Presión lateral de tierra

La presión lateral de tierra es la presión que ejerce el suelo en dirección horizontal. Es importante porque afecta el comportamiento de consolidación y la resistencia del suelo y porque se considera en el diseño de estructuras de ingeniería geotécnica como muros de contención , sótanos , túneles , cimentaciones profundas y excavaciones arriostradas.

El problema de la presión de tierras se remonta a principios del siglo XVIII, cuando Gautier ^[1] enumeró cinco áreas que requerían investigación, una de las cuales era las dimensiones de los muros de contención de la gravedad necesarios para retener el suelo. Sin embargo, la primera contribución importante al campo de las presiones de tierras la realizó varias décadas después Coulomb ^[2] , quien consideró una masa rígida de suelo deslizándose sobre una superficie de corte. Rankine ^[3] amplió la teoría de la presión de tierras al derivar una solución para una masa de suelo completa en estado de falla, en comparación con la solución de Coulomb que había considerado una masa de suelo limitada por una única superficie de falla. Originalmente, la teoría de Rankine consideraba solo el caso de suelos sin cohesión, y Bell ^[4] la extendió posteriormente para cubrir el caso de suelos que poseen tanto cohesión como fricción. Caquot y Kerisel ^[5] modificaron las ecuaciones de Muller-Breslau para tener en cuenta una superficie de ruptura no plana.

El coeficiente de presión lateral de tierra, K, se define como la relación entre la tensión efectiva horizontal , σ' _h , y la tensión efectiva vertical, σ' _v . La tensión efectiva es la tensión intergranular calculada restando la presión de agua intersticial de la tensión total, como se describe en la mecánica de suelos . K para un depósito de suelo particular es una función de las propiedades del suelo y el historial de tensiones. El valor estable mínimo de K se denomina coeficiente de presión de tierra activa, K _a ; la presión de tierra activa se obtiene, por ejemplo, cuando un muro de contención se aleja del suelo. El valor estable máximo de K se denomina coeficiente de presión de tierra pasiva, K _p ; la presión de tierra pasiva se desarrollaría, por ejemplo, contra un arado vertical que está empujando el suelo horizontalmente. Para un depósito de suelo nivelado con una deformación lateral cero en el suelo, se obtiene el coeficiente de presión de tierra lateral "en reposo", K _{0 .}

Existen muchas teorías para predecir la presión lateral de la tierra; algunas tienen base empírica y otras se derivan analíticamente.

En este artículo se definen las siguientes variables en las ecuaciones:

LOC

Índice de sobreconsolidación

β

Ángulo del talud de contención medido respecto a la horizontal

del

Ángulo de fricción de la pared

θ

Ángulo de la pared medido con respecto a la vertical

φ

Ángulo de fricción por tensión del suelo

φ'

Ángulo de fricción de tensión del suelo efectivo

φ'cs_​

Ángulo de fricción de tensión del suelo efectivo en estado crítico

La presión lateral in situ del suelo se denomina presión de tierra en reposo y generalmente se calcula mediante el producto de la tensión de sobrecarga por el coeficiente K ₀ ; este último se denomina coeficiente de presión de tierra en reposo. K ₀ se puede obtener directamente en el campo basándose, por ejemplo, en la prueba del dilatómetro (DMT) o en una prueba del presímetro de pozo (PMT), aunque se calcula más comúnmente utilizando la conocida fórmula de Jaky. Para arenas depositadas de forma suelta en reposo, Jaky ^{[6] [7]} demostró analíticamente que K ₀ se desvía de la unidad con tendencia descendente a medida que aumenta el término sinusoidal del ángulo de fricción interna del material, es decir,

${\displaystyle K_{0(NC)}=1-\sin \phi '}$

Posteriormente se demostró que el coeficiente de Jaky también era válido para depósitos granulares normalmente consolidados ^{[8] [9] [10]} y arcillas normalmente consolidadas. ^{[11] [12] [13]}

