Desigualdad de Gauss

En teoría de probabilidad , la desigualdad de Gauss (o desigualdad de Gauss ) proporciona un límite superior a la probabilidad de que una variable aleatoria unimodal se encuentre a una distancia mayor que cualquier distancia dada de su moda .

Sea X una variable aleatoria unimodal con modo m , y sea τ  ² el valor esperado de ( X  −  m ) ² . ( τ  ² también se puede expresar como ( μ  −  m ) ²  +  σ  ² , donde μ y σ son la media y la desviación estándar de X .) Entonces, para cualquier valor positivo de k ,

${\displaystyle \Pr(|Xm|>k)\leq {\begin{cases}\left({\frac {2\tau }{3k}}\right)^{2}&{\text{si }}k\geq {\frac {2\tau }{\sqrt {3}}}\\[6pt]1-{\frac {k}{\tau {\sqrt {3}}}}&{\text{si }}0\leq k\leq {\frac {2\tau }{\sqrt {3}}}.\end{cases}}}$

El teorema fue demostrado por primera vez por Carl Friedrich Gauss en 1823.

En 1866, Winkler extendió la desigualdad de Gauss a los momentos r- ^{ésimos [1]} donde r > 0 y la distribución es unimodal con una moda de cero. Esto a veces se denomina desigualdad de Camp-Meidell. ^{[2] [3]}

${\displaystyle P(|X|\geq k)\leq \left({\frac {r}{r+1}}\right)^{r}{\frac {\operadornombre {E} (|X|)^{r}}{k^{r}}}\quad {\text{si}}\quad k^{r}\geq {\frac {r^{r}}{(r+1)^{r+1}}}\operadornombre {E} (|X|^{r}),}$

${\displaystyle P(|X|\geq k)\leq \left(1-\left[{\frac {k^{r}}{(r+1)\operadornombre {E} (|X|)^{r}}}\right]^{1/r}\right)\quad {\text{si}}\quad k^{r}\leq {\frac {r^{r}}{(r+1)^{r+1}}}\operadornombre {E} (|X|^{r}).}$

El límite de Gauss se ha perfeccionado y ampliado posteriormente para que se aplique a las desviaciones de la media en lugar de la moda debido a la desigualdad de Vysochanskiï-Petunin . Esta última ha sido ampliada por Dharmadhikari y Joag-Dev ^[4].

${\displaystyle P(|X|>k)\leq \max \left(\left[{\frac {r}{(r+1)k}}\right]^{r}E|X^{r}|,{\frac {s}{(s-1)k^{r}}}E|X^{r}|-{\frac {1}{s-1}}\right)}$

donde s es una constante que satisface tanto s > r + 1 como s ( s  −  r  − 1) =  r ^r y  r  > 0.

Se puede demostrar que estas desigualdades son las mejores posibles y que una mayor agudización de los límites requiere que se impongan restricciones adicionales a las distribuciones.

• Desigualdad de Vysochanskiï-Petunin , un resultado similar para la distancia desde la media en lugar de la moda
• La desigualdad de Chebyshev se refiere a la distancia desde la media sin requerir unimodalidad.
• Desigualdad de concentración : un resumen de los límites de cola de las variables aleatorias.

• Gauss, CF (1823). "Theoria Combinaciónis Observationum Erroribus Minimis Obnoxiae, Pars Prior". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores . 5 .
• Upton, Graham; Cook, Ian (2008). "Desigualdad de Gauss". Diccionario de estadística. Oxford University Press.
• Sellke, TM; Sellke, SH (1997). "Desigualdades de Chebyshev para distribuciones unimodales". Estadístico estadounidense . 51 (1). Asociación Estadounidense de Estadística: 34–40. doi :10.2307/2684690. JSTOR  2684690.
• Pukelsheim, F. (1994). "La regla de las tres sigma". American Statistician . 48 (2). Asociación Estadounidense de Estadística: 88–91. doi :10.2307/2684253. JSTOR  2684253.