Cálculo de varillas

El cálculo de varillas o cálculo de varillas fue el método mecánico de cálculo algorítmico con varillas de conteo en China desde los Estados Combatientes hasta la dinastía Ming antes de que las varillas de conteo fueran reemplazadas cada vez más por el ábaco, más conveniente y rápido . El cálculo de varillas jugó un papel clave en el desarrollo de las matemáticas chinas hasta su apogeo en la dinastía Song y la dinastía Yuan , culminando con la invención de ecuaciones polinómicas de hasta cuatro incógnitas en el trabajo de Zhu Shijie .

El equipo básico para realizar el cálculo con varillas es un conjunto de varillas de conteo y una tabla de conteo. Las varillas de conteo suelen estar hechas de palos de bambú, de unos 12 cm a 15 cm de largo, de 2 mm a 4 mm de diámetro, a veces de huesos de animales, o de marfil y jade (para comerciantes adinerados). Una tabla de conteo puede ser una mesa, una tabla de madera con o sin rejilla, sobre el suelo o sobre arena.

En 1971, arqueólogos chinos desenterraron un conjunto de varillas de contar hechas de huesos de animales bien conservados y almacenados en una bolsa de seda de una tumba en el condado de Qian Yang en la provincia de Shanxi, que data de la primera mitad de la dinastía Han (206 a. C. - 8 d. C.). ^{[ cita requerida ]} En 1975 se desenterró un conjunto de varillas de contar hechas de bambú. ^{[ cita requerida ]}

El uso de varillas de conteo para el cálculo de varillas floreció en los Estados Combatientes , aunque no se encontraron artefactos arqueológicos antes de la dinastía Han Occidental (la primera mitad de la dinastía Han ; sin embargo, los arqueólogos desenterraron artefactos de software de cálculo de varillas que datan de los Estados Combatientes ); dado que el software de cálculo de varillas debe haber ido junto con el hardware de cálculo de varillas, no hay duda de que el cálculo de varillas ya estaba floreciendo durante los Estados Combatientes hace más de 2200 años.

El software clave necesario para el cálculo de varillas era una sencilla tabla de multiplicación decimal posicional de 45 frases utilizada en China desde la antigüedad, llamada tabla nueve-nueve , que era aprendida de memoria por alumnos, comerciantes, funcionarios gubernamentales y matemáticos por igual.

Los numerales de varillas son el único sistema numérico que utiliza diferentes combinaciones de colocación de un solo símbolo para representar cualquier número o fracción en el sistema decimal. Para los números en el lugar de las unidades, cada varilla vertical representa 1. Dos varillas verticales representan 2, y así sucesivamente, hasta 5 varillas verticales, que representan 5. Para los números entre 6 y 9, se utiliza un sistema biquinario , en el que una barra horizontal sobre las barras verticales representa 5. La primera fila son los números del 1 al 9 en numerales de varillas, y la segunda fila son los mismos números en forma horizontal.

Para los números mayores de 9, se utiliza un sistema decimal . Las barras colocadas un lugar a la izquierda de las unidades representan 10 veces ese número. Para las centenas, se coloca otro conjunto de barras a la izquierda que representa 100 veces ese número, y así sucesivamente. Como se muestra en la imagen adyacente, el número 231 está representado en números de barras en la fila superior, con una barra en el lugar de las unidades que representa 1, tres barras en el lugar de las decenas que representan 30 y dos barras en el lugar de las centenas que representan 200, con una suma de 231.

Al hacer los cálculos, normalmente no había una cuadrícula en la superficie. Si los números de varilla dos, tres y uno se colocan consecutivamente en forma vertical, existe la posibilidad de que se confundan con 51 o 24, como se muestra en la segunda y tercera fila de la imagen adyacente. Para evitar confusiones, los números en lugares consecutivos se colocan en forma vertical y horizontal alternada, con las unidades ubicadas en forma vertical, ^[1] como se muestra en la fila inferior a la derecha.