Desde un punto de vista puramente teórico, la  fórmula muy simple funciona idealmente para los dos valores extremos de , donde para = 0 ^o da  refiriéndose a condiciones hidrostáticas y para = 90 ^o (valor teórico) da  refiriéndose a un material friccional que puede permanecer verticalmente sin apoyo, por lo tanto, no ejerce presión lateral. Estos casos extremos son evidencia suficiente de que la expresión correcta para el coeficiente de presión de tierra en reposo es .${\displaystyle 1-\sin \phi '}$${\estilo de visualización \phi '}$${\estilo de visualización \phi '}$$Estilo de visualización K_{0}=1$${\estilo de visualización \phi '}$${\displaystyle K_{0}=0}$${\displaystyle K_{0}=1-\sin \phi '}$

Existe la impresión general de que el coeficiente de presión de la tierra en reposo de Jaky (1944) es empírico y, de hecho, la  expresión es solo una simplificación de la expresión siguiente:${\displaystyle K_{0}=1-\sin \phi '}$

${\displaystyle K_{0(NC)}={\frac {1+2/3\sin \phi '}{1+\sin \phi '}}(1-\sin \phi ')}$

Sin embargo, este último deriva de un procedimiento completamente analítico y corresponde a un estado intermedio entre el estado de reposo y el estado activo (para más información, véase Pantelidis ^[14] ).

Como se mencionó anteriormente, según la literatura,  la ecuación de Jaky coincide muy bien con los datos experimentales tanto para arenas como arcillas normalmente consolidadas. Sin embargo, algunos investigadores afirman que las formas ligeramente modificadas de la ecuación de Jaky muestran un mejor ajuste a sus datos. Sin embargo, aunque algunas de estas modificaciones ganaron gran popularidad, no proporcionan mejores estimaciones para . Por ejemplo, Brooker e Ireland ^[11] se ha basado en la determinación de laboratorio de de solo cinco muestras, mientras que el ángulo efectivo de resistencia al corte de tres de ellas se obtuvo de la literatura, sin tener control sobre ellos. Además, los refinamientos en el orden de unos pocos puntos porcentuales apoyan más la validez de la expresión que la superioridad de la expresión refinada.${\displaystyle K_{0}=1-\sin \phi '}$$Estilo de visualización K_{0}$ ${\displaystyle K_{0}=0,95-\sin \phi '}$$Estilo de visualización K_{0}$${\displaystyle K_{0}=1-\sin \phi '}$

Para suelos sobreconsolidados, Mayne y Kulhawy ^[15] sugirieron la siguiente expresión:

${\displaystyle K_{0(OC)}=K_{0(NC)}*OCR^{(\sin \phi ')}\ }$

Este último requiere que se determine el perfil OCR con profundidad. OCR es la relación de sobreconsolidación y es el ángulo de fricción de tensión efectiva.${\estilo de visualización \phi '}$

Para estimar K ₀ debido a las presiones de compactación , consulte Ingold (1979) ^[16]

Pantelidis ^[14] ofreció una expresión analítica para el coeficiente de presión de tierra en reposo, aplicable a suelos cohesivos-friccionales y condiciones pseudoestáticas horizontales y verticales, que es parte de un enfoque unificado de mecánica de medios continuos (la expresión en cuestión se da en la sección siguiente).

El estado activo ocurre cuando se permite que una masa de suelo retenida se relaje o deforme lateralmente y hacia afuera (alejándose de la masa de suelo) hasta el punto de movilizar toda su resistencia al corte disponible (o involucrar su resistencia al corte) al tratar de resistir la deformación lateral. Es decir, el suelo está en el punto de falla incipiente por corte debido a la descarga en la dirección lateral. Es la presión lateral teórica mínima que una masa de suelo dada ejercerá sobre un muro de contención que se moverá o rotará alejándose del suelo hasta que se alcance el estado activo del suelo (no necesariamente la presión lateral real en servicio sobre muros que no se mueven cuando se someten a presiones laterales del suelo superiores a la presión activa).

El estado pasivo se produce cuando una masa de suelo es forzada externamente lateralmente y hacia adentro (hacia la masa de suelo) hasta el punto de movilizar toda su resistencia disponible al corte en un intento de resistir una mayor deformación lateral. Es decir, la masa de suelo está en el punto de falla incipiente por corte debido a la carga en la dirección lateral. Es la resistencia lateral máxima que una masa de suelo dada puede ofrecer a un muro de contención que está siendo empujado hacia la masa de suelo. Es decir, el suelo está en el punto de falla incipiente por corte, pero esta vez debido a la carga en la dirección lateral. Por lo tanto, la presión activa y la resistencia pasiva definen la presión lateral mínima y la resistencia lateral máxima posible de una masa de suelo dada.

