Mar de Dirac

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El mar de Dirac es un modelo teórico del vacío de electrones como un mar infinito de electrones con energía negativa , ahora llamados positrones . Fue postulado por primera vez por el físico británico Paul Dirac en 1930 ^{[1] para explicar los} estados cuánticos anómalos de energía negativa predichos por la ecuación de Dirac relativistamente correcta para los electrones . ^[2] El positrón, la contraparte de antimateria del electrón, fue concebido originalmente como un agujero en el mar de Dirac, antes de su descubrimiento experimental en 1932. ^{[nb 1]}

En la teoría de agujeros, las soluciones con factores de evolución temporal negativos ^{[ aclaración necesaria ]} se reinterpretan como si representaran al positrón, descubierto por Carl Anderson . La interpretación de este resultado requiere un mar de Dirac, que muestra que la ecuación de Dirac no es simplemente una combinación de relatividad especial y mecánica cuántica , sino que también implica que el número de partículas no se puede conservar. ^[3]

La teoría del mar de Dirac ha sido desplazada por la teoría cuántica de campos , aunque son matemáticamente compatibles.

El físico soviético Yakov Frenkel había desarrollado ideas similares sobre los agujeros en los cristales en 1926, pero no hay indicios de que el concepto se discutiera con Dirac cuando ambos se conocieron en un congreso de física soviético en el verano de 1928.

El origen del mar de Dirac se encuentra en el espectro de energía de la ecuación de Dirac , una extensión de la ecuación de Schrödinger consistente con la relatividad especial , ecuación que Dirac había formulado en 1928. Aunque esta ecuación fue extremadamente exitosa en la descripción de la dinámica electrónica, posee una característica bastante peculiar: para cada estado cuántico que posee una energía positiva E , hay un estado correspondiente con energía - E. Esto no es una gran dificultad cuando se considera un electrón aislado, porque su energía se conserva y los electrones de energía negativa pueden quedar fuera. Sin embargo, surgen dificultades cuando se consideran los efectos del campo electromagnético , porque un electrón de energía positiva sería capaz de desprenderse de energía emitiendo continuamente fotones , un proceso que podría continuar sin límite a medida que el electrón desciende a estados de energía cada vez más bajos. Sin embargo, los electrones reales claramente no se comportan de esta manera.

La solución de Dirac a este problema fue basarse en el principio de exclusión de Pauli . Los electrones son fermiones y obedecen al principio de exclusión, lo que significa que no hay dos electrones que puedan compartir un mismo estado de energía dentro de un átomo. Dirac planteó la hipótesis de que lo que consideramos el " vacío " es en realidad el estado en el que se llenan todos los estados de energía negativa y ninguno de los estados de energía positiva. Por lo tanto, si queremos introducir un solo electrón, tendríamos que ponerlo en un estado de energía positiva, ya que todos los estados de energía negativa están ocupados. Además, incluso si el electrón pierde energía al emitir fotones, se le prohibiría caer por debajo de la energía cero.

Dirac señaló además que podría existir una situación en la que todos los estados de energía negativa estuvieran ocupados excepto uno. Este "agujero" en el mar de electrones de energía negativa respondería a los campos eléctricos como si fuera una partícula cargada positivamente. Inicialmente, Dirac identificó este agujero como un protón . Sin embargo, Robert Oppenheimer señaló que un electrón y su agujero serían capaces de aniquilarse mutuamente, liberando energía del orden de la energía en reposo del electrón en forma de fotones energéticos; si los agujeros fueran protones, no existirían átomos estables. ^[4] Hermann Weyl también señaló que un agujero debería actuar como si tuviera la misma masa que un electrón, mientras que el protón es aproximadamente dos mil veces más pesado. La cuestión se resolvió finalmente en 1932, cuando Carl Anderson descubrió el positrón , con todas las propiedades físicas predichas para el agujero de Dirac.

