado Mecánica de contacto friccional Teoría de la falla del material Mecánica de fracturas
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Rheology Viscoelasticity Rheometry Rheometer Smart fluids Electrorheological Magnetorheological Ferrofluids
Scientists Bernoulli Boyle Cauchy Charles Euler Fick Gay-Lussac Graham Hooke Newton Navier Noll Pascal Stokes Truesdell
v t e

En mecánica aplicada , la flexión (también conocida como flexión ) caracteriza el comportamiento de un elemento estructural esbelto sometido a una carga externa aplicada perpendicularmente a un eje longitudinal del elemento.

Se supone que el elemento estructural es tal que al menos una de sus dimensiones es una fracción pequeña, típicamente 1/10 o menos, de las otras dos. ^[1] Cuando la longitud es considerablemente mayor que el ancho y el espesor, el elemento se denomina viga . Por ejemplo, una barra de armario que se comba bajo el peso de la ropa en perchas es un ejemplo de una viga que experimenta flexión. Por otro lado, una carcasa es una estructura de cualquier forma geométrica donde la longitud y el ancho son del mismo orden de magnitud pero el espesor de la estructura (conocido como la "pared") es considerablemente menor. Un tubo corto de gran diámetro, pero de paredes delgadas, apoyado en sus extremos y cargado lateralmente es un ejemplo de una carcasa que experimenta flexión.

En ausencia de un calificador, el término flexión es ambiguo porque la flexión puede ocurrir localmente en todos los objetos. Por lo tanto, para hacer que el uso del término sea más preciso, los ingenieros se refieren a un objeto específico como; la flexión de varillas , ^[2] la flexión de vigas , ^[1] la flexión de placas , ^[3] la flexión de carcasas ^[2] y así sucesivamente.

Una viga se deforma y se desarrollan tensiones en su interior cuando se le aplica una carga transversal. En el caso cuasiestático, se supone que la cantidad de deflexión por flexión y las tensiones que se desarrollan no cambian con el tiempo. En una viga horizontal apoyada en los extremos y cargada hacia abajo en el medio, el material del lado superior de la viga se comprime mientras que el material del lado inferior se estira. Existen dos formas de tensiones internas causadas por cargas laterales:

• Esfuerzo cortante paralelo a la carga lateral más esfuerzo cortante complementario en planos perpendiculares a la dirección de la carga;
• Esfuerzo de compresión directa en la región superior de la viga, aplicable mayoritariamente a elementos hormigonados con cemento y,
• Esfuerzo de tracción directo , aplicable a elementos de acero, y se encuentra en la región inferior de la viga.

Estas dos últimas fuerzas forman un par o momento, ya que son iguales en magnitud y opuestas en dirección. Este momento de flexión resiste la deformación por flexión característica de una viga que experimenta flexión. La distribución de tensiones en una viga se puede predecir con bastante precisión cuando se utilizan algunas suposiciones simplificadoras. ^[1]

En la teoría de Euler-Bernoulli de vigas esbeltas, un supuesto importante es que "las secciones planas permanecen planas". En otras palabras, no se tiene en cuenta ninguna deformación debida al esfuerzo cortante a lo largo de la sección (no hay deformación por esfuerzo cortante). Además, esta distribución lineal solo es aplicable si la tensión máxima es menor que la tensión de fluencia del material. Para tensiones que exceden la tensión de fluencia, consulte el artículo sobre flexión plástica . En el punto de fluencia, la tensión máxima experimentada en la sección (en los puntos más alejados del eje neutro de la viga) se define como la resistencia a la flexión .

Consideremos vigas en las que se cumplen las siguientes condiciones:

• La viga es originalmente recta y delgada, y cualquier conicidad es leve.
• El material es isótropo (u ortotrópico ), elástico lineal y homogéneo en cualquier sección transversal (pero no necesariamente a lo largo de su longitud).
• Sólo se consideran pequeñas desviaciones.

En este caso, la ecuación que describe la deflexión de la viga ( ) se puede aproximar como:${\displaystyle w}$

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M(x)}{E(x)I(x)}}}$

donde la segunda derivada de su forma desviada con respecto a se interpreta como su curvatura, es el módulo de Young , es el momento de inercia del área de la sección transversal, y es el momento de flexión interno en la viga.${\displaystyle x}$${\displaystyle E}$${\displaystyle I}$${\displaystyle M}$

Si, además, la viga es homogénea a lo largo de su longitud y no cónica (es decir, sección transversal constante), y se desvía bajo una carga transversal aplicada , se puede demostrar que: ^[1]${\displaystyle q(x)}$

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w(x)}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)}$

Esta es la ecuación de Euler-Bernoulli para la flexión de la viga.