Coulomb (1776) ^[2] fue el primero en estudiar el problema de las presiones laterales de tierra sobre estructuras de contención. Utilizó la teoría del equilibrio límite, que considera el bloque de suelo que falla como un cuerpo libre para determinar la presión horizontal límite de tierra.

Las presiones horizontales limitantes en el momento de la falla en extensión o compresión se utilizan para determinar y respectivamente. Dado que el problema es indeterminado , ^[17] se deben analizar varias superficies de falla potenciales para identificar la superficie de falla crítica (es decir, la superficie que produce el empuje máximo o mínimo en la pared). La principal suposición de Coulomb es que la superficie de falla es plana. $Estilo de visualización K_{a}}$$Estilo de visualización K_{p}}$

Mayniel (1808) ^[18] luego extendió las ecuaciones de Coulomb para tener en cuenta la fricción de la pared, denotada por . Müller-Breslau (1906) ^[19] generalizó aún más las ecuaciones de Mayniel para un relleno no horizontal y una interfaz suelo-pared no vertical (representada por un ángulo desde la vertical).${\estilo de visualización \delta}$${\estilo de visualización \theta}$

${\displaystyle K_{a}={\frac {\cos ^{2}(\phi '-\theta \derecha)}{\cos ^{2}\theta \cos \izquierda(\delta +\theta \derecha)\izquierda(1+{\sqrt {\frac {\sin \izquierda(\delta +\phi '\derecha)\sin \izquierda(\phi '-\beta \derecha)}{\cos \izquierda(\delta +\theta \derecha)\cos \izquierda(\beta -\theta \derecha)}}}\ \derecha)^{2}}}}$

${\displaystyle K_{p}={\frac {\cos ^{2}(\phi '+\theta \right)}{\cos ^{2}\theta \cos \left(\delta -\theta \right)\left(1-{\sqrt {\frac {\sin \left(\delta +\phi '\right)\sin \left(\phi '+\beta \right)}{\cos \left(\delta -\theta \right)\cos \left(\beta -\theta \right)}}}\ \right)^{2}}}}$

En lugar de evaluar las ecuaciones anteriores o utilizar aplicaciones de software comerciales para ello, se pueden utilizar libros de tablas para los casos más comunes. Generalmente, en lugar de , se tabula la parte horizontal . Es lo mismo que multiplicado por . [Tenga en cuenta que, en determinadas condiciones, la ecuación para "explota". Por ejemplo, si y , entonces .]$Estilo de visualización K_{a}}$$Estilo de visualización K_{ah}}$$Estilo de visualización K_{a}}$${\displaystyle \cos(\delta +\theta )}$$Estilo de visualización K_{p}}$${\displaystyle \theta =\beta =0}$${\displaystyle \phi '=\delta =45^{\circ }}$${\displaystyle K_{p}\to \infty }$

La fuerza de presión de tierra real es la suma de la parte debida al peso de la tierra, una parte debida a cargas adicionales como el tráfico, menos una parte debida a cualquier cohesión presente.$Estilo de visualización E_{a}}$$Estilo de visualización E_{ag}$${\displaystyle E_{ap}}$$Estilo de visualización E_{ac}}$

$Estilo de visualización E_{ag}$es la integral de la presión sobre la altura del muro, que equivale a multiplicado por la gravedad específica de la tierra por la mitad de la altura del muro al cuadrado.$Estilo de visualización K_{a}}$

En el caso de una carga de presión uniforme sobre una terraza sobre un muro de contención, equivale a esta presión multiplicada por la altura del muro. Esto se aplica si la terraza es horizontal o el muro vertical. En caso contrario, se debe multiplicar por .${\displaystyle E_{ap}}$$Estilo de visualización K_{a}}$${\displaystyle E_{ap}}$${\displaystyle {\frac {\cos \theta \cdot \cos \beta }{\cos(\theta -\beta )}}}$

$Estilo de visualización E_{ac}}$Generalmente se supone que es cero a menos que se pueda mantener un valor de cohesión de forma permanente.

