Diagrama conmutativo

En matemáticas , y especialmente en teoría de categorías , un diagrama conmutativo es un diagrama tal que todos los caminos dirigidos en el diagrama con los mismos puntos de inicio y final conducen al mismo resultado. ^[1] Se dice que los diagramas conmutativos juegan el papel en la teoría de categorías que las ecuaciones juegan en el álgebra . ^[2]

Un diagrama conmutativo a menudo consta de tres partes:

• objetos (también conocidos como vértices )
• morfismos (también conocidos como flechas o aristas )
• caminos o compuestos

En los textos de álgebra, el tipo de morfismo se puede denotar con diferentes usos de flechas:

• Un monomorfismo puede etiquetarse con un ^[3] o un ^[4] .${\displaystyle \hookrightarrow}$${\displaystyle \flechaderecha}$
• Un epimorfismo puede etiquetarse con un .${\displaystyle \twoheadrightarrow}$
• Un isomorfismo puede etiquetarse con un .${\displaystyle {\overset {\sim }{\rightarrow }}}$
• La flecha discontinua generalmente representa la afirmación de que existe el morfismo indicado (siempre que el resto del diagrama sea válido); la flecha puede etiquetarse opcionalmente como .${\displaystyle \existe}$
  • Si el morfismo es además único, entonces la flecha discontinua puede estar etiquetada como o .${\estilo de visualización !}$${\displaystyle \existe !}$
• Si el morfismo actúa entre dos flechas (como en el caso de la teoría de categorías superiores ), se denomina preferentemente transformación natural y puede etiquetarse como (como se ve a continuación en este artículo).${\displaystyle \Flecha derecha}$

Los significados de las diferentes flechas no están completamente estandarizados: las flechas utilizadas para monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos también se utilizan para inyecciones , sobreyecciones y biyecciones , así como para cofibraciones, fibraciones y equivalencias débiles en una categoría de modelo .

La conmutatividad tiene sentido para un polígono de cualquier número finito de lados (incluidos solo 1 o 2), y un diagrama es conmutativo si cada subdiagrama poligonal es conmutativo.

Tenga en cuenta que un diagrama puede ser no conmutativo, es decir, la composición de diferentes caminos en el diagrama puede no dar el mismo resultado.

En el diagrama de la izquierda, que expresa el primer teorema de isomorfismo , la conmutatividad del triángulo significa que . En el diagrama de la derecha, la conmutatividad del cuadrado significa .${\displaystyle f={\tilde {f}}\circ \pi }$${\displaystyle h\circ f=k\circ g}$

Para que el diagrama siguiente conmute, se deben satisfacer tres igualdades:

1. ${\displaystyle r\circ h\circ g=H\circ G\circ l}$
2. ${\displaystyle m\circ g=G\circ l}$
3. ${\displaystyle r\circ h=H\circ m}$

En este caso, como la primera igualdad se sigue de las dos últimas, basta con demostrar que (2) y (3) son verdaderas para que el diagrama conmute. Sin embargo, como la igualdad (3) generalmente no se sigue de las otras dos, generalmente no basta con tener solo las igualdades (1) y (2) para demostrar que el diagrama conmuta.

La búsqueda de diagramas (también llamada búsqueda diagramática ) es un método de demostración matemática utilizado especialmente en álgebra homológica , donde se establece una propiedad de algún morfismo rastreando los elementos de un diagrama conmutativo. Una demostración mediante búsqueda de diagramas generalmente implica el uso formal de las propiedades del diagrama, como las funciones inyectivas o sobreyectivas , o las secuencias exactas . ^[5] Se construye un silogismo , para el cual la representación gráfica del diagrama es solo una ayuda visual. De ello se deduce que uno termina "persiguiendo" elementos alrededor del diagrama, hasta que se construye o verifica el elemento o resultado deseado.

Entre los ejemplos de pruebas mediante persecución de diagramas se incluyen las que se dan típicamente para el lema cinco , el lema de la serpiente , el lema del zigzag y el lema nueve .

En la teoría de categorías superiores, no sólo se consideran objetos y flechas, sino flechas entre flechas, flechas entre flechas entre flechas, y así hasta el infinito. Por ejemplo, la categoría de categorías pequeñas Cat es naturalmente una 2-categoría, con funtores como sus flechas y transformaciones naturales como las flechas entre funtores. En este contexto, los diagramas conmutativos también pueden incluir estas flechas superiores, que a menudo se representan en el siguiente estilo: . Por ejemplo, el siguiente diagrama (algo trivial) representa dos categorías C y D , junto con dos funtores F , G  : C → D y una transformación natural α  : F ⇒ G :${\displaystyle \Flecha derecha}$

Hay dos tipos de composición en una categoría 2 (llamadas composición vertical y composición horizontal ), y también pueden representarse mediante diagramas de pegado (ver 2-categoría#Definición para ver ejemplos).

Un diagrama conmutativo en una categoría C puede interpretarse como un funtor de una categoría de índice J a C; al funtor se le llama diagrama .

De manera más formal, un diagrama conmutativo es una visualización de un diagrama indexado por una categoría de conjunto poset . Este tipo de diagrama normalmente incluye:

• un nodo para cada objeto en la categoría de índice,
• una flecha para un conjunto generador de morfismos (omitiendo los mapas de identidad y los morfismos que pueden expresarse como composiciones),
• la conmutatividad del diagrama (la igualdad de diferentes composiciones de mapas entre dos objetos), correspondiente a la unicidad de un mapa entre dos objetos en una categoría poset.

Por el contrario, dado un diagrama conmutativo, define una categoría poset, donde:

• Los objetos son los nodos,
• Hay un morfismo entre dos objetos cualesquiera si y sólo si hay un camino (dirigido) entre los nodos,
• con la relación de que este morfismo es único (cualquier composición de mapas está definida por su dominio y objetivo: este es el axioma de conmutatividad).

Sin embargo, no todos los diagramas conmutan (la noción de diagrama generaliza estrictamente el diagrama conmutativo). Como ejemplo simple, el diagrama de un solo objeto con un endomorfismo ( ), o con dos flechas paralelas ( , es decir, , a veces llamado carcaj libre ), como se usa en la definición de ecualizador, no necesita conmutar. Además, los diagramas pueden ser desordenados o imposibles de dibujar, cuando el número de objetos o morfismos es grande (o incluso infinito).${\displaystyle f\colon X\to X}$${\displaystyle \bullet \flechasderechas \bullet}$${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$

• Diagrama matemático

• Diagrama de persecución en MathWorld
• WildCats es un paquete de teoría de categorías para Mathematica . Manipulación y visualización de objetos, morfismos , categorías, funtores y transformaciones naturales .