Desigualdad aleatoria de Brunn-Minkowski de Vitale

En matemáticas , la desigualdad aleatoria de Brunn-Minkowski de Vitale es un teorema debido a Richard Vitale que generaliza la desigualdad clásica de Brunn-Minkowski para subconjuntos compactos del espacio euclidiano n - dimensional R ⁿ a conjuntos compactos aleatorios .

Sea X un conjunto compacto aleatorio en R ⁿ ; es decir, una función medible según Borel desde algún espacio de probabilidad (Ω, Σ, Pr) hasta el espacio de subconjuntos no vacíos y compactos de R ⁿ equipados con la métrica de Hausdorff . Un vector aleatorio V  : Ω →  R ⁿ se denomina una selección de X si Pr( V  ∈  X ) = 1. Si K es un subconjunto no vacío y compacto de R ⁿ , sea

${\displaystyle \|K\|=\max \left\{\left.\|v\|_{\mathbb {R} ^{n}}\right|v\in K\right\}}$

y definir la expectativa de valor conjunto E[ X ] de X como

${\displaystyle \mathrm {E} [X]=\{\mathrm {E} [V]|V{\mbox{ es una selección de }}X{\mbox{ y }}\mathrm {E} \|V \|<+\infty \}.}$

Nótese que E[ X ] es un subconjunto de R ⁿ . En esta notación, la desigualdad aleatoria de Brunn-Minkowski de Vitale es que, para cualquier conjunto aleatorio compacto X con ,${\displaystyle E[\|X\|]<+\infty }$

${\displaystyle \left(\mathrm {vol} _ {n}\left(\mathrm {E} [X]\right)\right)^{1/n}\geq \mathrm {E} \left[\mathrm {vol} _{n}(X)^{1/n}\right],}$

donde " " denota una medida de Lebesgue n -dimensional .$estilo de visualización vol_{n}$

Si X toma los valores (conjuntos compactos no vacíos) K ​​y L con probabilidades 1 −  λ y λ respectivamente, entonces la desigualdad aleatoria de Brunn-Minkowski de Vitale es simplemente la desigualdad de Brunn-Minkowski original para conjuntos compactos.

• Gardner, Richard J. (2002). "La desigualdad de Brunn-Minkowski" (PDF) . Bull. Amer. Math. Soc. (NS) . 39 (3): 355–405 (electrónico). doi : 10.1090/S0273-0979-02-00941-2 .
• Vitale, Richard A. (1990). "La desigualdad de Brunn-Minkowski para conjuntos aleatorios". J. Multivariate Anal . 33 (2): 286–293. doi : 10.1016/0047-259X(90)90052-J .