$Estilo de visualización E_{ag}$actúa sobre la superficie de la pared a un tercio de su altura desde la parte inferior y en un ángulo relativo a un ángulo recto en la pared. actúa en el mismo ángulo, pero a la mitad de la altura.${\estilo de visualización \delta}$${\displaystyle E_{ap}}$

La teoría de Rankine , desarrollada en 1857, ^[3] es una solución de campo de tensiones que predice la presión de tierra activa y pasiva. Supone que el suelo no tiene cohesión, el muro no está inclinado ni presenta fricción, mientras que el relleno es horizontal. La superficie de falla sobre la que se mueve el suelo es plana . Las expresiones para los coeficientes de presión lateral de tierra activa y pasiva se dan a continuación.

${\displaystyle K_{a}=\tan ^{2}\left(45-{\frac {\phi '}{2}}\right)={\frac {1-\sin(\phi ')}{ 1+\sin(\phi ')}}}$

${\displaystyle K_{p}=\tan ^{2}\left(45+{\frac {\phi '}{2}}\right)={\frac {1+\sin(\phi ')}{ 1-\sin(\phi ')}}}$

Para los suelos con cohesión, Bell ^[4] desarrolló una solución analítica que utiliza la raíz cuadrada del coeficiente de presión para predecir la contribución de la cohesión a la presión total resultante. Estas ecuaciones representan la presión lateral total de la tierra. El primer término representa la contribución no cohesiva y el segundo término la contribución cohesiva. La primera ecuación es para la condición de presión de tierra activa y la segunda para la condición de presión de tierra pasiva.

${\displaystyle \sigma _{a}=K_{a}\sigma _{v}-2c'{\sqrt {K_{a}}}\ }$

${\displaystyle \sigma _{p}=K_{p}\sigma _{v}+2c'{\sqrt {K_{p}}}\ }$

Nótese que c' y φ' son la cohesión efectiva y el ángulo de resistencia al corte del suelo respectivamente. Para suelos cohesivos, la profundidad de la grieta de tensión (referida al estado activo) es: Para suelos puramente friccionales con relleno inclinado que ejerce presión sobre una pared sin fricción y sin inclinación, los coeficientes son:$${\displaystyle z_{tc}={\frac {2c'}{\gamma \tan {(45^{o}-\phi '/2)}}}}$$

${\displaystyle K_{a}=\cos \beta {\frac {\cos \beta -{\sqrt {\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi '}}}{\cos \beta +{\sqrt {\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi '}}}}}$

${\displaystyle K_{p}=\cos \beta {\frac {\cos \beta +{\sqrt {\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi '}}}{\cos \beta -{\sqrt {\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi '}}}}}$

con componentes horizontales de presión de tierra:

${\displaystyle \sigma _{a}=K_{a}\gamma z\cos \beta }$

${\displaystyle \sigma _{p}=K_{p}\gamma z\cos \beta }$

donde, β es el ángulo de inclinación del relleno.

En 1948, Albert Caquot (1881-1976) y Jean Kerisel (1908-2005) ^[5] desarrollaron una teoría avanzada que modificaba las ecuaciones de Muller-Breslau para tener en cuenta una superficie de ruptura no plana. En su lugar, utilizaron una espiral logarítmica para representar la superficie de ruptura. Esta modificación es extremadamente importante para la presión pasiva de la tierra donde hay fricción entre el suelo y la pared. Las ecuaciones de Mayniel y Muller-Breslau no son conservadoras en esta situación y son peligrosas de aplicar. Para el coeficiente de presión activa, la superficie de ruptura en espiral logarítmica proporciona una diferencia insignificante en comparación con Muller-Breslau. Estas ecuaciones son demasiado complejas para usar, por lo que se utilizan tablas o computadoras en su lugar.

Los coeficientes de presión de tierras de Mononobe-Okabe ^{[20] [21]} y Kapilla ^[22] para las condiciones dinámicas activa y pasiva respectivamente se han obtenido sobre la misma base que la solución de Coulomb. Estos coeficientes se indican a continuación:

