Número racional

En matemáticas , un número racional es un número que se puede expresar como cociente o fracción de dos números enteros , un numerador p y un denominador distinto de cero q . ^[1] Por ejemplo, ⁠ ⁠ es un número racional, como lo es${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ todo número entero (por ejemplo, ). El conjunto de todos los números racionales, también denominados " los racionales ", ^[2] el campo de los racionales ^[3] o el campo de los números racionales se suele denotar con Q en negrita o negrita de pizarra . ${\displaystyle {\frac {3}{7}}}$${\displaystyle -5={\frac {-5}{1}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Un número racional es un número real . Los números reales que son racionales son aquellos cuya expansión decimal termina después de un número finito de dígitos (ejemplo: 3/4 = 0,75 ), o eventualmente comienza a repetir la misma secuencia finita de dígitos una y otra vez (ejemplo: 9/44 = 0,20454545... ). ^[4] Esta afirmación es cierta no solo en base 10 , sino también en cualquier otra base entera , como las binarias y hexadecimales (véase Decimal periódico § Extensión a otras bases ).

Un número real que no es racional se llama irracional . ^[5] Los números irracionales incluyen la raíz cuadrada de 2 ( ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ), π , e y la proporción áurea ( φ ). Dado que el conjunto de números racionales es contable y el conjunto de números reales es incontable , casi todos los números reales son irracionales. ^[1]

Los números racionales pueden definirse formalmente como clases de equivalencia de pares de números enteros ( p, q ) con q ≠ 0 , utilizando la relación de equivalencia definida de la siguiente manera:

${\displaystyle (p_{1},q_{1})\sim (p_{2},q_{2})\iff p_{1}q_{2}=p_{2}q_{1}.}$

La fracción ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ entonces denota la clase de equivalencia de ( p, q ) . ^[6]

Los números racionales junto con la suma y la multiplicación forman un cuerpo que contiene los números enteros y está contenido en cualquier cuerpo que contenga los números enteros. En otras palabras, el cuerpo de los números racionales es un cuerpo primo y un cuerpo tiene característica cero si y solo si contiene los números racionales como subcuerpo. Las extensiones finitas de ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q}}$ se denominan cuerpos de números algebraicos y la clausura algebraica de ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q}}$ es el cuerpo de los números algebraicos . ^[7]

En el análisis matemático , los números racionales forman un subconjunto denso de los números reales. Los números reales pueden construirse a partir de los números racionales por completitud , utilizando sucesiones de Cauchy , cortes de Dedekind o decimales infinitas (véase Construcción de los números reales ).

El término racional en referencia al conjunto ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q}}$ se refiere al hecho de que un número racional representa una razón de dos números enteros. En matemáticas, "racional" se utiliza a menudo como un sustantivo que abrevia "número racional". El adjetivo racional a veces significa que los coeficientes son números racionales. Por ejemplo, un punto racional es un punto con coordenadas racionales (es decir, un punto cuyas coordenadas son números racionales); una matriz racional es una matriz de números racionales; un polinomio racional puede ser un polinomio con coeficientes racionales, aunque generalmente se prefiere el término "polinomio sobre los racionales", para evitar la confusión entre " expresión racional " y " función racional " (un polinomio es una expresión racional y define una función racional, incluso si sus coeficientes no son números racionales). Sin embargo, una curva racional no es una curva definida sobre los racionales, sino una curva que puede ser parametrizada por funciones racionales.

Aunque hoy en día los números racionales se definen en términos de proporciones , el término racional no es una derivación de ratio . Por el contrario, es ratio lo que se deriva de racional : el primer uso de ratio con su significado moderno fue atestiguado en inglés alrededor de 1660, ^[8] mientras que el uso de racional para calificar números apareció casi un siglo antes, en 1570. ^[9] Este significado de racional proviene del significado matemático de irracional , que se utilizó por primera vez en 1551, y se utilizó en "traducciones de Euclides (siguiendo su peculiar uso de ἄλογος )". ^{[10] [11]}

Esta inusual historia se originó en el hecho de que los antiguos griegos "evitaron la herejía al prohibirse pensar en esas longitudes [irracionales] como números". ^[12] Por lo tanto, tales longitudes eran irracionales , en el sentido de ilógicas , es decir, "no se debe hablar de ellas" ( ἄλογος en griego). ^[13]

Todo número racional puede expresarse de forma única como fracción irreducible ,${\displaystyle {\tfrac {a}{b}},}$ donde a y b son números enteros coprimos y b > 0. Esta suele denominarse forma canónica del número racional.

