Distribución de dimensión finita

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En matemáticas , las distribuciones de dimensión finita son una herramienta para el estudio de medidas y procesos estocásticos . Se puede obtener mucha información estudiando la "proyección" de una medida (o proceso) sobre un espacio vectorial de dimensión finita (o una colección finita de tiempos).

Sea un espacio de medida . Las distribuciones de dimensión finita de son las medidas de empuje hacia adelante , donde , , es cualquier función medible.${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$${\estilo de visualización \mu}$ ${\displaystyle f_{*}(\mu )}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle k\in \mathbb {N}}$

Sea un espacio de probabilidad y sea un proceso estocástico . Las distribuciones de dimensión finita de son las medidas de empuje hacia adelante en el espacio del producto para definido por${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$${\displaystyle X:I\times \Omega \to \mathbb {X} }$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \mathbb {P} _{i_{1}\puntos i_{k}}^{X}}$ ${\displaystyle \mathbb {X} ^{k}}$${\displaystyle k\in \mathbb {N}}$

${\displaystyle \mathbb {P} _{i_{1}\puntos i_{k}}^{X}(S):=\mathbb {P} \left\{\omega \en \Omega \left|\left(X_{i_{1}}(\omega ),\puntos ,X_{i_{k}}(\omega )\right)\en S\right.\right\}.}$

Muy a menudo, esta condición se enuncia en términos de rectángulos medibles :

${\displaystyle \mathbb {P} _{i_{1}\dots i_{k}}^{X}(A_{1}\times \cdots \times A_{k}):=\mathbb {P} \left\{\omega \en \Omega \left|X_{i_{j}}(\omega )\en A_{j}\mathrm {\,para\,} 1\leq j\leq k\right.\right\}.}$

La definición de las distribuciones de dimensión finita de un proceso está relacionada con la definición de una medida de la siguiente manera: recuerde que la ley de es una medida sobre la colección de todas las funciones de en . En general, este es un espacio de dimensión infinita. Las distribuciones de dimensión finita de son las medidas de empuje hacia adelante en el espacio de producto de dimensión finita , donde${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización \mu}$ $Estilo de visualización: L_{X}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \mathbb {X} ^{I}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathbb {X}}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle f_{*}\left({\mathcal {L}}_{X}\right)}$${\displaystyle \mathbb {X} ^{k}}$

${\displaystyle f:\mathbb {X} ^{I}\to \mathbb {X} ^{k}:\sigma \mapsto \left(\sigma (t_{1}),\puntos ,\sigma (t_{k})\right)}$

es la función natural "evaluar a veces ".${\displaystyle t_{1},\puntos ,t_{k}}$

Se puede demostrar que si una secuencia de medidas de probabilidad es ajustada y todas las distribuciones de dimensión finita de convergen débilmente a las distribuciones de dimensión finita correspondientes de alguna medida de probabilidad , entonces converge débilmente a .${\displaystyle (\mu _ {n})_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle \mu_{n}}$ ${\estilo de visualización \mu}$${\displaystyle \mu_{n}}$${\estilo de visualización \mu}$

• Ley (procesos estocásticos)