Polinomio separable

En matemáticas , un polinomio P ( X ) sobre un cuerpo dado K es separable si sus raíces son distintas en un cierre algebraico de K , es decir, el número de raíces distintas es igual al grado del polinomio. ^[1]

Este concepto está estrechamente relacionado con el de polinomio sin cuadrados . Si K es un cuerpo perfecto , entonces los dos conceptos coinciden. En general, P ( X ) es separable si y solo si es sin cuadrados en cualquier cuerpo que contenga a K , lo que se cumple si y solo si P ( X ) es coprimo con su derivada formal D  P ( X ).

En una definición más antigua, P ( X ) se consideraba separable si cada uno de sus factores irreducibles en K [ X ] es separable en la definición moderna. ^[2] En esta definición, la separabilidad dependía del cuerpo K ; por ejemplo, cualquier polinomio sobre un cuerpo perfecto se habría considerado separable. Esta definición, aunque puede ser conveniente para la teoría de Galois , ya no se utiliza. ^[3]

Los polinomios separables se utilizan para definir extensiones separables : una extensión de campo K ⊂ L es una extensión separable si y solo si para cada α en L que es algebraico sobre K , el polinomio mínimo de α sobre K es un polinomio separable.

Las extensiones inseparables (es decir, extensiones que no son separables) sólo pueden ocurrir en característica positiva .

El criterio anterior lleva a la rápida conclusión de que si P es irreducible y no separable, entonces D  P ( X ) = 0. Por lo tanto, debemos tener

P ( X ) = Q ( X ^p )

para algún polinomio Q sobre K , donde el número primo p es el característico.

Con esta pista podemos construir un ejemplo:

P ( X ) = X ^p − T

con K el campo de funciones racionales en el indeterminado T sobre el campo finito con p elementos. Aquí se puede probar directamente que P ( X ) es irreducible y no separable. Este es en realidad un ejemplo típico de por qué importa la inseparabilidad ; en términos geométricos, P representa la aplicación en la línea proyectiva sobre el campo finito, tomando coordenadas a su p -ésima potencia. Tales aplicaciones son fundamentales para la geometría algebraica de campos finitos. Dicho de otro modo, hay recubrimientos en ese entorno que no pueden ser "vistos" por la teoría de Galois. (Véase Morfismo radical para una discusión de nivel superior.)

Si L es la extensión del campo

K ( T ^{1 / p} ),

en otras palabras, el campo de desdoblamiento de P , entonces L / K es un ejemplo de una extensión de campo puramente inseparable . Es de grado p , pero no tiene automorfismo que fije K , aparte de la identidad, porque T ^{1/ p} es la raíz única de P . Esto muestra directamente que la teoría de Galois debe fallar aquí. Un campo tal que no hay tales extensiones se llama perfecto . Que los campos finitos son perfectos se sigue a posteriori de su estructura conocida.

Se puede demostrar que el producto tensorial de cuerpos de L consigo mismo sobre K para este ejemplo tiene elementos nilpotentes que no son cero. Esta es otra manifestación de inseparabilidad: es decir, la operación de producto tensorial sobre cuerpos no necesita producir un anillo que sea un producto de cuerpos (por lo tanto, no un anillo semisimple conmutativo ).

Si P ( x ) es separable y sus raíces forman un grupo (un subgrupo del campo K ), entonces P ( x ) es un polinomio aditivo .

Los polinomios separables aparecen con frecuencia en la teoría de Galois .

Por ejemplo, sea P un polinomio irreducible con coeficientes enteros y p un número primo que no divide al coeficiente principal de P . Sea Q el polinomio sobre el cuerpo finito con p elementos, que se obtiene reduciendo módulo p los coeficientes de P . Entonces, si Q es separable (lo cual es el caso para cada p excepto un número finito) entonces los grados de los factores irreducibles de Q son las longitudes de los ciclos de alguna permutación del grupo de Galois de P .

Otro ejemplo: P es como el anterior, un resolvente R para un grupo G es un polinomio cuyos coeficientes son polinomios en los coeficientes de P , lo que proporciona alguna información sobre el grupo de Galois de P . Más precisamente, si R es separable y tiene una raíz racional , entonces el grupo de Galois de P está contenido en G . Por ejemplo, si D es el discriminante de P entonces es un resolvente para el grupo alternante . Este resolvente siempre es separable (asumiendo que la característica no es 2) si P es irreducible, pero la mayoría de los resolventes no siempre son separables.$Estilo de visualización X^{2}-D$

• Endomorfismo de Frobenius