A pesar de su éxito, la idea del mar de Dirac no suele parecer muy elegante. La existencia del mar implica una carga eléctrica negativa infinita que llena todo el espacio. Para que esto tenga algún sentido, hay que suponer que el "vacío desnudo" debe tener una densidad de carga positiva infinita que queda exactamente anulada por el mar de Dirac. Puesto que la densidad de energía absoluta no es observable (dejando de lado la constante cosmológica ), la densidad de energía infinita del vacío no representa un problema. Sólo son observables los cambios en la densidad de energía. Geoffrey Landis también señala ^{[ cita requerida ]} que la exclusión de Pauli no significa definitivamente que un mar de Dirac lleno no pueda aceptar más electrones, ya que, como explicó Hilbert , un mar de extensión infinita puede aceptar nuevas partículas incluso si está lleno. Esto sucede cuando tenemos una anomalía quiral y un instantón de calibración .

El desarrollo de la teoría cuántica de campos (QFT) en la década de 1930 hizo posible reformular la ecuación de Dirac de una manera que trata al positrón como una partícula "real" en lugar de la ausencia de una partícula, y hace que el vacío sea el estado en el que no existen partículas en lugar de un mar infinito de partículas. Esta imagen recupera todas las predicciones válidas del mar de Dirac ^{[ cita requerida ]} , como la aniquilación electrón-positrón. Por otro lado, la formulación de campo no elimina todas las dificultades planteadas por el mar de Dirac; en particular el problema de que el vacío posee energía infinita .

Al resolver la ecuación de Dirac libre,

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=(c{\hat {\boldsymbol {\alpha }}}\cdot {\hat {\boldsymbol {p}}}+mc^{2}{\hat {\beta }})\Psi ,}$$

uno encuentra ^[5]

$${\displaystyle \Psi _{\mathbf {p} \lambda }=N\left({\begin{matrix}U\\{\frac {(c{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}\cdot {\boldsymbol {p}})}{mc^{2}+\lambda E_{p}}}U\end{matrix}}\right){\frac {\exp[i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} -\varepsilon t)/\hbar ]}{{\sqrt {2\pi \hbar }}^{3}}},}$$

dónde

$${\displaystyle \varepsilon =\pm E_{p},\quad E_{p}=+c{\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}c^{2}}},\quad \lambda =\operatorname {sgn} \varepsilon }$$

para soluciones de ondas planas con 3 -momento p . Esto es una consecuencia directa de la relación energía-momento relativista

$${\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}$$

sobre la que se construye la ecuación de Dirac. La cantidad U es un vector columna constante de 2 × 1 y N es una constante de normalización. La cantidad ε se llama factor de evolución temporal , y su interpretación en papeles similares en, por ejemplo, las soluciones de ondas planas de la ecuación de Schrödinger , es la energía de la onda (partícula). Esta interpretación no está inmediatamente disponible aquí ya que puede adquirir valores negativos. Una situación similar prevalece para la ecuación de Klein-Gordon . En ese caso, el valor absoluto de ε puede interpretarse como la energía de la onda ya que en el formalismo canónico, las ondas con ε negativo en realidad tienen energía positiva E _p . ^[6] Pero este no es el caso con la ecuación de Dirac. La energía en el formalismo canónico asociada con ε negativo es – E _p . ^[7]

La interpretación del mar de Dirac y la interpretación moderna de la QFT están relacionadas por lo que puede considerarse una transformación de Bogoliubov muy simple , una identificación entre los operadores de creación y aniquilación de dos teorías de campo libre diferentes. ^{[ cita requerida ]} En la interpretación moderna, el operador de campo para un espinor de Dirac es una suma de operadores de creación y operadores de aniquilación, en una notación esquemática:

$${\displaystyle \psi (x)=\sum a^{\dagger }(k)e^{ikx}+a(k)e^{-ikx}}$$

Un operador con frecuencia negativa reduce la energía de cualquier estado en una cantidad proporcional a la frecuencia, mientras que los operadores con frecuencia positiva aumentan la energía de cualquier estado.