En los numerales Rod , los ceros se representan con un espacio, que sirve tanto como número como valor de marcador de posición. A diferencia de los numerales hindúes-arábigos , no hay un símbolo específico para representar el cero. Antes de la introducción de un cero escrito, además de un espacio para indicar que no hay unidades, el carácter en la columna de unidades posterior se rotaría 90° para reducir la ambigüedad de un solo cero. ^[2] Por ejemplo, 107 (𝍠 𝍧) y 17 (𝍩𝍧) se distinguirían por rotación, además del espacio, aunque múltiples unidades cero podrían generar ambigüedad, por ejemplo, 1007 (𝍩 𝍧) y 10007 (𝍠 𝍧). En la imagen adyacente, el número cero se representa simplemente con un espacio.

Los matemáticos de Song usaban el color rojo para representar números positivos y el negro para números negativos . Sin embargo, otra forma es agregar una barra al último lugar para indicar que el número es negativo. ^[3]

El Tratado matemático de Sunzi utilizó la metrología de fracciones decimales. La unidad de longitud era 1 chi .

1 chi = 10 cun , 1 cun = 10 fen , 1 fen = 10 li , 1 li = 10 hao , 10 hao = 1 shi, 1 shi = 10 hu .

1 chi 2 cun 3 fen 4 li 5 hao 6 shi 7 hu se colocan en el tablero de conteo como

¿Dónde está la unidad de medida chi ?

El matemático de la dinastía Song del Sur, Qin Jiushao, extendió el uso de la fracción decimal más allá de la metrología. En su libro Tratado matemático en nueve secciones , expresó formalmente 1,1446154 días como

Domingo

Marcó la unidad con una palabra “日” (día) debajo de ella. ^[4]

El cálculo con varillas funciona según el principio de la suma. A diferencia de los números arábigos , los dígitos representados por las varillas de conteo tienen propiedades aditivas. El proceso de suma implica mover mecánicamente las varillas sin necesidad de memorizar una tabla de suma . Esta es la mayor diferencia con los números arábigos, ya que no se pueden juntar mecánicamente 1 y 2 para formar 3, o 2 y 3 para formar 5.

La imagen adyacente presenta los pasos para sumar 3748 a 289:

1. Coloque el sumando 3748 en la primera fila y el sumando 289 en la segunda.
2. Calcular de IZQUIERDA a DERECHA, desde el 2 de 289 primero.
3. Quita dos varillas de la parte inferior y súmalas a 7 en la parte superior para obtener 9.
4. Mueva 2 varillas de arriba a abajo 8, lleve una hacia adelante hasta 9, que se convierte en cero y la lleve a 3 para hacer 4, retire 8 de la fila inferior.
5. Mueva una varilla del 8 en la fila superior al 9 en la inferior para formar un transporte a la siguiente fila y agregue una varilla a 2 varillas en la fila superior para hacer 3 varillas, la fila superior a la izquierda es 7.
6. Resultado 3748+289=4037

Las varillas en la sumando cambian a lo largo de la adición, mientras que las varillas en el sumando en la parte inferior "desaparecen".

En una situación en la que no es necesario tomar prestado , solo hay que tomar el número de barras del sustraendo del minuendo . El resultado del cálculo es la diferencia. La imagen adyacente muestra los pasos para restar 23 de 54.

En situaciones en las que se necesita un préstamo, como en el caso de 4231–789, es necesario utilizar un procedimiento más complicado. Los pasos para este ejemplo se muestran a la izquierda.

1. Coloca el minuendo 4231 arriba y el sustraendo 789 abajo. Calcula de izquierda a derecha.
2. Tome prestado 1 del lugar de los millares por una decena en el lugar de las centenas, menos 7 de la fila de abajo, la diferencia 3 se suma al 2 de arriba para formar 5. Se resta el 7 de abajo, como se muestra con el espacio.
3. Tome prestado 1 del lugar de las centenas, lo que deja 4. El 10 en el lugar de las decenas menos el 8 de abajo da como resultado 2, que se suma al 3 de arriba para formar 5. La fila superior ahora es 3451, la inferior 9.
4. Tome prestado 1 del 5 en el lugar de las decenas en la parte superior, lo que deja 4. El 1 prestado de las decenas es 10 en el lugar de las unidades, restando 9, lo que da como resultado 1, que se agregan en la parte superior para formar 2. Con todas las barras en la fila inferior restadas, el 3442 en la fila superior es entonces el resultado del cálculo.

