Medio entero

En matemáticas , un semientero es un número de la forma donde es un entero. Por ejemplo, son todos semienteros . El nombre "semientero" puede ser engañoso, ya que cada entero es en sí mismo la mitad del entero . Un nombre como "entero más la mitad" puede ser más preciso, pero aunque no sea literalmente cierto, "semientero" es el término convencional. ^{[ cita requerida ]} Los semienteros aparecen con suficiente frecuencia en matemáticas y en mecánica cuántica como para que un término distinto sea conveniente.$${\displaystyle n+{\frac {1}{2}},}$$${\estilo de visualización n}$$${\displaystyle 4{\frac {1}{2}},\cuadrado 7/2,\cuadrado -{\frac {13}{2}},\cuadrado 8.5}$$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización 2n}$

Tenga en cuenta que dividir un número entero por la mitad no siempre produce un semientero; esto solo es cierto para los números enteros impares . Por este motivo, a los semienteros también se los denomina a veces semienteros impares . Los semienteros son un subconjunto de los racionales diádicos (números producidos al dividir un número entero por una potencia de dos ). ^[1]

El conjunto de todos los semienteros a menudo se denota Los enteros y semienteros juntos forman un grupo bajo la operación de adición, que puede denotarse ^[2] Sin embargo, estos números no forman un anillo porque el producto de dos semienteros no es un semientero; por ejemplo, ^[3] El anillo más pequeño que los contiene es , el anillo de racionales diádicos .$${\displaystyle \mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\quad =\quad \left({\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} \right)\smallsetminus \mathbb {Z} ~.}$$$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} ~.}$$${\displaystyle ~{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{2}}~=~{\tfrac {1}{4}}~\notin ~{\tfrac {1}{ 2}}\mathbb {Z} ~.}$${\displaystyle \mathbb {Z} \izquierda[{\tfrac {1}{2}}\derecha]}$

• La suma de semienteros es un semientero si y solo si es impar. Esto incluye la suma vacía 0, ya que no es un semientero.${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n=0}$
• El negativo de un medio entero es un medio entero.
• La cardinalidad del conjunto de los semienteros es igual a la de los enteros. Esto se debe a la existencia de una biyección de los enteros a los semienteros: , donde es un entero${\displaystyle f:x\to x+0,5}$${\estilo de visualización x}$

El empaquetamiento reticular más denso de esferas unitarias en cuatro dimensiones (llamado red D ₄ ) coloca una esfera en cada punto cuyas coordenadas son todos números enteros o todos semienteros. Este empaquetamiento está estrechamente relacionado con los números enteros de Hurwitz : cuaterniones cuyos coeficientes reales son todos números enteros o todos semienteros. ^[4]

En física, el principio de exclusión de Pauli resulta de la definición de los fermiones como partículas que tienen espines que son semienteros. ^[5]

Los niveles de energía del oscilador armónico cuántico se dan en semienteros y, por lo tanto, su energía más baja no es cero. ^[6]

Aunque la función factorial está definida solo para argumentos enteros, se puede extender a argumentos fraccionarios utilizando la función gamma . La función gamma para semienteros es una parte importante de la fórmula para el volumen de una bola n -dimensional de radio , ^[7] Los valores de la función gamma en semienteros son múltiplos enteros de la raíz cuadrada de pi : donde denota el factorial doble .${\estilo de visualización R}$$${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n}~.}$$$${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)~=~{\frac {\,(2n-1)!!\,}{2^{n}}} \,{\sqrt {\pi \,}}~=~{\frac {(2n)!}{\,4^{n}\,n!\,}}{\sqrt {\pi \,}} ~}$$${\estilo de visualización n!!}$