$${\displaystyle K_{ae}={\frac {\cos ^{2}{(\phi '-\psi -\beta )}}{\cos {\psi }\cos ^{2}{\beta }\cos(\delta +\beta +\psi ){\Bigl (}1+{\sqrt {\frac {\sin {(\phi '+\delta )}\sin {(\phi '-\psi +\alpha )}}{\sqrt {\cos {(\delta +\beta +\phi )}\cos {(\alpha -\beta )}}}}}{\Bigr )}^{2}}}}$$$${\displaystyle K_{pe}={\frac {\cos ^{2}{(\phi '-\psi +\beta )}}{\cos {\psi }\cos ^{2}{\beta }\cos(\delta -\beta +\psi ){\Bigl (}1-{\sqrt {\frac {\sin {(\phi '+\delta )}\sin {(\phi '-\psi +\alpha )}}{\sqrt {\cos {(\delta -\beta +\phi )}\cos {(\alpha -\beta )}}}}}{\Bigr )}^{2}}}}$$con componentes horizontales de presión de tierra:${\displaystyle \sigma _{a}=K_{a}\gamma z\cos \beta }$

${\displaystyle \sigma _{p}=K_{p}\gamma z\cos \beta }$

donde, y son los coeficientes sísmicos de aceleración horizontal y vertical respectivamente, , es el ángulo de inclinación de la cara posterior de la estructura con respecto a la vertical, es el ángulo de fricción entre la estructura y el suelo y es la inclinación del talud posterior.${\textstyle k_{h}}$${\textstyle k_{v}}$${\textstyle \psi =\arctan {(k_{h}/(1-k_{v}))}}$${\textstyle \beta }$${\textstyle \delta }$${\textstyle \alpha }$

Los coeficientes anteriores se incluyen en numerosos códigos de diseño sísmico en todo el mundo (por ejemplo, EN1998-5, ^[23] AASHTO ^[24] ), desde que Seed y Whitman los sugirieron como métodos estándar. ^[25] Los problemas con estas dos soluciones son conocidos (por ejemplo, consulte Anderson ^[26] ]) y el más importante es la raíz cuadrada de un número negativo para (el signo menos representa el caso activo, mientras que el signo más representa el caso pasivo).${\textstyle \phi '<\psi \mp \beta }$

Los distintos códigos de diseño reconocen el problema de estos coeficientes y tratan de interpretarlos, dictan una modificación de estas ecuaciones o proponen alternativas. A este respecto:

• El Eurocódigo 8 ^[23] dicta (sin ninguna explicación) que la raíz cuadrada completa en la fórmula de Mononobe-Okabe, cuando es negativa, debe reemplazarse arbitrariamente por la unidad.
• AASHTO, ^[24] además del problema con la raíz cuadrada, reconoció el conservadurismo de la solución de Mononobe-Okabe adoptando como práctica de diseño estándar el uso de un coeficiente de reducción para la aceleración máxima del suelo esperada, sugiriendo (donde es la aceleración máxima del suelo)${\textstyle k_{h}=(1/2)PGA}$${\textstyle PGA}$
• El Consejo de Seguridad Sísmica de la Construcción ^[27] sugiere que por la misma razón que la anterior${\textstyle k_{h}=(2/3)PGA}$
• El Informe GEO No. 45 ^[28] de la Oficina de Ingeniería Geotécnica de Hong Kong dicta el uso del método de cuña de prueba cuando el número bajo la raíz cuadrada es negativo.

Se observa que las correcciones empíricas anteriores realizadas por AASHTO ^[24] y el Building Seismic Safety Council ^[27] devuelven coeficientes de presión de tierra muy cercanos a los derivados de la solución analítica propuesta por Pantelidis ^[14] (ver a continuación).${\textstyle k_{h}}$

Mazindrani y Ganjale ^[29] presentaron una solución analítica al problema de las presiones de tierra ejercidas sobre un muro sin fricción y sin desniveles por un suelo cohesivo-friccional con superficie inclinada. Las ecuaciones derivadas se dan a continuación para los estados activo y pasivo:

${\displaystyle K_{a}={\frac {1}{\cos ^{2}\phi '}}{\biggl (}2\cos ^{2}\beta +2{\frac {c'}{\gamma z}}\cos \phi '\sin \phi '-{\sqrt {4\cos ^{2}\beta {\Bigl (}\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi '{\Bigr )}+4{\biggl (}{\frac {c'}{\gamma z}}{\biggl )}^{2}\cos ^{2}\phi '+8{\biggl (}{\frac {c'}{\gamma z}}{\biggl )}\cos ^{2}\beta \sin \phi '\cos \phi '}}{\biggl )}-1}$