Sunzi Suanjing describió en detalle el algoritmo de la multiplicación. A la izquierda se muestran los pasos para calcular 38×76:

1. Coloque el multiplicando arriba y el multiplicador abajo. Alinee las unidades del multiplicador con el lugar más alto del multiplicando. Deje espacio en el medio para anotar.
2. Empieza a calcular desde el lugar más alto del multiplicando (en el ejemplo, calcula 30×76 y luego 8×76). Usando la tabla de multiplicar, 3 por 7 es 21. Coloca 21 en barras en el medio, con el 1 alineado con el lugar de las decenas del multiplicador (encima del 7). Luego, 3 por 6 es igual a 18, coloca 18 como se muestra en la imagen. Con el 3 en el multiplicando multiplicado en su totalidad, quita las barras.
3. Mueva el multiplicador un lugar hacia la derecha. Cambie el 7 a la forma horizontal y el 6 a la vertical.
4. 8×7 = 56, coloca 56 en la segunda fila en el medio, con las unidades alineadas con los dígitos multiplicados en el multiplicador. Resta 7 del multiplicador ya que ha sido multiplicado.
5. 8×6 = 48, 4 más el 6 del último paso da 10, se lleva 1. Se quitan 8 de las unidades del multiplicando y se quitan 6 de las unidades del multiplicador.
6. Suma 2380 y 508 en el medio, lo que da como resultado 2888: el producto.

La animación de la izquierda muestra los pasos para calcular ⁠309/7⁠ = 44 ⁠1/7⁠ .

1. Coloca el dividendo, 309, en la fila del medio y el divisor, 7, en la fila inferior. Deja espacio para la fila superior.
2. Mueva el divisor, 7, un lugar a la izquierda, cambiándolo a forma horizontal.
3. Usando la tabla de multiplicación y división china, 30÷7 es igual a 4 resto 2. Coloque el cociente, 4, en la fila superior y el resto, 2, en la fila del medio.
4. Mueva el divisor un lugar a la derecha, cambiándolo a forma vertical. 29÷7 es igual a 4 con un resto de 1. Coloque el cociente, 4, en la parte superior, dejando el divisor en su lugar. Coloque el resto en la fila del medio en lugar del dividendo en este paso. El resultado es que el cociente es 44 con un resto de 1

El algoritmo de división sunita fue transmitido íntegramente por Al Khwarizmi al país islámico a partir de fuentes indias en el año 825 d. C. El libro de Al Khwarizmi fue traducido al latín en el siglo XIII. El algoritmo de división sunita evolucionó más tarde a la división de galeras en Europa. El algoritmo de división del libro de Abu'l-Hasan al-Uqlidisi, Kitab al-Fusul fi al-Hisab al-Hindi, del año 925 d. C., y de los Principios del cálculo hindú de Kushyar ibn Labban , del siglo XI , eran idénticos al algoritmo de división de Sunzu.

Si hay un resto en una división decimal con valor posicional, tanto el resto como el divisor deben dejarse en su lugar, uno encima del otro. En las notas de Liu Hui a Jiuzhang suanshu (siglo II a. C.), el número de arriba se llama "shi" (实), mientras que el de abajo se llama "fa" (法). En Sunzi Suanjing , el número de arriba se llama "zi" (子) o "fenzi" (lit., hijo de la fracción), y el de abajo se llama "mu" (母) o "fenmu" (lit., madre de la fracción). Fenzi y Fenmu también son los nombres chinos modernos para numerador y denominador , respectivamente. Como se muestra a la derecha, 1 es el resto del numerador, 7 es el divisor del denominador, formando una fracción .1/7⁠ . El cociente de la división ⁠309/7⁠ tiene 44 + ⁠1/7Liu Hui utilizó muchos cálculos con fracciones en Haidao Suanjing .