A partir de un número racional , su forma canónica${\displaystyle {\tfrac {a}{b}},}$ se puede obtener dividiendo a y b por su máximo común divisor y, si b < 0 , cambiando el signo del numerador y denominador resultantes.

Cualquier número entero n puede expresarse como el número racional ⁠ ⁠${\displaystyle {\frac {n}{1}},}$ que es su forma canónica como número racional.

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$Si y sólo si${\displaystyle ad=bc}$

Si ambas fracciones están en forma canónica, entonces:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$si y sólo si y ^[6]${\displaystyle a=c}$${\displaystyle b=d}$

Si ambos denominadores son positivos (particularmente si ambas fracciones están en forma canónica):

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}}$Si y sólo si${\displaystyle ad<bc.}$

Por otro lado, si alguno de los denominadores es negativo, entonces cada fracción con un denominador negativo debe convertirse primero en una forma equivalente con un denominador positivo, cambiando los signos tanto de su numerador como de su denominador. ^[6]

Se suman dos fracciones de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.}$

Si ambas fracciones están en forma canónica, el resultado está en forma canónica si y sólo si b, d son números enteros coprimos . ^{[6] [14]}

${\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}.}$

Si ambas fracciones están en forma canónica, el resultado está en forma canónica si y sólo si b, d son números enteros coprimos . ^[14]

La regla para la multiplicación es:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.}$

donde el resultado puede ser una fracción reducible —incluso si ambas fracciones originales están en forma canónica. ^{[6] [14]}

Cada número racional tiene un inverso aditivo ,${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ a menudo llamado su opuesto ,

${\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}.}$

Si ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ está en forma canónica, lo mismo es cierto para su opuesto.

Un número racional distinto de cero tiene un${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ inverso multiplicativo , también llamado recíproco ,

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}.}$

Si ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ está en forma canónica, entonces la forma canónica de su recíproco es ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}$ o ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {-b}{-a}},}$ dependiendo del signo de a .

Si b, c, d son distintos de cero, la regla de división es

${\displaystyle {\frac {\,{\dfrac {a}{b}}\,}{\dfrac {c}{d}}}={\frac {ad}{bc}}.}$

Por lo tanto, dividir ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ por ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}$ es equivalente a multiplicar ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ por el recíproco de ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {c}{d}}:}$^[14]

${\displaystyle {\frac {ad}{bc}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}.}$

Si n es un entero no negativo, entonces

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}.}$

El resultado está en forma canónica si lo mismo es cierto para ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}.}$ En particular,

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{0}=1.}$

Si a ≠ 0 , entonces

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-n}={\frac {b^{n}}{a^{n}}}.}$

Si ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ está en forma canónica, la forma canónica del resultado es ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {b^{n}}{a^{n}}}}$ si a > 0 o n es par. De lo contrario, la forma canónica del resultado es ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {-b^{n}}{-a^{n}}}.}$

Una fracción continua finita es una expresión como

${\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}},}$

donde a _n son números enteros. Todo número racional ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ puede representarse como una fracción continua finita, cuyos coeficientes a _n pueden determinarse aplicando el algoritmo euclidiano a ( a, b ) .

• fracción común : ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {8}{3}}}$
• número mixto : ⁠ ⁠${\displaystyle 2{\tfrac {2}{3}}}$
• decimal periódico usando un vinculum :${\displaystyle 2.{\overline {6}}}$
• decimal periódico usando paréntesis :${\displaystyle 2.(6)}$
• Fracción continua utilizando tipografía tradicional:${\displaystyle 2+{\tfrac {1}{1+{\tfrac {1}{2}}}}}$
• fracción continua en notación abreviada:${\displaystyle [2;1,2]}$
• Fracción egipcia :${\displaystyle 2+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}}$
• descomposición en potencias principales :${\displaystyle 2^{3}\times 3^{-1}}$
• Notación de cita :${\displaystyle 3'6}$

Son diferentes formas de representar el mismo valor racional.