Después de obtener una solución para el desplazamiento de la viga, el momento de flexión ( ) y la fuerza cortante ( ) en la viga se pueden calcular utilizando las relaciones${\displaystyle M}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle M(x)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}~;~~Q(x)={\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}.}$

La flexión simple de una viga suele analizarse con la ecuación de vigas de Euler-Bernoulli. Las condiciones para utilizar la teoría de flexión simple son: ^[4]

1. La viga está sometida a flexión pura , es decir, la fuerza cortante es cero y no hay cargas torsionales ni axiales.
2. El material es isótropo (u ortotrópico ) y homogéneo .
3. El material obedece la ley de Hooke (es linealmente elástico y no se deforma plásticamente).
4. La viga es inicialmente recta con una sección transversal constante a lo largo de toda la longitud de la viga.
5. La viga tiene un eje de simetría en el plano de flexión.
6. Las proporciones de la viga son tales que fallaría por doblarse en lugar de por aplastamiento, arrugamiento o pandeo lateral .
7. Las secciones transversales de la viga permanecen planas durante la flexión.

Las fuerzas de compresión y tracción se desarrollan en la dirección del eje de la viga bajo cargas de flexión. Estas fuerzas inducen tensiones en la viga. La tensión de compresión máxima se encuentra en el borde superior de la viga, mientras que la tensión de tracción máxima se encuentra en el borde inferior de la viga. Dado que las tensiones entre estos dos máximos opuestos varían linealmente , existe un punto en la trayectoria lineal entre ellos donde no hay tensión de flexión. El lugar geométrico de estos puntos es el eje neutro. Debido a esta área sin tensión y las áreas adyacentes con baja tensión, el uso de vigas de sección transversal uniforme en flexión no es un medio particularmente eficiente para soportar una carga, ya que no utiliza la capacidad total de la viga hasta que está al borde del colapso. Las vigas de ala ancha ( vigas Ɪ ) y las vigas de celosía abordan eficazmente esta ineficiencia, ya que minimizan la cantidad de material en esta región subesforzada.

La fórmula clásica para determinar la tensión de flexión en una viga bajo flexión simple es: ^[5]

${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {M_{z}y}{I_{z}}}={\frac {M_{z}}{W_{z}}}}$

dónde

• ${\displaystyle {\sigma _{x}}}$es la tensión de flexión
• ${\displaystyle M_{z}}$– el momento sobre el eje neutro
• ${\displaystyle y}$– la distancia perpendicular al eje neutro
• ${\displaystyle I_{z}}$– el segundo momento del área respecto al eje neutro z .
• ${\displaystyle W_{z}}$- el momento de resistencia respecto al eje neutro z .${\displaystyle W_{z}=I_{z}/y}$

La ecuación es válida únicamente cuando la tensión en la fibra extrema (es decir, la parte de la viga más alejada del eje neutro) es inferior a la tensión de fluencia del material del que está construida. Con cargas más altas, la distribución de la tensión se vuelve no lineal y los materiales dúctiles acaban entrando en un estado de articulación plástica en el que la magnitud de la tensión es igual a la tensión de fluencia en todas partes de la viga, con una discontinuidad en el eje neutro en el que la tensión cambia de tracción a compresión. Este estado de articulación plástica se utiliza normalmente como estado límite en el diseño de estructuras de acero.${\displaystyle \sigma ={\tfrac {My}{I_{x}}}}$

La ecuación anterior sólo es válida si la sección transversal es simétrica. Para vigas homogéneas con secciones asimétricas, la tensión de flexión máxima en la viga viene dada por

${\displaystyle \sigma _{x}(y,z)=-{\frac {M_{z}~I_{y}+M_{y}~I_{yz}}{I_{y}~I_{z}-I_{yz}^{2}}}y+{\frac {M_{y}~I_{z}+M_{z}~I_{yz}}{I_{y}~I_{z}-I_{yz}^{2}}}z}$^[6]

donde son las coordenadas de un punto en la sección transversal en el que se debe determinar la tensión como se muestra a la derecha, y son los momentos de flexión sobre los ejes centroide y y z , y son los segundos momentos de área (distintos de los momentos de inercia) sobre los ejes y y z, y es el producto de los momentos de área . Usando esta ecuación es posible calcular la tensión de flexión en cualquier punto en la sección transversal de la viga independientemente de la orientación del momento o la forma de la sección transversal. Tenga en cuenta que no cambian de un punto a otro en la sección transversal.${\displaystyle y,z}$${\displaystyle M_{y}}$${\displaystyle M_{z}}$${\displaystyle I_{y}}$${\displaystyle I_{z}}$${\displaystyle I_{yz}}$${\displaystyle M_{y},M_{z},I_{y},I_{z},I_{yz}}$