Esta forma de fracción, con numerador arriba y denominador abajo sin barra horizontal en el medio, fue transmitida al país árabe en un libro del año 825 d. C. por Al Khwarizmi a través de la India, y fue utilizada en el siglo X por Abu'l-Hasan al-Uqlidisi y en la obra "Clave aritmética" de Jamshīd al-Kāshī del siglo XV.

⁠1/3⁠ + ⁠2/5⁠

• Coloque los dos numeradores 1 y 2 en el lado izquierdo del tablero de conteo, coloque los dos denominadores 3 y 5 en el lado derecho.
• Multiplica 1 por 5, 2 por 3 para obtener 5 y 6, reemplaza los numeradores con los productos cruzados correspondientes.
• Multiplica los dos denominadores 3 × 5 = 15, ponlo abajo a la derecha
• Sume los dos numeradores 5 y 6 = 11 y colóquelo en la parte superior derecha del tablero de conteo.
• Resultado: ⁠1/3⁠ + ⁠2/5⁠ = ⁠11/15⁠

⁠8/9⁠ − ⁠1/5⁠

• Coloque el número de varilla para los numeradores 1 y 8 en el lado izquierdo de un tablero de conteo.
• Coloque las varillas para los denominadores 5 y 9 en el lado derecho de un tablero de conteo.
• Multiplica de forma cruzada 1 × 9 = 9, 5 × 8 = 40, reemplaza los numeradores correspondientes
• Multiplica los denominadores 5 × 9 = 45, coloca 45 en la parte inferior derecha del tablero de conteo, reemplaza el denominador 5
• Restar 40 - 9 = 31, poner arriba a la derecha.
• Resultado: ⁠8/9⁠ − ⁠1/5⁠ = ⁠31/45⁠

3 ⁠1/3× 5​2/5⁠

• Coloca las varillas de conteo para 3 ⁠1/3⁠ y 5 ⁠2/5⁠ en el tablero de conteo como formato de tabulación shang, shi, fa.
• Shang multiplicado por fa sumado a shi: 3 × 3 + 1 = 10; 5 × 5 + 2 = 27
• Shi multiplicado por shi: 10 × 27 = 270
• fa multiplicado por fa:3 × 5 = 15
• shi dividido por fa: 3 ⁠1/3× 5​2/5⁠ = 18

El algoritmo para hallar el máximo común divisor de dos números y la reducción de fracciones se expuso en Jiuzhang suanshu . El máximo común divisor se halla mediante divisiones sucesivas con restos hasta que los dos últimos restos sean idénticos. La animación de la derecha ilustra el algoritmo para hallar el máximo común divisor de ⁠32.450.625/59.056.400⁠ y reducción de una fracción.

En este caso el mcf es 25.

Divida el numerador y el denominador por 25. La fracción reducida es ⁠1.298.025/2.362.256⁠ .

El calendarista y matemático He Chengtian (何承天) utilizó el método de interpolación de fracciones , llamado "armonización del divisor del día" (调日法) para obtener un valor aproximado mejor que el antiguo sumando iterativamente los numeradores y denominadores de una fracción "más débil" con una "fracción más fuerte". ^{[5] El legendario} π de Zu Chongzhi = ⁠355/113⁠ podría obtenerse con el método de He Chengtian ^[6]

Capítulo ocho Matrices rectangulares de Jiuzhang suanshu proporcionó un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de eliminación : ^[7]

Problema 8-1: Supongamos que tenemos 3 paquetes de cereales de primera calidad, 2 paquetes de cereales de calidad media y un paquete de cereales de baja calidad con un peso acumulado de 39 dou. También tenemos 2, 3 y 1 paquetes de los respectivos cereales, que suman 34 dou; también tenemos 1, 2 y 3 paquetes de los respectivos cereales, que suman un total de 26 dou.

Halla la cantidad de cereales de calidad superior, media y baja. En álgebra, este problema se puede expresar en tres ecuaciones de sistema con tres incógnitas.

