Interpolación Nevanlinna-Pick

En el análisis complejo , dados datos iniciales que consisten en puntos en el disco unitario complejo y datos de destino que consisten en puntos en , el problema de interpolación de Nevanlinna-Pick es encontrar una función holomorfa que interpole los datos, es decir para todos ,${\estilo de visualización n}$${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$${\displaystyle \mathbb {D}}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle z_{1},\ldots,z_{n}}$${\displaystyle \mathbb {D}}$ ${\estilo de visualización \varphi}$${\displaystyle i\en \{1,...,n\}}$

${\displaystyle \varphi (\lambda _ {i})=z_ {i}}$,

sujeto a la restricción para todos .${\displaystyle \left\vert \varphi (\lambda )\right\vert \leq 1}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {D} }$

Georg Pick y Rolf Nevanlinna resolvieron el problema independientemente en 1916 y 1919 respectivamente, demostrando que existe una función de interpolación si y sólo si una matriz definida en términos de los datos iniciales y de destino es semidefinida positiva .

El teorema de Nevanlinna-Pick representa una generalización de puntos del lema de Schwarz . La forma invariante del lema de Schwarz establece que para una función holomorfa , para todo ,${\estilo de visualización n}$${\displaystyle f:\mathbb {D} \a \mathbb {D} }$${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {D} }$

${\displaystyle \left|{\frac {f(\lambda _{1})-f(\lambda _{2})}{1-{\overline {f(\lambda _{2})}}f(\lambda _{1})}}\right|\leq \left|{\frac {\lambda _{1}-\lambda _{2}}{1-{\overline {\lambda _{2}}}\lambda _{1}}}\right|.}$

Estableciendo , esta desigualdad es equivalente a la afirmación de que la matriz dada por${\ Displaystyle f (\ lambda _ {i}) = z_ {i}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1-|z_{1}|^{2}}{1-|\lambda _{1}|^{2}}}&{\frac {1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}{1-{\overline {\lambda _{1}}}\lambda _{2}}}\\[5pt]{\frac {1-{\overline {z_{2}}}z_{1}}{1-{\overline {\lambda _{2}}}\lambda _{1}}}&{\frac {1-|z_{2}|^{2}}{1-|\lambda _{2}|^{2}}}\end{bmatrix}}\geq 0,}$

Es decir la matriz Pick es semidefinida positiva.

Combinado con el lema de Schwarz, esto lleva a la observación de que para , existe una función holomorfa tal que y si y solo si la matriz de Pick${\displaystyle \lambda _ {1},\lambda _ {2},z_ {1},z_ {2} \in \mathbb {D}}$${\displaystyle \varphi :\mathbb {D} \a \mathbb {D} }$${\displaystyle \varphi (\lambda _ {1})=z_ {1}}$${\displaystyle \varphi (\lambda _ {2})=z_ {2}}$

${\displaystyle \left({\frac {1-{\overline {z_{j}}}z_{i}}{1-{\overline {\lambda _{j}}}\lambda _{i}}}\right)_{i,j=1,2}\geq 0.}$

El teorema de Nevanlinna-Pick establece lo siguiente. Dado , existe una función holomorfa tal que si y solo si la matriz de Pick${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n},z_{1},\ldots ,z_{n}\in \mathbb {D} }$${\displaystyle \varphi :\mathbb {D} \to {\overline {\mathbb {D} }}}$${\displaystyle \varphi (\lambda _ {i})=z_ {i}}$

${\displaystyle \left({\frac {1-{\overline {z_{j}}}z_{i}}{1-{\overline {\lambda _{j}}}\lambda _{i}}}\right)_{i,j=1}^{n}}$

es semidefinida positiva. Además, la función es única si y solo si la matriz Pick tiene determinante cero . En este caso, es un producto de Blaschke , con grado igual al rango de la matriz Pick (excepto en el caso trivial donde todas las son iguales).${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle z_{i}}$

La generalización del teorema de Nevanlinna-Pick se convirtió en un área de investigación activa en la teoría de operadores luego del trabajo de Donald Sarason sobre el teorema de interpolación de Sarason . ^[1] Sarason proporcionó una nueva prueba del teorema de Nevanlinna-Pick utilizando métodos del espacio de Hilbert en términos de contracciones de operadores . Se desarrollaron otros enfoques en el trabajo de L. de Branges y B. Sz.-Nagy y C. Foias .

Se puede demostrar que el espacio de Hardy H  ² es un espacio de Hilbert con núcleo reproductor , y que su núcleo reproductor (conocido como núcleo de Szegő ) es

${\displaystyle K(a,b)=\left(1-b{\bar {a}}\right)^{-1}.\,}$

Debido a esto, la matriz Pick se puede reescribir como

${\displaystyle \left((1-z_{i}{\overline {z_{j}}})K(\lambda _{j},\lambda _{i})\right)_{i,j=1}^{N}.\,}$

Esta descripción de la solución ha motivado varios intentos de generalizar el resultado de Nevanlinna y Pick.

El problema de Nevanlinna-Pick puede generalizarse al de encontrar una función holomorfa que interpole un conjunto dado de datos, donde R es ahora una región arbitraria del plano complejo.${\displaystyle f:R\to \mathbb {D} }$

MB Abrahamse demostró que si el límite de R consiste en un número finito de curvas analíticas (por ejemplo, n + 1), entonces existe  una función de interpolación f si y solo si

${\displaystyle \left((1-z_{i}{\overline {z_{j}}})K_{\tau }(\lambda _{j},\lambda _{i})\right)_{i,j=1}^{N}\,}$

es una matriz semidefinida positiva, para todo en el n -toro . Aquí, los s son los núcleos reproductores correspondientes a un conjunto particular de espacios de Hilbert de núcleos reproductores, que están relacionados con el conjunto R . También se puede demostrar que f es única si y solo si una de las matrices de Pick tiene determinante cero.${\displaystyle \tau }$${\displaystyle K_{\tau }}$

• La prueba original de Pick se refería a funciones con una parte real positiva. Bajo una transformada de Cayley fraccionaria lineal , su resultado se cumple en funciones del disco al disco.

• La interpolación de Pick-Nevanlinna fue introducida en el control robusto por Allen Tannenbaum .

• El problema de Pick-Nevanlinna para mapas holomórficos del bidisco al disco fue resuelto por Jim Agler .${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}}$

• Agler, Jim; John E. McCarthy (2002). Interpolación de selección y espacios de funciones de Hilbert . Estudios de posgrado en matemáticas . AMS . ISBN. 0-8218-2898-3.
• Abrahamse, MB (1979). "El teorema de interpolación de Pick para dominios finitamente conexos". Michigan Math. J. 26 ( 2): 195–203. doi : 10.1307/mmj/1029002212 .
• Tannenbaum, Allen (1980). "Estabilización por retroalimentación de plantas dinámicas lineales con incertidumbre en el factor de ganancia". Int. J. Control . 32 (1): 1–16. doi :10.1080/00207178008922838.