Para grandes deformaciones del cuerpo, la tensión en la sección transversal se calcula utilizando una versión ampliada de esta fórmula. En primer lugar, se deben hacer las siguientes suposiciones:

1. Suposición de secciones planas: antes y después de la deformación, la sección considerada del cuerpo permanece plana (es decir, no se arremolina).
2. Las tensiones cortantes y normales en esta sección que son perpendiculares al vector normal de la sección transversal no tienen influencia sobre las tensiones normales que son paralelas a esta sección.

Se deben implementar consideraciones de curvatura grandes cuando el radio de curvatura es menor que diez alturas de sección h:${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho <10h.}$

Con estos supuestos la tensión en gran flexión se calcula como:

${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}+{\frac {M}{\rho A}}+{\frac {M}{{I_{x}}'}}y{\frac {\rho }{\rho +y}}}$

dónde

${\displaystyle F}$es la fuerza normal

${\displaystyle A}$es el área de la sección

${\displaystyle M}$es el momento flector

${\displaystyle \rho }$es el radio de curvatura local (el radio de curvatura en la sección actual)

${\displaystyle {{I_{x}}'}}$es el momento de inercia del área a lo largo del eje x , en el lugar (véase el teorema de Steiner )${\displaystyle y}$

${\displaystyle y}$es la posición a lo largo del eje y en el área de la sección en la que se calcula la tensión.${\displaystyle \sigma }$

Cuando el radio de curvatura se acerca al infinito y , la fórmula original vuelve a ser:${\displaystyle \rho }$${\displaystyle y\ll \rho }$

${\displaystyle \sigma ={F \over A}\pm {\frac {My}{I}}}$.

En 1921, Timoshenko mejoró la teoría de vigas de Euler-Bernoulli añadiendo el efecto del esfuerzo cortante a la ecuación de la viga. Los supuestos cinemáticos de la teoría de Timoshenko son:

• Las normales al eje de la viga permanecen rectas después de la deformación.
• No hay cambios en el espesor de la viga después de la deformación.

Sin embargo, no es necesario que las normales al eje permanezcan perpendiculares al eje después de la deformación.

La ecuación para la flexión cuasiestática de una viga isótropa, homogénea, elástica lineal de sección transversal constante bajo estos supuestos es ^[7]

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{kAG}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

donde es el momento de inercia del área de la sección transversal, es el área de la sección transversal, es el módulo de corte , es un factor de corrección de corte y es una carga transversal aplicada. Para materiales con coeficientes de Poisson ( ) cercanos a 0,3, el factor de corrección de corte para una sección transversal rectangular es aproximadamente${\displaystyle I}$${\displaystyle A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle k}$${\displaystyle q(x)}$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle k={\cfrac {5+5\nu }{6+5\nu }}}$

La rotación ( ) de la normal se describe mediante la ecuación${\displaystyle \varphi (x)}$

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}=-{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\cfrac {q(x)}{kAG}}}$

El momento flector ( ) y la fuerza cortante ( ) están dados por${\displaystyle M}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle M(x)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}~;~~Q(x)=kAG\left({\cfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}-\varphi \right)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} x^{2}}}={\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}}$

Según las teorías de Euler-Bernoulli, Timoshenko u otras teorías de flexión, las vigas sobre cimientos elásticos pueden explicarse. En algunas aplicaciones, como vías ferroviarias, cimientos de edificios y máquinas, barcos sobre el agua, raíces de plantas, etc., la viga sometida a cargas se apoya sobre cimientos elásticos continuos (es decir, las reacciones continuas debidas a la carga externa se distribuyen a lo largo de la longitud de la viga) ^{[8] [9] [10] [11]}

La flexión dinámica de las vigas, ^[12] también conocida como vibraciones flexionales de las vigas, fue investigada por primera vez por Daniel Bernoulli a finales del siglo XVIII. La ecuación de movimiento de Bernoulli de una viga vibrante tendía a sobreestimar las frecuencias naturales de las vigas y fue mejorada marginalmente por Rayleigh en 1877 mediante la adición de una rotación en el plano medio. En 1921, Stephen Timoshenko mejoró aún más la teoría al incorporar el efecto del esfuerzo cortante en la respuesta dinámica de las vigas en flexión. Esto permitió que la teoría se utilizara para problemas que involucraban altas frecuencias de vibración donde la teoría dinámica de Euler-Bernoulli es inadecuada. Las teorías de Euler-Bernoulli y Timoshenko para la flexión dinámica de las vigas continúan siendo ampliamente utilizadas por los ingenieros.