Los números racionales pueden construirse como clases de equivalencia de pares ordenados de números enteros . ^{[6] [14]}

Más precisamente, sea ⁠ ⁠${\displaystyle (\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\}))}$ el conjunto de los pares ( m, n ) de números enteros tales que n ≠ 0 . Una relación de equivalencia se define en este conjunto por

${\displaystyle (m_{1},n_{1})\sim (m_{2},n_{2})\iff m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.}$^{[6] [14]}

La suma y la multiplicación se pueden definir mediante las siguientes reglas:

${\displaystyle (m_{1},n_{1})+(m_{2},n_{2})\equiv (m_{1}n_{2}+n_{1}m_{2},n_{1}n_{2}),}$

${\displaystyle (m_{1},n_{1})\times (m_{2},n_{2})\equiv (m_{1}m_{2},n_{1}n_{2}).}$^[6]

Esta relación de equivalencia es una relación de congruencia , lo que significa que es compatible con la adición y la multiplicación definidas anteriormente; el conjunto de los números racionales se define${\displaystyle \mathbb {Q} }$ como el conjunto cociente por esta relación de equivalencia, dotado de la adición${\displaystyle (\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \backslash \{0\}))/\sim ,}$ y la multiplicación inducidas por las operaciones anteriores. (Esta construcción se puede realizar con cualquier dominio integral y produce su cuerpo de fracciones ). ^[6]

La clase de equivalencia de un par ( m, n ) se denota ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}.}$ Dos pares ( m ₁ , n ₁ ) y ( m ₂ , n ₂ ) pertenecen a la misma clase de equivalencia (es decir, son equivalentes) si y solo si

${\displaystyle m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.}$

Esto significa que

${\displaystyle {\frac {m_{1}}{n_{1}}}={\frac {m_{2}}{n_{2}}}}$

si y sólo si ^{[6] [14]}

${\displaystyle m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.}$

Cada clase de equivalencia puede representarse${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}}$ mediante infinitos pares, ya que

${\displaystyle \cdots ={\frac {-2m}{-2n}}={\frac {-m}{-n}}={\frac {m}{n}}={\frac {2m}{2n}}=\cdots .}$

Cada clase de equivalencia contiene un único elemento canónico representativo . El representante canónico es el único par ( m, n ) en la clase de equivalencia tal que m y n son coprimos y n > 0. Se denomina representación en términos mínimos del número racional.

Los números enteros pueden considerarse como números racionales que identifican al entero n con el número racional ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {n}{1}}.}$

Se puede definir un orden total sobre los números racionales, que extienda el orden natural de los números enteros. Se tiene

${\displaystyle {\frac {m_{1}}{n_{1}}}\leq {\frac {m_{2}}{n_{2}}}}$

Si

${\displaystyle {\begin{aligned}&(n_{1}n_{2}>0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\leq n_{1}m_{2})\\&\qquad {\text{or}}\\&(n_{1}n_{2}<0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\geq n_{1}m_{2}).\end{aligned}}}$

El conjunto de todos${\displaystyle \mathbb {Q} }$ los números racionales, junto con las operaciones de suma y multiplicación mostradas arriba, forma un cuerpo . ^[6]

⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$ no tiene ningún automorfismo de cuerpo aparte de la identidad. (Un automorfismo de cuerpo debe fijar 0 y 1; como debe fijar la suma y la diferencia de dos elementos fijos, debe fijar cada entero; como debe fijar el cociente de dos elementos fijos, debe fijar cada número racional, y es, por tanto, la identidad.)

⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$ es un cuerpo primo , que es un cuerpo que no tiene ningún subcuerpo aparte de él mismo. ^[15] Los racionales son el cuerpo más pequeño con característica cero. Cada cuerpo de característica cero contiene un subcuerpo único isomorfo a ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Con el orden definido anteriormente, ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$ es un campo ordenado ^[14] que no tiene ningún subcampo más que él mismo, y es el campo ordenado más pequeño, en el sentido de que cada campo ordenado contiene un subcampo único isomorfo a ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$ es el campo de las fracciones de los números enteros ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$^[16] La clausura algebraica de ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ es decir, el campo de las raíces de los polinomios racionales, es el campo de los números algebraicos .