${\displaystyle K_{p}={\frac {1}{\cos ^{2}\phi '}}{\biggl (}2\cos ^{2}\beta +2{\frac {c'}{\gamma z}}\cos \phi '\sin \phi '+{\sqrt {4\cos ^{2}\beta {\Bigl (}\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi '{\Bigr )}+4{\biggl (}{\frac {c'}{\gamma z}}{\biggl )}^{2}\cos ^{2}\phi '+8{\biggl (}{\frac {c'}{\gamma z}}{\biggl )}\cos ^{2}\beta \sin \phi '\cos \phi '}}{\biggl )}-1}$

con componentes horizontales para el empuje de tierras activo y pasivo son:

${\displaystyle \sigma _{a}=K_{a}\gamma z\cos \beta }$

${\displaystyle \sigma _{p}=K_{p}\gamma z\cos \beta }$

Los coeficientes ka y kp para varios valores de , , y se pueden encontrar en forma de tabla en Mazindrani y Ganjale. ^[29]${\textstyle \phi '}$${\textstyle \beta }$${\textstyle c'/(\gamma z)}$

Basándose en un procedimiento analítico similar, Gnanapragasam ^[30] dio una expresión diferente para ka. Sin embargo, cabe señalar que tanto la expresión de Mazindrani y Ganjale como la de Gnanapragasam conducen a valores idénticos de presión activa de la tierra.

Siguiendo cualquiera de los enfoques para la presión de tierra activa, la profundidad de la grieta de tensión parece ser la misma que en el caso de inclinación cero del relleno (véase la extensión de Bell de la teoría de Rankine).

Pantelidis ^[14] ofreció un enfoque unificado y totalmente analítico de mecánica de continuo (basado en la primera ley de movimiento de Cauchy) para derivar coeficientes de presión de tierra para todos los estados del suelo, aplicables a suelos cohesivos-friccionales y condiciones pseudoestáticas horizontales y verticales.

Se utilizan los siguientes símbolos:

${\textstyle k_{h}}$y son los coeficientes sísmicos de aceleración horizontal y vertical respectivamente${\textstyle k_{v}}$

${\textstyle c'}$, y son la cohesión efectiva, el ángulo de fricción interna efectivo (valores máximos) y el peso unitario del suelo respectivamente${\textstyle \phi '}$${\textstyle \gamma }$

${\textstyle c_{m}}$es la cohesión movilizada del suelo (la resistencia al corte movilizada del suelo, es decir, los parámetros y , se pueden obtener analíticamente o mediante gráficos relevantes; consulte Pantelidis ^[14] )${\textstyle c_{m}}$${\textstyle \phi _{m}}$

${\textstyle E}$y son las constantes elásticas efectivas del suelo (es decir, el módulo de Young y el coeficiente de Poisson respectivamente)${\textstyle \nu }$

${\textstyle H}$¿Cuál es la altura de la pared?

${\textstyle z}$Es la profundidad donde se calcula la presión de la tierra.

$${\displaystyle K_{oe}=(1-\sin \phi ')\left(1+{\frac {k_{h}}{1-k_{v}}}\tan \phi '\right)-{\frac {1}{1-k_{v}}}{\frac {2c_{m}}{\gamma z}}\tan \left(45^{o}-{\frac {\phi '}{2}}\right)}$$con${\textstyle \sigma _{o}=K_{oe}(1-k_{v})\gamma z}$

$${\displaystyle K_{ae}={\frac {1-\sin \phi '}{1+\sin \phi '}}\left(1+2{\frac {k_{h}}{1-k_{v}}}\tan \phi '\right)-{\frac {1}{1-k_{v}}}{\frac {2c_{m}}{\gamma z}}\tan \left(45^{o}-{\frac {\phi '}{2}}\right)}$$con${\textstyle \sigma _{a}=K_{ae}(1-k_{v})\gamma z}$

$${\displaystyle K_{pe}={\frac {1+\sin \phi '}{1-\sin \phi '}}\left(1-2{\frac {k_{h}}{1-k_{v}}}\tan \phi '\right)+{\frac {1}{1-k_{v}}}{\frac {2c_{m}}{\gamma z}}\tan \left(45^{o}+{\frac {\phi '}{2}}\right)}$$con${\textstyle \sigma _{p}=K_{pe}(1-k_{v})\gamma z}$

