Distribución de tipo fase discreta

La distribución de tipo fase discreta es una distribución de probabilidad que resulta de un sistema de una o más distribuciones geométricas interrelacionadas que ocurren en secuencia, o fases. La secuencia en la que ocurre cada una de las fases puede ser en sí misma un proceso estocástico . La distribución puede representarse mediante una variable aleatoria que describe el tiempo hasta la absorción de una cadena de Markov absorbente con un estado absorbente. Cada uno de los estados de la cadena de Markov representa una de las fases.

Tiene equivalente temporal continuo en la distribución tipo fase .

Definición

Una cadena de Markov terminal es una cadena de Markov en la que todos los estados son transitorios, excepto uno que es absorbente. Reordenando los estados, la matriz de probabilidad de transición de una cadena de Markov terminal con estados transitorios es metro {\estilo de visualización m}

PAG = [ yo yo 0 0 yo 1 ] , {\displaystyle {P}=\left[{\begin{matriz}{T}&\mathbf {T} ^{0}\\\mathbf {0} ^{\mathsf {T}}&1\end{matriz}}\right],}

donde es una matriz, y son vectores columna con entradas, y . La matriz de transición se caracteriza completamente por su bloque superior izquierdo . yo {\estilo de visualización {T}} metro × metro {\displaystyle m\veces m} yo 0 {\displaystyle \mathbf {T} ^{0}} 0 {\displaystyle \mathbf {0}} metro {\estilo de visualización m} yo 0 + yo 1 = 1 {\displaystyle \mathbf {T} ^{0}+{T}\mathbf {1} =\mathbf {1} } yo {\estilo de visualización {T}}

Definición. Una distribución en es una distribución de tipo fase discreta si es la distribución del tiempo del primer paso al estado absorbente de una cadena de Markov terminal con un número finito de estados. { 0 , 1 , 2 , . . . } {\displaystyle \{0,1,2,...\}}

Caracterización

Fijemos una cadena de Markov terminal. Denotemos el bloque superior izquierdo de su matriz de transición y la distribución inicial. La distribución del primer tiempo hasta el estado absorbente se denota como o . yo {\estilo de visualización {T}} τ {\estilo de visualización \tau} PAG yo d ( τ , yo ) {\displaystyle \mathrm {PH} _{d}({\boldsymbol {\tau }},{T})} D PAG yo ( τ , yo ) {\displaystyle \mathrm {DPH} ({\boldsymbol {\tau }},{T})}

Su función de distribución acumulativa es

F ( a ) = 1 τ yo a 1 , {\displaystyle F(k)=1-{\boldsymbol {\tau }}{T}^{k}\mathbf {1} ,}

para , y su función de densidad es a = 1 , 2 , . . . {\displaystyle k=1,2,...}

F ( a ) = τ yo a 1 yo 0 , {\displaystyle f(k)={\boldsymbol {\tau }}{T}^{k-1}\mathbf {T^{0}} ,}

para . Se supone que la probabilidad de que el proceso comience en el estado absorbente es cero. Los momentos factoriales de la función de distribución están dados por, a = 1 , 2 , . . . {\displaystyle k=1,2,...}

mi [ K ( K 1 ) . . . ( K norte + 1 ) ] = norte ! τ ( I yo ) norte yo norte 1 1 , {\displaystyle E[K(K-1)...(K-n+1)]=n!{\boldsymbol {\tau }}(I-{T})^{-n}{T}^{ n-1}\mathbf {1},}

donde es la matriz de identidad de dimensión apropiada . I {\displaystyle I}

Casos especiales

Así como la distribución temporal continua es una generalización de la distribución exponencial, la distribución temporal discreta es una generalización de la distribución geométrica, por ejemplo:

Véase también

Referencias

  • MF Neuts. Soluciones matriciales geométricas en modelos estocásticos: un enfoque algorítmico, Capítulo 2: Distribuciones de probabilidad de tipo fase; Dover Publications Inc., 1981.
  • G. Latouche, V. Ramaswami. Introducción a los métodos analíticos matriciales en el modelado estocástico , 1.ª edición. Capítulo 2: Distribuciones de PH; ASA SIAM, 1999.
Obtenido de "https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Distribución_de_tipo_fase_discreta&oldid=1249196814"