Distribución indecomponible

En teoría de probabilidad , una distribución indecomponible es una distribución de probabilidad que no puede representarse como la distribución de la suma de dos o más variables aleatorias independientes no constantes : Z  ≠  X  +  Y . Si puede expresarse así, es descomponible: Z  =  X  +  Y . Si, además, puede expresarse como la distribución de la suma de dos o más variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas , entonces es divisible: Z  =  X ₁  +  X ₂ .

• Los ejemplos más simples son las distribuciones de Bernoulli : si

${\displaystyle X={\begin{cases}1&{\text{con probabilidad }}p,\\0&{\text{con probabilidad }}1-p,\end{cases}}}$

entonces la distribución de probabilidad de X es indescomponible.

Demostración: Dadas distribuciones no constantes U y V, de modo que U asume al menos dos valores a ,  b y V asume dos valores c ,  d, con a  <  b y c  <  d , entonces U  +  V asume al menos tres valores distintos: a  +  c , a  +  d , b  +  d ( b  +  c puede ser igual a a  +  d , por ejemplo si se usan 0, 1 y 0, 1). Por lo tanto, la suma de distribuciones no constantes asume al menos tres valores, por lo que la distribución de Bernoulli no es la suma de distribuciones no constantes.

• Supongamos que a  +  b  +  c  = 1, a ,  b ,  c  ≥ 0, y

${\displaystyle X={\begin{cases}2&{\text{con probabilidad }}a,\\1&{\text{con probabilidad }}b,\\0&{\text{con probabilidad }}c.\end{cases}}}$

Esta distribución de probabilidad es descomponible (como la distribución de la suma de dos variables aleatorias distribuidas según Bernoulli ) si

${\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {c}}\leq 1\ }$

y de otro modo indescomponibles. Para ver esto, supongamos que U y V son variables aleatorias independientes y que U  +  V tiene esta distribución de probabilidad. Entonces debemos tener

${\displaystyle {\begin{matrix}U={\begin{cases}1&{\text{con probabilidad }}p,\\0&{\text{con probabilidad }}1-p,\end{cases}}&{\mbox{y}}&V={\begin{cases}1&{\text{con probabilidad }}q,\\0&{\text{con probabilidad }}1-q,\end{cases}}\end{matrix}}}$

para algún p ,  q  ∈ [0, 1], por un razonamiento similar al del caso de Bernoulli (de lo contrario, la suma U  +  V asumirá más de tres valores). Se deduce que

${\displaystyle a=pq,\,}$

${\displaystyle c=(1-p)(1-q),\,}$

${\displaystyle b=1-ac.\,}$

Este sistema de dos ecuaciones cuadráticas en dos variables p y q tiene una solución ( p ,  q ) ∈ [0, 1] ² si y sólo si

${\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {c}}\leq 1.\ }$

Así, por ejemplo, la distribución uniforme discreta en el conjunto {0, 1, 2} es indescomponible, pero la distribución binomial para dos ensayos que tienen cada uno probabilidades 1/2, dando así probabilidades respectivas a, b, c como 1/4, 1/2, 1/4, es descomponible.

• Distribución absolutamente continua e indescomponible. Se puede demostrar que la distribución cuya función de densidad es

${\displaystyle f(x)={1 \sobre {\sqrt {2\pi \,}}}x^{2}e^{-x^{2}/2}}$

es indescomponible.

• Todas las distribuciones infinitamente divisibles son a fortiori descomponibles; en particular, esto incluye las distribuciones estables , como la distribución normal .
• La distribución uniforme en el intervalo [0, 1] es descomponible, ya que es la suma de la variable de Bernoulli que supone 0 o 1/2 con probabilidades iguales y la distribución uniforme en [0, 1/2]. Al iterar esto se obtiene la descomposición infinita:

${\displaystyle \suma _{n=1}^{\infty }{X_{n} \sobre 2^{n}},}$

donde las variables aleatorias independientes X _n son cada una igual a 0 o 1 con probabilidades iguales: este es un ensayo de Bernoulli de cada dígito de la expansión binaria.

• Una suma de variables aleatorias indecomponibles es descomponible en los sumandos originales. Pero puede resultar infinitamente divisible . Supongamos que una variable aleatoria Y tiene una distribución geométrica

${\displaystyle \Pr(Y=n)=(1-p)^{n}p\,}$

en {0, 1, 2, ...}.

Para cualquier entero positivo k , existe una secuencia de variables aleatorias distribuidas binomialmente negativamente Y _j , j = 1, ..., k , tales que Y ₁  + ... +  Y _k tiene esta distribución geométrica. ^{[ cita requerida ]} Por lo tanto, esta distribución es infinitamente divisible.

Por otra parte, sea D _n el n- ésimo dígito binario de Y , para n ≥ 0. Entonces los D _n son independientes ^{[ ¿por qué? ]} y

${\displaystyle Y=\sum _ {n=1}^{\infty }2^{n}D_ {n},}$

y cada término de esta suma es indescomponible.

En el otro extremo de la indecomponibilidad está la divisibilidad infinita .

• El teorema de Cramér muestra que, si bien la distribución normal es infinitamente divisible, sólo puede descomponerse en distribuciones normales.
• El teorema de Cochran muestra que los términos en una descomposición de una suma de cuadrados de variables aleatorias normales en sumas de cuadrados de combinaciones lineales de estas variables siempre tienen distribuciones de chi-cuadrado independientes .

• Teorema de Cramer
• Teorema de Cochran
• Divisibilidad infinita (probabilidad)
• Teorema de Khinchin sobre la factorización de distribuciones

• Linnik, Yu. V. y Ostrovskii, IV Descomposición de variables aleatorias y vectores , Amer. Math. Soc., Providence RI, 1977.

• Lukacs, Eugene, Funciones características , Nueva York, Hafner Publishing Company, 1970.