$${\displaystyle K_{xe,a}={\biggl (}{\frac {1-\sin \phi '}{1+\sin \phi '}}{\biggr )}{\biggl (}\left(1-\xi \sin \phi '\right)-{\frac {k_{h}}{1-k_{v}}}\tan \phi '(2+\xi (1-\sin \phi ')){\biggl )}-{\frac {1}{1-k_{v}}}{\frac {2c_{m}}{\gamma z}}\tan \left(45^{o}-{\frac {\phi '}{2}}\right)}$$con${\textstyle \sigma _{x,a}=K_{xe,a}(1-k_{v})\gamma z}$

$${\displaystyle K_{xe,p}={\biggl (}{\frac {1+\sin \phi '}{1-\sin \phi '}}{\biggr )}^{\xi _{1}}{\biggl (}\left(1+\xi \sin \phi '\right)+\xi _{2}{\frac {k_{h}}{1-k_{v}}}\tan \phi '(2+\xi (1+\sin \phi ')){\biggl )}+{\frac {1}{1-k_{v}}}{\frac {2c_{m}}{\gamma z}}{\Biggl (}{\frac {\tan \left(45^{o}+{\frac {\phi '}{2}}\right)}{\tan \left(45^{o}-{\frac {\phi '}{2}}\right)}}{\Biggr )}^{\xi _{1}}\tan \left(45^{o}-{\frac {\phi '}{2}}\right)}$$donde, , , y${\textstyle \xi _{1}=1+\xi }$${\textstyle \xi _{2}={\frac {2}{m}}-1}$${\textstyle \xi ={\frac {m-1}{m+1}}{\Bigl (}1-{\frac {1}{m}}{\Bigr )}-1}$${\textstyle m={\Bigl (}1-{\frac {\Delta x}{\Delta x_{max}}}{\Bigr )}^{-1}}$

con${\textstyle \sigma _{x,p}=K_{xe,p}(1-k_{v})\gamma z}$

${\textstyle \xi _{1}}$y son parámetros relacionados con la transición de la cuña de suelo del estado en reposo a la cuña de suelo del estado pasivo (es decir, el ángulo de inclinación de la cuña de suelo cambia de a . Además, y son el desplazamiento lateral de la pared y el desplazamiento lateral (máximo) de la pared correspondiente al estado activo o pasivo (ambos a una profundidad ). Este último se da a continuación.${\textstyle \xi _{2}}$${\textstyle 45^{o}+\phi '/2}$${\textstyle 45^{o}-\phi '/2}$${\textstyle \Delta x}$${\textstyle \Delta x_{max}}$${\textstyle z}$

$${\displaystyle \Delta x_{max}={\frac {\pi }{4}}{\frac {1-\nu ^{2}}{E}}{\frac {(H+z)^{3}(H-z)}{H^{2}z}}\Delta \mathrm {K} (1-k_{v})\gamma z}$$Para muro de contención liso y para muro de contención rugoso$${\displaystyle \Delta x_{max}={\frac {\pi }{4}}{\frac {(3-\nu -4\nu ^{2})(1+\nu )}{E}}{\Biggl (}{\frac {1-\nu ^{2}}{H^{2}-z^{2}}}+{\frac {\nu (1+\nu )H-(1-\nu ^{2})z}{(H+z)^{3}}}{\Biggl )}^{-1}{\frac {1}{H}}\Delta \mathrm {K} (1-k_{v})\gamma z}$$

con o para el "lado" activo y pasivo respectivamente.${\textstyle \Delta \mathrm {K} =K_{oe}-K_{xe,a}}$${\textstyle \Delta \mathrm {K} =K_{xe,p}-K_{oe}}$