Los racionales son un conjunto densamente ordenado : entre dos racionales cualesquiera, se sitúa otro y, por tanto, infinitos otros. ^[6] Por ejemplo, para dos fracciones cualesquiera tales que

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}}$

(donde son positivos), tenemos${\displaystyle b,d}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}.}$

Cualquier conjunto totalmente ordenado que sea contable, denso (en el sentido antes mencionado) y que no tenga ningún elemento mínimo o máximo es de orden isomorfo a los números racionales. ^[17]

El conjunto de todos los números racionales es contable , como se ilustra en la figura de la derecha. Como un número racional se puede expresar como una razón de dos números enteros, es posible asignar dos números enteros a cualquier punto de una red cuadrada como en un sistema de coordenadas cartesianas , de modo que cualquier punto de la cuadrícula corresponda a un número racional. Este método, sin embargo, presenta una forma de redundancia, ya que varios puntos de la cuadrícula diferentes corresponderán al mismo número racional; estos están resaltados en rojo en el gráfico proporcionado. Un ejemplo obvio se puede ver en la línea que va en diagonal hacia la parte inferior derecha; tales razones siempre serán iguales a 1, ya que cualquier número distinto de cero dividido por sí mismo siempre será igual a uno.

Es posible generar todos los números racionales sin tales redundancias: algunos ejemplos incluyen el árbol de Calkin-Wilf y el árbol de Stern-Brocot .

Como el conjunto de todos los números racionales es contable, y el conjunto de todos los números reales (así como el conjunto de los números irracionales) es incontable, el conjunto de los números racionales es un conjunto nulo , es decir, casi todos los números reales son irracionales, en el sentido de la medida de Lebesgue .

Los racionales son un subconjunto denso de los números reales ; cada número real tiene números racionales arbitrariamente cercanos a él. ^[6] Una propiedad relacionada es que los números racionales son los únicos números con expansiones finitas como fracciones continuas regulares . ^[18]

En la topología habitual de los números reales, los racionales no son ni un conjunto abierto ni un conjunto cerrado . ^[19]

En virtud de su orden, los racionales tienen una topología de orden . Los números racionales, como subespacio de los números reales, también tienen una topología de subespacio . Los números racionales forman un espacio métrico utilizando la métrica de diferencia absoluta y esto produce una tercera topología en ⁠ ⁠ Las tres topologías coinciden y convierten a los racionales en un cuerpo topológico . Los números racionales son un ejemplo importante de un espacio que no es localmente compacto . Los racionales se caracterizan topológicamente como el único espacio metrizable numerable sin puntos aislados . El espacio también está totalmente desconectado . Los números racionales no forman un espacio métrico completo , y los números reales son la compleción de ⁠ ⁠ bajo la métrica anterior. ^[14]${\displaystyle d(x,y)=|x-y|,}$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$

Además de la métrica de valor absoluto mencionada anteriormente, existen otras métricas que se convierten en${\displaystyle \mathbb {Q} }$ un campo topológico :

Sea p un número primo y para cualquier entero distinto de cero a , sea donde p ⁿ es la mayor potencia de p que divide a .${\displaystyle |a|_{p}=p_{-n},}$

Además establecemos Para cualquier número racional establecemos ${\displaystyle |0|_{p}=0.}$${\displaystyle {\frac {a}{b}},}$

${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}.}$

Entonces

${\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}}$

define una métrica en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$^[20]

El espacio métrico no está${\displaystyle (\mathbb {Q} ,d_{p})}$ completo, y su completitud es el cuerpo de números p -ádicos . ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}.}$ El teorema de Ostrowski establece que cualquier valor absoluto no trivial de los números racionales es equivalente al valor absoluto real habitual o a un valor absoluto p -ádico .${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• Racional diádico
• Punto flotante
• Círculos de Ford
• Racional gaussiano
• Altura ingenua: altura de un número racional en el término más bajo
• Teorema de Niven
• Tipo de datos racional
• Proporciones divinas: de la trigonometría racional a la geometría universal

Sistemas de numeración Complejo ${\displaystyle :\;\mathbb {C} }$ Real ${\displaystyle :\;\mathbb {R} }$ Racional${\displaystyle :\;\mathbb {Q} }$ Entero ${\displaystyle :\;\mathbb {Z} }$ Natural ${\displaystyle :\;\mathbb {N} }$ Cero : 0 Uno : 1 Números primos Números compuestos Números enteros negativos Fracción Decimal finito Diádico (binario finito) Decimal periódico Irracional Irracional algebraico Periodo irracional Trascendental Imaginario

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Números racionales .

Wikiversidad tiene recursos de aprendizaje sobre números racionales.

• "Número racional", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Número racional" de MathWorld: un recurso web de Wolfram