${\displaystyle {\begin{cases}3x+2y+z=39\\2x+3y+z=34\\x+2y+3z=26\end{cases}}}$

Este problema se resolvió en Jiuzhang suanshu con varillas de conteo dispuestas en un tablero de conteo en un formato tabular similar a una matriz de 3x4:

calidad	columna izquierda	columna central	columna derecha
arriba
medio
bajo
Shi

Algoritmo:

1. Multiplica la columna central por el número de calidad superior de la columna derecha.
2. Reste repetidamente la columna derecha de la columna central, hasta que el número superior de la columna central sea = 0.
3. multiplica la columna izquierda por el valor de la fila superior de la columna derecha.
4. Reste repetidamente la columna derecha de la columna izquierda, hasta que el número superior de la columna izquierda sea igual a 0.
5. Después de aplicar el algoritmo de eliminación anterior a la columna central reducida y a la columna izquierda, la matriz se redujo a una forma triangular.

calidad	columna izquierda	columna central	columna derecha
arriba
medio
bajo
Shi

La cantidad de un paquete de cereal de baja calidad${\displaystyle ={\frac {99}{36}}=2{\frac {3}{4}}}$

A partir de lo cual se puede encontrar fácilmente la cantidad de un paquete de cereales de calidad superior y media:

• Un paquete de cereales de primera calidad = 9 dou${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$
• Un paquete de cereal mediano = 4 dólares${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$

El algoritmo para la extracción de la raíz cuadrada fue descrito en Jiuzhang suanshu y con pequeñas diferencias en la terminología en Sunzi Suanjing .

La animación muestra el algoritmo para la extracción del cálculo de varillas de una aproximación de la raíz cuadrada del algoritmo del problema 19 del capítulo 2 de Sunzi Suanjing:${\displaystyle {\sqrt {234567}}\aproximadamente 484{\tfrac {311}{968}}}$

Ahora hay un área cuadrada de 234567, encuentre un lado del cuadrado . ^[8]

El algoritmo es el siguiente:

• Coloque 234567 en el tablero de conteo, en la segunda fila desde arriba, llamado shi
• Coloque un marcador 1 en la posición 10000 en la cuarta fila llamado xia fa
• Estima el primer dígito de la raíz cuadrada para contar el número 4, colócalo en la posición de las centenas de la fila superior ( shang ).
• Multiplica shang 4 por xiafa 1, coloca el producto 4 en la tercera fila llamada fang fa
• Multiplica shang por fang fa y resta el producto 4x4=16 de shi : 23-16=7, queda el número 7.
• duplica el colmillo fa 4 para convertirse en 8, cambia una posición a la derecha y cambia el 8 vertical a 8 horizontal después de moverlo a la derecha.
• Mueva xia fa dos posiciones a la derecha.
• Estima el segundo dígito de shang como 8: coloca el numeral 8 en la décima posición de la fila superior.
• Multiplica xia fa por el nuevo dígito de shang y suma fang fa.

.

• 8 llama 8 = 64, reste 64 del número "74" de la fila superior, dejando una varilla en el dígito más significativo.
• duplica el último dígito de fang fa 8, suma 80 = 96
• Mueva fang fa 96 una posición a la derecha, cambie la convención; mueva xia fa "1" dos posiciones a la derecha.
• Calcule que el tercer dígito de shang es 4.
• Multiplica el nuevo dígito de shang 4 por xia fa 1, combinado con fang fa para obtener 964.
• restar sucesivamente 4*9=36,4*6=24,4*4=16 del shi , dejando 311
• Duplica el último dígito 4 de fang fa por 8 y fusiona con fang fa
• resultado${\displaystyle {\sqrt {234567}}\aproximadamente 484{\tfrac {311}{968}}}$

El matemático de la dinastía Song del Norte, Jia Xian, desarrolló un algoritmo multiplicativo aditivo para la extracción de raíces cuadradas , en el que reemplazó la tradicional "duplicación" de "fang fa" agregando el dígito shang al dígito fang fa , con el mismo efecto.

Jiuzhang suanshu vol iv "shaoguang" proporcionó un algoritmo para la extracción de la raíz cúbica.

〔一九〕今有積一百八十六萬八百六十七尺。問為立方幾何？答曰：一百二十三尺。

Problema 19: Tenemos un chi cúbico de 1860867, ¿cuál es la longitud de un lado? Respuesta:123 chi.