La ecuación de Euler-Bernoulli para la flexión dinámica de vigas delgadas, isótropas y homogéneas de sección transversal constante bajo una carga transversal aplicada es ^[7]${\displaystyle q(x,t)}$

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=q(x,t)}$

donde es el módulo de Young, es el momento de inercia del área de la sección transversal, es la desviación del eje neutro de la viga y es la masa por unidad de longitud de la viga.${\displaystyle E}$${\displaystyle I}$${\displaystyle w(x,t)}$${\displaystyle m}$

Para la situación en la que no hay carga transversal sobre la viga, la ecuación de flexión toma la forma

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=0}$

Las vibraciones armónicas libres del haz pueden entonces expresarse como

${\displaystyle w(x,t)={\text{Re}}[{\hat {w}}(x)~e^{-i\omega t}]\quad \implies \quad {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}~w(x,t)}$

y la ecuación de flexión se puede escribir como

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}-m\omega ^{2}{\hat {w}}=0}$

La solución general de la ecuación anterior es

${\displaystyle {\hat {w}}=A_{1}\cosh(\beta x)+A_{2}\sinh(\beta x)+A_{3}\cos(\beta x)+A_{4}\sin(\beta x)}$

¿Dónde están las constantes y${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}}$${\displaystyle \beta :=\left({\cfrac {m}{EI}}~\omega ^{2}\right)^{1/4}}$

Las formas modales de una viga Ɪ en voladizo

En 1877, Rayleigh propuso una mejora a la teoría dinámica de vigas de Euler-Bernoulli al incluir el efecto de la inercia rotacional de la sección transversal de la viga. Timoshenko mejoró esa teoría en 1922 al agregar el efecto del esfuerzo cortante a la ecuación de la viga. Las deformaciones por esfuerzo cortante de la normal a la superficie media de la viga están permitidas en la teoría de Timoshenko-Rayleigh.

La ecuación para la flexión de una viga isótropa, homogénea, elástica lineal de sección transversal constante bajo estos supuestos es ^{[7] [13]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&EI~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\frac {EIm}{kAG}}\right){\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\frac {Jm}{kAG}}~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}\\[6pt]={}&q(x,t)+{\frac {J}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\frac {EI}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}}$

donde es el momento polar de inercia de la sección transversal, es la masa por unidad de longitud de la viga, es la densidad de la viga, es el área de la sección transversal, es el módulo de corte y es un factor de corrección de corte . Para materiales con coeficientes de Poisson ( ) cercanos a 0,3, el factor de corrección de corte es aproximadamente${\displaystyle J={\tfrac {mI}{A}}}$${\displaystyle m=\rho A}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}k&={\frac {5+5\nu }{6+5\nu }}\quad {\text{rectangular cross-section}}\\[6pt]&={\frac {6+12\nu +6\nu ^{2}}{7+12\nu +4\nu ^{2}}}\quad {\text{circular cross-section}}\end{aligned}}}$

Para vibraciones armónicas libres, las ecuaciones de Timoshenko-Rayleigh toman la forma

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}+m\omega ^{2}\left({\cfrac {J}{m}}+{\cfrac {EI}{kAG}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{2}}}+m\omega ^{2}\left({\cfrac {\omega ^{2}J}{kAG}}-1\right)~{\hat {w}}=0}$

Esta ecuación se puede resolver observando que todas las derivadas de deben tener la misma forma para cancelarse y, por lo tanto, se puede esperar una solución de la forma. Esta observación conduce a la ecuación característica${\displaystyle w}$${\displaystyle e^{kx}}$

${\displaystyle \alpha ~k^{4}+\beta ~k^{2}+\gamma =0~;~~\alpha :=EI~,~~\beta :=m\omega ^{2}\left({\cfrac {J}{m}}+{\cfrac {EI}{kAG}}\right)~,~~\gamma :=m\omega ^{2}\left({\cfrac {\omega ^{2}J}{kAG}}-1\right)}$

