Conjunto acotado

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En el análisis matemático y áreas relacionadas de las matemáticas , un conjunto se denomina acotado si todos sus puntos se encuentran a cierta distancia entre sí. Por el contrario, un conjunto que no está acotado se denomina ilimitado . La palabra "acotado" no tiene sentido en un espacio topológico general sin una métrica correspondiente .

El límite es un concepto distinto: por ejemplo, un círculo aislado es un conjunto acotado sin límites, mientras que el semiplano no tiene límites pero tiene un límite.

Un conjunto acotado no es necesariamente un conjunto cerrado y viceversa. Por ejemplo, un subconjunto S de un espacio real bidimensional R ² restringido por dos curvas parabólicas x ² + 1 y x ² - 1 definidas en un sistema de coordenadas cartesianas es cerrado por las curvas pero no acotado (es decir, ilimitado).

Un conjunto S de números reales se denomina acotado superiormente si existe algún número real k (no necesariamente en S ) tal que k ≥ s para todo s en S . El número k se denomina límite superior de S . Los términos acotado inferiormente y límite inferior se definen de manera similar.

Un conjunto S está acotado si tiene límites superiores e inferiores. Por lo tanto, un conjunto de números reales está acotado si está contenido en un intervalo finito .

Un subconjunto S de un espacio métrico ( M , d ) está acotado si existe r > 0 tal que para todo s y t en S , tenemos d(s , t ) < r . El espacio métrico ( M , d ) es un espacio métrico acotado (o d es una métrica acotada ) si M está acotado como un subconjunto de sí mismo.

• La acotación total implica acotación. Para subconjuntos de R ^n, ambas son equivalentes.
• Un espacio métrico es compacto si y sólo si es completo y totalmente acotado.
• Un subconjunto del espacio euclidiano R ⁿ es compacto si y solo si es cerrado y acotado. Esto también se denomina teorema de Heine-Borel .

En los espacios vectoriales topológicos , existe una definición diferente para los conjuntos acotados, que a veces se denomina acotación de von Neumann . Si la topología del espacio vectorial topológico se induce mediante una métrica que es homogénea , como en el caso de una métrica inducida por la norma de los espacios vectoriales normados , entonces las dos definiciones coinciden.

Un conjunto de números reales está acotado si y solo si tiene un límite superior e inferior. Esta definición es extensible a subconjuntos de cualquier conjunto parcialmente ordenado . Nótese que este concepto más general de acotación no corresponde a una noción de "tamaño".

Un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado P se denomina acotado superiormente si existe un elemento k en P tal que k ≥ s para todo s en S . El elemento k se denomina límite superior de S . Los conceptos de acotado inferiormente y límite inferior se definen de forma similar. (Véase también límites superior e inferior .)

Un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado P se denomina acotado si tiene un límite superior y un límite inferior o, equivalentemente, si está contenido en un intervalo . Nótese que esto no es solo una propiedad del conjunto S sino también del conjunto S como subconjunto de P .

Un conjunto parcial acotado P (es decir, por sí mismo, no como subconjunto) es aquel que tiene un elemento menor y un elemento mayor . Nótese que este concepto de acotación no tiene nada que ver con el tamaño finito, y que un subconjunto S de un conjunto parcial acotado P con la restricción del orden en P como orden no es necesariamente un conjunto parcial acotado.

Un subconjunto S de R ⁿ está acotado respecto de la distancia euclidiana si y solo si está acotado como subconjunto de R ⁿ con el orden producto . Sin embargo, S puede estar acotado como subconjunto de R ⁿ con el orden lexicográfico , pero no respecto de la distancia euclidiana.

Se dice que una clase de números ordinales es ilimitada o cofinal cuando, dado cualquier ordinal, siempre hay algún elemento de la clase mayor que él. Por lo tanto, en este caso, "ilimitado" no significa ilimitado por sí mismo, sino ilimitado como subclase de la clase de todos los números ordinales.

• Dominio delimitado
• Función acotada
• Limitación local
• Teoría del orden
• Totalmente delimitado

• Bartle, Robert G. ; Sherbert, Donald R. (1982). Introducción al análisis real . Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-05944-7.
• Richtmyer, Robert D. (1978). Principios de física matemática avanzada . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-08873-3.