La profundidad de la zona neutra en el estado de reposo es: mientras que la profundidad de la grieta de tensión en el estado activo es: En condiciones estáticas ( = =0), donde la cohesión movilizada, , es igual al valor de cohesión en el estado crítico, , la expresión anterior se transforma en la conocida:$${\displaystyle z_{nz}={\frac {c'}{(1-k_{v})\gamma \tan {\phi '}}}{\Biggl [}{\frac {1}{{\biggl (}\cos {\phi '}+{\frac {k_{h}}{1-k_{v}}}\sin {\phi '}{\biggl )}^{2}}}-1{\Biggl ]}}$$$${\displaystyle z_{tc}={\frac {c'}{(1-k_{v})\gamma \tan {\phi '}}}{\Biggl [}{\frac {\tan ^{2}(45+\phi '/2)}{{\biggl (}1+2{\frac {k_{h}}{1-k_{v}}}\tan {\phi '}{\biggl )}^{2}}}-1{\Biggl ]}}$$${\displaystyle k_{h}}$${\displaystyle k_{v}}$${\displaystyle c_{m}}$${\displaystyle c'}$$${\displaystyle z_{tc}={\frac {2c'}{\gamma \tan {(45^{o}-\phi '/2)}}}}$$

En realidad, esto se ha previsto en EM1110-2-2502 ^[31] con la aplicación de un factor de movilización de fuerza (SMF) a c′ y tanφ′. Según este manual de ingeniería, un valor de SMF apropiado permite el cálculo de presiones de tierra mayores que las activas utilizando la ecuación de fuerza activa de Coulomb. Suponiendo un valor de SMF promedio igual a 2/3 a lo largo de la superficie de falla de Coulomb, se ha demostrado que para suelos puramente friccionales el valor del coeficiente derivado de la presión de tierra coincide bastante bien con el respectivo derivado de la ecuación de Jaky.${\displaystyle K_{0}=1-\sin \phi '}$

En la solución propuesta por Pantelidis, ^[14] el factor SMF es la relación y lo previsto por EM1110-2-2502, se puede calcular con exactitud.${\displaystyle 1/f_{m}}$

Ejemplo n.° 1: Para =20 kPa, =30 ^o , γ=18 kN/m ³ , = =0, y =2 m, para el estado en reposo =0,211, =9,00 kPa y =14,57 ^o . Al utilizar este par de valores ( , ) en lugar del par de valores ( , ) en el coeficiente de presión de tierra activa ( ) dado anteriormente, este último devuelve un coeficiente de presión de tierra igual a 0,211, es decir, el coeficiente de presión de tierra en reposo.${\displaystyle c'}$${\displaystyle \phi '}$${\displaystyle k_{h}}$${\displaystyle k_{v}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle K_{0}}$${\displaystyle c_{m}}$${\displaystyle \phi _{m}}$${\displaystyle c_{m}}$${\displaystyle \phi _{m}}$${\displaystyle c'}$${\displaystyle \phi '}$${\textstyle K_{ae}}$

Ejemplo #2: Para =0kPa, =30 ^o , γ=18 kN/m ³ , =0.3, =0.15, y =2 m, para el estado en reposo =0.602, =0 kPa y =14.39 ^o . Usando este par de valores ( , ) en lugar del par de valores ( , ) y = =0 en el coeficiente de presión de tierra activa ( ) dado previamente, este último devuelve un coeficiente de presión de tierra igual a 0.602, es decir, nuevamente el coeficiente de presión de tierra en reposo.${\displaystyle c'}$${\displaystyle \phi '}$${\displaystyle k_{h}}$${\displaystyle k_{v}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle K_{oe}}$${\displaystyle c_{m}}$${\displaystyle \phi _{m}}$${\displaystyle c_{m}}$${\displaystyle \phi _{m}}$${\displaystyle c'}$${\displaystyle \phi '}$${\displaystyle k_{h}}$${\displaystyle k_{v}}$${\textstyle K_{ae}}$

Pantelidis y Christodoulou han llevado a cabo una comparación exhaustiva de los métodos de presión de tierras incluidos en las normas EN1998-5:2004 (uso del método Mononobe-Okabe, MO), prEN1998-5:2021 y AASHTO (MO con aceleración máxima del suelo) con ensayos centrífugos contemporáneos, elementos finitos y los coeficientes generalizados de presión de tierras [ ^{14] . [32]} Estos últimos incluyen, entre otros, resultados de 157 casos numéricos con dos programas de elementos finitos (RS2 y mrearth2d de Rocscience) y dos estudios de ensayos centrífugos contemporáneos diferentes ^{[33] [34]}

• Teoría de Mohr-Coulomb
• Mecánica de suelos

• Coduto, Donald (2001), Diseño de cimientos , Prentice-Hall, ISBN 0-13-589706-8
• Material del Departamento de Transporte de California sobre la presión lateral de la tierra