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1860867}}=123}$

El matemático de la dinastía Song del Norte, Jia Xian, inventó un método similar a la forma simplificada del esquema de Horner para la extracción de raíces cúbicas. La animación de la derecha muestra el algoritmo de Jia Xian para resolver el problema 19 del libro Jiuzhang suanshu vol. 4.

El matemático de la dinastía Song del Norte, Jia Xian, inventó el esquema de Horner para resolver una ecuación simple de cuarto orden de la forma

$Estilo de visualización x^{4}=a$

El matemático de la dinastía Song del Sur, Qin Jiushao, mejoró el método de Horner de Jia Xian para resolver ecuaciones polinómicas de hasta el décimo orden. El siguiente es un algoritmo para resolver

$Estilo de visualización -x^{4}+15245x^{2}-6262506.25=0$en su Tratado matemático en nueve secciones vol. 6, problema 2. ^[9]

Esta ecuación se organizó de abajo hacia arriba con varillas de conteo en un tablero de conteo en forma de tabla.

0	shang	raíz
626250625	Shi	constante
0	colmillo	coeficiente de x
15245	Shang Lian	coeficiente positivo de ⁠ ⁠$Estilo de visualización x^{2}}$
0	Fu Lian	coeficiente negativo de ⁠ ⁠$Estilo de visualización x^{2}}$
0	xia lian	coeficiente de​$Estilo de visualización x^{3}}$
1	yi yu	coeficiente negativo de ⁠ ⁠${\estilo de visualización x^{4}}$

Algoritmo:

1. Ordene los coeficientes en forma de tabla, constante en shi, coeficiente de x en shang lian, el coeficiente de ⁠ ⁠${\estilo de visualización x^{4}}$ en yi yu; alinee los números en el rango de unidad.
2. Shang lian avanza dos filas
3. Avanzar yi yu tres rangos
4. Estimación shang=20
5. deja que xia lian = shang * yi yu
6. deja que fu lian=shang *yi yu
7. fusionar fu lian con shang lian
8. deje que fang=shang * shang lian
9. Restar Shang*fang de Shi
10. Añade Shang*YiYu a XiaLian
11. retraer xia lian 3 rangos, retraer yi yu 4 rangos
12. El segundo dígito de shang es 0
13. fusionar shang lian en fang
14. fusionar yi yu en xia lian
15. Sume yi yu a fu lian, reste el resultado de fang, deje que el resultado sea el denominador
16. Encuentra el máximo común divisor = 25 y simplifica la fracción.${\displaystyle {\frac {32450625}{59056400}}}$
17. solución${\displaystyle x=20{\frac {1298205}{2362256}}}$

El matemático de la dinastía Yuan, Li Zhi, desarrolló el cálculo de varillas en Tian Yuan Shu.

Ejemplo Li Zhi Ceyuan Haiying vol II, problema 14 ecuación de una incógnita:

$Estilo de visualización -x^{2}-680x+96000=0$

Bueno

El matemático Zhu Shijie desarrolló aún más el cálculo de varillas para incluir ecuaciones polinómicas de dos a cuatro incógnitas.

Por ejemplo, polinomios de tres incógnitas:

Ecuación 1:$Estilo de visualización -yzy^{2}*x-x+xyz=0$

Yo

Ecuación 2:${\displaystyle -yz+xx^{2}+xz=0}$

Ecuación 3:${\displaystyle y^{2}-z^{2}+x^{2}=0;}$

Yo

Después de la eliminación sucesiva de dos incógnitas, la ecuación polinómica de tres incógnitas se redujo a una ecuación polinómica de una incógnita:

$Estilo de visualización x^{4}-6x^{3}+4x^{2}+6x-5=0}$

Resuelto x=5;

Lo cual ignora otras 3 respuestas, 2 se repiten.

• Matemáticas chinas
• Varillas de conteo

• Lam Lay Yong (蓝丽蓉) Ang Tian Se (洪天赐), Pasos fugaces, World Scientific ISBN 981-02-3696-4 
• Jean Claude Martzloff, Una historia de las matemáticas chinas ISBN 978-3-540-33782-9