Las soluciones de esta ecuación cuártica son

${\displaystyle k_{1}=+{\sqrt {z_{+}}}~,~~k_{2}=-{\sqrt {z_{+}}}~,~~k_{3}=+{\sqrt {z_{-}}}~,~~k_{4}=-{\sqrt {z_{-}}}}$

dónde

${\displaystyle z_{+}:={\cfrac {-\beta +{\sqrt {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}}{2\alpha }}~,~~z_{-}:={\cfrac {-\beta -{\sqrt {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}}{2\alpha }}}$

La solución general de la ecuación de la viga de Timoshenko-Rayleigh para vibraciones libres se puede escribir entonces como

${\displaystyle {\hat {w}}=A_{1}~e^{k_{1}x}+A_{2}~e^{-k_{1}x}+A_{3}~e^{k_{3}x}+A_{4}~e^{-k_{3}x}}$

La característica que define a las vigas es que una de sus dimensiones es mucho mayor que las otras dos. Una estructura se denomina placa cuando es plana y una de sus dimensiones es mucho menor que las otras dos. Existen varias teorías que intentan describir la deformación y la tensión en una placa bajo cargas aplicadas, dos de las cuales se han utilizado ampliamente. Estas son:

• La teoría de placas de Kirchhoff-Love (también llamada teoría clásica de placas)
• La teoría de placas de Mindlin -Reissner (también llamada teoría de placas de cizallamiento de primer orden)

Los supuestos de la teoría de Kirchhoff-Love son

• Las líneas rectas normales a la superficie media permanecen rectas después de la deformación.
• Las líneas rectas normales a la superficie media permanecen normales a la superficie media después de la deformación.
• El espesor de la placa no cambia durante una deformación.

Estas suposiciones implican que

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=-x_{3}~{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{\alpha }}}=-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}$

donde es el desplazamiento de un punto en la placa y es el desplazamiento de la superficie media.${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle w^{0}}$

Las relaciones de deformación-desplazamiento son

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&=-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

Las ecuaciones de equilibrio son

${\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q(x)=0~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}}$

donde es una carga aplicada normal a la superficie de la placa.${\displaystyle q(x)}$

En términos de desplazamientos, las ecuaciones de equilibrio para una placa elástica lineal isótropa en ausencia de carga externa se pueden escribir como

${\displaystyle w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0}$

En notación tensorial directa,

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0}$

El supuesto especial de esta teoría es que las normales a la superficie media permanecen rectas e inextensibles pero no necesariamente normales a la superficie media después de la deformación. Los desplazamientos de la placa están dados por

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=-x_{3}~\varphi _{\alpha }~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}$

¿Dónde están las rotaciones de la normal?${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$

Las relaciones de deformación-desplazamiento que resultan de estos supuestos son

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&=-x_{3}~\varphi _{\alpha ,\beta }\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\cfrac {1}{2}}~\kappa \left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

donde es un factor de corrección de corte.${\displaystyle \kappa }$

Las ecuaciones de equilibrio son

${\displaystyle {\begin{aligned}&M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }=0\\&Q_{\alpha ,\alpha }+q=0\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle Q_{\alpha }:=\kappa ~\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha 3}~dx_{3}}$

La teoría dinámica de placas determina la propagación de ondas en las placas, así como el estudio de las ondas estacionarias y los modos de vibración. Las ecuaciones que rigen la flexión dinámica de las placas de Kirchhoff son

${\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q(x,t)=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}}$

donde, para una placa con densidad ,${\displaystyle \rho =\rho (x)}$

${\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}}$

y

${\displaystyle {\ddot {w}}^{0}={\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial t^{2}}}~;~~{\ddot {w}}_{,\alpha \beta }^{0}={\frac {\partial ^{2}{\ddot {w}}^{0}}{\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\beta }}}}$

Las figuras siguientes muestran algunos modos vibracionales de una placa circular.

• 
  modo k = 0, p = 1
• 
  modo k = 0, p = 2
• 
  modo k = 1, p = 2

• Momento flector
• Máquina dobladora (dobladora de metales planos)
• Freno (doblado de chapa)
• Efecto brasero
• Doblado de placas
• Doblado (trabajo de metales)
• Mecánica de medios continuos
• Contraflexión
• Deflexión (ingeniería)
• Cojinete de flexión
• Lista de momentos de inercia del área
• Doblado de tubos

• Diagrama de esfuerzo cortante y de momento
• Resistencia al corte
• Teoría del sándwich
• Vibración
• Vibración de placas

• Fórmulas de flexión
• Tensión y deflexión de vigas, tablas de deflexión de vigas