Observabilidad

La observabilidad es una medida de qué tan bien se pueden inferir los estados internos de un sistema a partir del conocimiento de sus resultados externos. En la teoría de control , la observabilidad y la controlabilidad de un sistema lineal son duales matemáticos .

El concepto de observabilidad fue introducido por el ingeniero húngaro-estadounidense Rudolf E. Kálmán para sistemas dinámicos lineales. ^{[1] [2]} Un sistema dinámico diseñado para estimar el estado de un sistema a partir de mediciones de las salidas se denomina observador de estado para ese sistema, como los filtros de Kalman .

Consideremos un sistema físico modelado en representación de espacio de estados . Se dice que un sistema es observable si, para cada posible evolución de los vectores de estado y control , el estado actual puede estimarse utilizando únicamente la información de las salidas (físicamente, esto generalmente corresponde a la información obtenida por sensores ). En otras palabras, se puede determinar el comportamiento de todo el sistema a partir de las salidas del sistema. Por otro lado, si el sistema no es observable, existen trayectorias de estados que no se pueden distinguir midiendo únicamente las salidas.

Para los sistemas lineales invariantes en el tiempo en la representación del espacio de estados, existen pruebas convenientes para verificar si un sistema es observable. Considere un sistema SISO con variables de estado (consulte el espacio de estados para obtener detalles sobre los sistemas MIMO ) dadas por${\estilo de visualización n}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x}}}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)+\mathbf {D} \mathbf {u} (t)}$

Si y solo si el rango de columna de la matriz de observabilidad , definida como

${\displaystyle {\mathcal {O}}={\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\\vdots \\CA^{n-1}\end{bmatrix}}}$

es igual a , entonces el sistema es observable. La razón de esta prueba es que si las columnas son linealmente independientes, entonces cada una de las variables de estado es visible a través de combinaciones lineales de las variables de salida .${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización y}$

El índice de observabilidad de un sistema discreto lineal e invariante en el tiempo es el número natural más pequeño para el que se satisface lo siguiente: , donde${\estilo de visualización v}$${\displaystyle {\text{rango}}{({\mathcal {O}}_{v})}={\text{rango}}{({\mathcal {O}}_{v+1})} }$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}={\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\\vdots \\CA^{v-1}\end{bmatrix}}.}$

El subespacio inobservable del sistema lineal es el núcleo de la función lineal dada por ^[3]${\estilo de visualización N}$${\estilo de visualización G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G\colon \mathbb {R} ^{n}&\rightarrow {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{n})\\x(0)&\mapsto Ce^{At}x(0)\end{aligned}}}$

donde es el conjunto de funciones continuas de a . también se puede escribir como ^[3]${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\estilo de visualización N}$

${\displaystyle N=\bigcap _{k=0}^{n-1}\ker(CA^{k})=\ker {\mathcal {O}}}$

Dado que el sistema es observable si y sólo si , el sistema es observable si y sólo si es el subespacio cero.${\displaystyle \operatorname {rango} ({\mathcal {O}})=n}$${\estilo de visualización N}$

Las siguientes propiedades para el subespacio inobservable son válidas: ^[3]

• ${\displaystyle N\subconjunto Ke(C)}$
• ${\displaystyle A(N)\subconjunto N}$
• ${\displaystyle N=\bigcup \{S\subconjunto R^{n}\mid S\subconjunto Ke(C),A(S)\subconjunto N\}}$

Un concepto ligeramente más débil que el de observabilidad es el de detectabilidad . Un sistema es detectable si todos los estados no observables son estables. ^[4]

Las condiciones de detectabilidad son importantes en el contexto de las redes de sensores . ^{[5] [6]}

Consideremos el sistema lineal continuo variante en el tiempo

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x}}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)\,}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t).\,}$

Supongamos que las matrices , y se dan así como las entradas y las salidas y para todos entonces es posible determinar a dentro de un vector constante aditivo que se encuentra en el espacio nulo de definido por${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización y}$${\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}];}$${\displaystyle x(t_{0})}$${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$

${\displaystyle M(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\varphi (t,t_{0})^{T}C(t)^{T}C(t)\varphi (t,t_{0})\,dt}$

donde es la matriz de transición de estado .${\estilo de visualización \varphi}$

Es posible determinar un único si no es singular . De hecho, no es posible distinguir el estado inicial de del de si está en el espacio nulo de .${\displaystyle x(t_{0})}$${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$$estilo de visualización x_{1}}$$estilo de visualización x_{2}}$$Estilo de visualización x_{1}-x_{2}}$${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$