En la interpretación moderna, los operadores de frecuencia positiva agregan una partícula de energía positiva, lo que aumenta la energía, mientras que los operadores de frecuencia negativa aniquilan una partícula de energía positiva y reducen la energía. Para un campo fermiónico , el operador de creación da cero cuando el estado con momento k ya está lleno, mientras que el operador de aniquilación da cero cuando el estado con momento k está vacío.${\displaystyle a^{\dagger }(k)}$${\displaystyle a(k)}$

Pero entonces es posible reinterpretar el operador de aniquilación como un operador de creación para una partícula de energía negativa . Todavía reduce la energía del vacío, pero desde este punto de vista lo hace creando un objeto de energía negativa. Esta reinterpretación sólo afecta a la filosofía. Para reproducir las reglas de cuándo la aniquilación en el vacío da cero, la noción de "vacío" y "lleno" debe invertirse para los estados de energía negativa. En lugar de ser estados sin antipartícula, estos son estados que ya están llenos de una partícula de energía negativa.

El precio es que hay una falta de uniformidad en ciertas expresiones, porque al reemplazar la aniquilación por la creación se agrega una constante al número de partículas de energía negativa. El operador numérico para un campo de Fermi ^[8] es:

$${\displaystyle N=a^{\dagger }a=1-aa^{\dagger }}$$

lo que significa que si uno reemplaza N por 1− N para estados de energía negativos , hay un cambio constante en cantidades como la energía y la densidad de carga, cantidades que cuentan el número total de partículas. La constante infinita le da al mar de Dirac una energía y densidad de carga infinitas. La densidad de carga del vacío debería ser cero, ya que el vacío es invariante de Lorentz , pero es artificial organizar esto en la imagen de Dirac. La forma de hacerlo es pasando a la interpretación moderna.

La idea de Dirac es más directamente aplicable a la física del estado sólido , donde la banda de valencia de un sólido puede considerarse como un "mar" de electrones. En este mar, de hecho, existen agujeros, que son extremadamente importantes para comprender los efectos de los semiconductores , aunque nunca se los llama "positrones". A diferencia de lo que ocurre en la física de partículas, hay una carga positiva subyacente (la carga de la red iónica ) que anula la carga eléctrica del mar.

El concepto original de Dirac de un mar de partículas fue revivido en la teoría de los sistemas fermiónicos causales , una propuesta reciente para una teoría física unificada. En este enfoque, los problemas de la energía de vacío infinita y la densidad de carga infinita del mar de Dirac desaparecen porque estas divergencias se eliminan de las ecuaciones físicas formuladas a través del principio de acción causal . ^[9] Estas ecuaciones no requieren un espacio-tiempo preexistente, lo que hace posible realizar el concepto de que el espacio-tiempo y todas las estructuras que contiene surgen como resultado de la interacción colectiva de los estados del mar entre sí y con las partículas y "agujeros" adicionales en el mar.

• Mar de Fermi
• Positronio
• Polarización al vacío
• Partícula virtual

• Alvarez-Gaume, Luis; Vazquez-Mozo, Miguel A. (2005). "Introductory Lectures on Quantum Field Theory". CERN Yellow Report CERN . 1 (96): 2010–001. arXiv : hep-th/0510040 . Código Bibliográfico :2005hep.th...10040A.
• Dirac, PAM (1930). "Una teoría de electrones y protones". Proc. R. Soc. Lond. A . 126 (801): 360–365. Bibcode :1930RSPSA.126..360D. doi : 10.1098/rspa.1930.0013 . JSTOR  95359.
• Dirac, PAM (1931). "Singularidades cuantificadas en los campos electromagnéticos". Proc. R. Soc. A . 133 (821): 60–72. Bibcode :1931RSPSA.133...60D. doi :10.1098/rspa.1931.0130. JSTOR  95639.
• Finster, F. (2011). "Una formulación de la teoría cuántica de campos que realiza un mar de partículas de Dirac en interacción". Lett. Math. Phys . 97 (2): 165–183. arXiv : 0911.2102 . Bibcode :2011LMaPh..97..165F. doi :10.1007/s11005-011-0473-1. ISSN  0377-9017. S2CID  39764396.
• Greiner, W. (2000). Mecánica cuántica relativista. Ecuaciones de onda (3.ª ed.). Springer Verlag . ISBN 978-3-5406-74573.(El capítulo 12 está dedicado a la teoría de agujeros.)
• Sattler, KD (2010). Manual de nanofísica: principios y métodos. CRC Press . pp. 10–4. ISBN 978-1-4200-7540-3. Recuperado el 24 de octubre de 2011 .