Tenga en cuenta que la matriz definida anteriormente tiene las siguientes propiedades:${\estilo de visualización M}$

• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$es simétrico
• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$es semidefinido positivo para$estilo de visualización t_{1} geq t_{0}$
• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$satisface la ecuación diferencial matricial lineal

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}M(t,t_{1})=-A(t)^{T}M(t,t_{1})-M(t,t_{1})A(t)-C(t)^{T}C(t),\;M(t_{1},t_{1})=0}$

• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$satisface la ecuación

${\displaystyle M(t_{0},t_{1})=M(t_{0},t)+\varphi (t,t_{0})^{T}M(t,t_{1})\varphi (t,t_{0})}$^[7]

El sistema es observable en si y sólo si existe un intervalo en tal que la matriz no es singular.${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$

Si son analíticos, entonces el sistema es observable en el intervalo [ , ] si existe y un entero positivo k tal que ^[8]${\displaystyle A(t),C(t)}$$estilo de visualización t_{0}}$$estilo de visualización t_{1}$${\displaystyle {\bar {t}}\en [t_{0},t_{1}]}$

${\displaystyle \operatorname {rank} {\begin{bmatrix}&N_{0}({\bar {t}})&\\&N_{1}({\bar {t}})&\\&\vdots &\\&N_{k}({\bar {t}})&\end{bmatrix}}=n,}$

donde y se define recursivamente como${\displaystyle N_{0}(t):=C(t)}$${\displaystyle N_{i}(t)}$

${\displaystyle N_{i+1}(t):=N_{i}(t)A(t)+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}N_{i}(t),\ i=0,\ldots ,k-1}$

Consideremos un sistema que varía analíticamente en matrices y${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

${\displaystyle A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}},\,C(t)={\begin{bmatrix}1&0&1\end{bmatrix}}.}$

Entonces , y dado que esta matriz tiene rango = 3, el sistema es observable en cada intervalo no trivial de .${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{0}(0)\\N_{1}(0)\\N_{2}(0)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Dado el sistema , . Donde el vector de estado, el vector de entrada y el vector de salida deben ser campos vectoriales suaves.${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)+\sum _{j=1}^{m}g_{j}(x)u_{j}}$${\displaystyle y_{i}=h_{i}(x),i\in p}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle f,g,h}$

Defina el espacio de observación como el espacio que contiene todas las derivadas de Lie repetidas , entonces el sistema es observable en si y solo si , donde${\displaystyle {\mathcal {O}}_{s}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \dim(d{\mathcal {O}}_{s}(x_{0}))=n}$

${\displaystyle d{\mathcal {O}}_{s}(x_{0})=\operatorname {span} (dh_{1}(x_{0}),\ldots ,dh_{p}(x_{0}),dL_{v_{i}}L_{v_{i-1}},\ldots ,L_{v_{1}}h_{j}(x_{0})),\ j\in p,k=1,2,\ldots .}$^[9]

Los primeros criterios de observabilidad en sistemas dinámicos no lineales fueron descubiertos por Griffith y Kumar, ^[10] Kou, Elliot y Tarn, ^[11] y Singh. ^[12]

También existen criterios de observabilidad para sistemas no lineales que varían en el tiempo. ^[13]

La observabilidad también puede caracterizarse para sistemas de estado estable (sistemas típicamente definidos en términos de ecuaciones algebraicas y desigualdades), o más generalmente, para conjuntos en . ^{[14] [15]} Así como los criterios de observabilidad se utilizan para predecir el comportamiento de los filtros de Kalman u otros observadores en el caso del sistema dinámico, los criterios de observabilidad para conjuntos en se utilizan para predecir el comportamiento de la conciliación de datos y otros estimadores estáticos. En el caso no lineal, la observabilidad puede caracterizarse para variables individuales, y también para el comportamiento del estimador local en lugar de solo el comportamiento global.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• Controlabilidad
• Lema de Hautus
• Identificabilidad
• Observador estatal
• Espacio de estados (controles)

• "Observabilidad". PlanetMath .
• Función de MATLAB para comprobar la observabilidad de un sistema
• Función de Mathematica para comprobar la observabilidad de un sistema